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1 LUISS Corso di Metodi matematici per economia e finanza. Prof. F. Gozzi Lezione del xx/11/2009 Calcolo approssimato di integrali - Prof.ssa G. Rotundo.

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1 1 LUISS Corso di Metodi matematici per economia e finanza. Prof. F. Gozzi Lezione del xx/11/2009 Calcolo approssimato di integrali - Prof.ssa G. Rotundo

2 2 Testi di riferimento MATLAB – manuale di riferimento I. Capuzzo Dolcetta, M. Falcone, Lanalisi al calcolatore, Zanichelli, ISBN 88 – 08 – J. Stoer, Introduzione allanalisi numerica, Zanichelli ed., 1974

3 3 Il problema di Cauchy Sotto opportune ipotesi è possibile dimostrare il teorema di esistenza ed unicità delle soluzioni. N.B.: il teorema di esistenza ed unicità fornisce un risultato soltanto in merito ad esistenza ed unicità, ma non illustra alcun metodo per trovare la soluzione. Domanda: come trovare le soluzioni? Anche quando la soluzione esiste ed è unica può essere molto complesso, se non impossibile, determinare la sua espressione analitica. Diventa quindi estremamente importante conoscere alcuni metodi numerici per approssimare la soluzione.

4 4 Osservazione Nel caso in cui f(t,x(t)) dipende solo da t il problema di Cauchy corrispondente si riduce al calcolo di una particolare primitiva di f(t).

5 5 Obbiettivo: calcolare lintegrale di una funzione reale su [a,b] Strumenti noti da matematica generale: il teorema fondamentale del calcolo integrale ( teorema di Newton-Leibniz), che risolve il problema nel caso in cui f è continua ed è nota una primitiva di f, cioè una funzione derivabile tale che F(t)=f(t) per ogni x: a

6 6 Perché cambiare metodo? Lapplicabilità pratica di questo metodo analitico è limitata, infatti: 1.Esistono funzioni continue che si incontrano frequentemente nelle applicazioni dellanalisi matematica la cui primitiva non può essere espressa in termini di funzioni elementari ( per esempio sen(t)/t, 1/((1-t 2 )(1-k 2 t 2 )) 1/2, exp(-t 2 ) 2.Il calcolo può essere complicato ( p.es. nel caso di integrazione di funzioni razionali fratte, che si basano sulla conoscenza di radici di polinomi)

7 7 Obbiettivo: calcolare UN VALORE APPROSSIMATO dellintegrale Strumenti: metodi di integrazione numerica facilmente implementabili: Rettangoli, Trapezi, Simpson [...] Idea: integrare, invece di f, una sua approssimazione g che si sappia integrare in maniera esatta (a meno, ovviamente, di errori di arrotondamento).

8 8 Punto fondamentale Calcolare a priori lerrore commesso con la specifica procedura adottata. Serve per garantire laffidabilità del metodo e bisognerà pertanto stimare In ciascun metodo la costruzione di g è fatta definendo una partizione dellintervallo [a,b]. Precisamente, si fissa un intero positivo N e si divide lintervallo di integrazione [a,b[ in parti uguali con i punti Il numero h=(b-a)/N è il passo della discretizzazione

9 9 METODO DEI RETTANGOLI Devo calcolare larea sottesa dal grafico della funzione. ab

10 10 METODO DEI RETTANGOLI Idea: costruisco la partizione di [a,b] a=t 0 t1t1 t2t2 b=t N Obbiettivo: approssimare larea con rettangoli di base (t k+1 -t k ) ed altezza uguale allaltezza della funzione nel punto intermedio di ciascun intervallo (t k +t k+1 )/2 Preparo gli elementi che servono per questa approssimazione

11 11 a=t 0 t1t1 t2t2 b=t N Considero i punti intermedi in ciascun intervallo

12 12 a=t 0 t1t1 t2t2 b=t N Considero il valore della funzione in ciascun punto intermedio in ciascun intervallo

13 13 a=t 0 t1t1 t2t2 b=t N Considero la funzione costante a tratti, avente, su ciascun intervallo, il valore costante uguale allaltezza della funzione calcolata nel punto intermedio dellintervallo

14 14 Considero la funzione costante a tratti, avente, su ciascun intervallo, il valore costante uguale allaltezza della funzione calcolata nel punto intermedio dellintervallo a=t 0 t1t1 t2t2 b=t N Ovviamente g coincide con f in tutti i punti intermedi di ciascun intervallo.

15 15 a=t 0 t1t1 t3t3 b=t N Approssimo larea da calcolare con la somma delle aree (base x altezza) di questi rettangoli. Questo calcolo è immediato: tutte le basi hanno ampiezza costante (b-a)/N le altezze sono date dal valore della funzione nel punto intermedio dellintervallo

16 16 Osservazioni Il metodo dei rettangoli è ispirato dalla definizione di integrale definito. I è una particolare somma integrale. Il numero I dipende dalla partizione scelta e quindi dal passo h(=(b-a)/N).

17 17 Stima dellerrore

18 18 MEMO: da matematica generale Proprietà dellintegrale definito ab f(x) x y 0 Larea si può calcolare dividendola in due parti: (a, c) e (c, b) c

19 19 Applico la proprietà dellintegrale ripetutamente: Posso ripetere il procedimento per g e quindi

20 20 MEMO In generale Il valore assoluto di una somma è minore od uguale alla somma dei valori assoluti

21 21 MEMO: teorema di Lagrange: sotto opportune ipotesi f(b)-f(a)=f (c ) (b-a), a

22 22 Osservazione tktk t k+1 (t k + t k+1 )/2 t Un punto t dista dal centro dellintervallo meno di metà della lunghezza dellintervallo.

23 23 Utilizzo questa proprietà per svolgere il passaggio

24 24 Conclusione: ho dimostrato che

25 25 METODO DEI TRAPEZI Nel metodo dei rettangoli si approssima f con g costante a tratti a=t 0 t1t1 t2t2 b=t N

26 26 METODO DEI TRAPEZI Nel metodo dei trapezi si approssima f con g costruita partendo dalle rette secanti in ciascun intervallo a=t 0 t1t1 t2t2 b=t N Quindi la funzione g è lineare in ogni intervallo e coincide con f negli estremi di ciascun intervallo.

27 27 METODO DEI TRAPEZI Il metodo si chiama dei trapezi perché approssimo larea tramite trapezi (eventualmente degeneri) invece che tramite rettangoli. a=t 0 t1t1 t2t2 b=t N Quindi la funzione g è lineare in ogni intervallo e coincide con f negli estremi di ciascun intervallo.

28 28 METODO DEI TRAPEZI Lapprossimazione corrisponde al calcolo dellarea evidenziata in rosso. Obbiettivi: calcolo dellarea stima dellerrore

29 29 Osservazione: rispetto alla normale visualizzazione, i trapezi sono ruotati di 90 gradi: MEMO: area di un trapezio (base minore + base maggiore)*altezza /2 Base maggiore Base minore altezza

30 30 Equazione di una retta che passa per i punti (x1,y1) e (x2,y2) x1 x x2 y2 y y1 x y da cui MEMO: da matematica generale

31 31 Calcolo della retta secante nel singolo intervallo t t k t t k+1 f(t k+1 ) f(t) f(t k ) … … Applico la formula Considerando le particolari coordinate dei punti: Osservo che la funzione g coincide con la funzione f negli estremi dei singoli intervalli ed è lineare in ogni intervallo.

32 32 Area approssimata = somma delle aree dei singoli trapezi Base minore+base maggiorealtezza Perché gli intervalli hanno tutti la stessa ampiezza

33 33 Stima dellerrore Ipotesi in più: f derivabile due volte in (a,b) con derivata f limitata. Calcolo lerrore nel singolo intervallo, poi sommo per ottenere lerrore totale. Inizio il calcolo partendo dallespressione di g

34 34 Inoltre g ed f coincidono sui punti della partizione Per il teorema di Lagrange Sottraggo Da cui Ora cerco di semplificare questa quantità

35 35 Considero quindi Lavoro dapprima su Applico la formula di Lagrange ed ottengo Sostituisco ed ottengo:

36 36 Applico il teorema di Lagrange alla funzione derivata prima: Sostituisco ed ottengo che in ciascun intervallo

37 37 Errore totale: sommo sugli N intervalli Quindi la stima cercata è:

38 38 METODO DI SIMPSON I passi effettuati finora per il calcolo approssimato dellintegrale hanno portato da una prima approssimazione mediante una funzione costante a tratti ad una approssimazione tramite una funzione rettilinea a tratti, in cui lerrore va a zero più velocemente quando h 0. Il passo successivo riguarda lapprossimazione mediante una funzione quadratica. Passi ulteriori possibili riguardano lapprossimazione della funzione assegnata mediante polinomi di ordine maggiore.

39 39 Interpolata quadratrica Considero una funzione in [-1,1] e la sua interpolata quadratica definita da: Dove le tre costanti sono determinate dalle tre condizioni che chiedono che le funzioni coincidano su quei tre punti. Osservo che lunica soluzione del sistema lineare è:

40 40 Interpolata quadratrica Quindi Questo calcolo si generalizza facilmente ad un arbitrario intervallo [c,d] tramite un cambio di variabile Che trasforma lintervallo [-1,1] in [c,d]. Lintegrale diventa quindi

41 41 Su un intervallo qualsiasi [c,d] con semiampiezza dellintervallo h h=(m-c)=(d-m) Il nome con cui il metodo è più conosciuto è Simpson 1/3, per distinguerlo da un altro metodo di Simpson in cui la costante è diversa (Simpson 3/8) g(x) f(x) h h cdm

42 42 Su più intervalli consecutivi Applico la formula considerando i punti della partizione a gruppi di tre: iniziale ( c ), finale (d) ed intermedio (m) e sommando tutti i risultati t0t0 t1t1 t2t2 b=t N Quindi la funzione g è lineare in ogni intervallo e coincide con f negli estremi di ciascun intervallo.

43 43 Su più intervalli consecutivi Applico la formula considerando i punti della partizione a gruppi di tre: iniziale ( c ), finale (d) ed intermedio (m) e sommando tutti i risultati. t0t0 t1t1 t2t2 b=t N hhhh h h (h=(b-a)/N)

44 44 Osservazione Nel caso in cui f(t,x(t)) dipende solo da t il problema di Cauchy corrispondente si riduce al calcolo di una particolare primitiva di f(t). In questo caso si può dimostrare che il metodo di Heun si riduce al metodo dei trapezi per il calcolo di Si può anche dimostrare che il metodo di Eulero modificato si riduce a quello dei rettangoli, il metodo di Runge-Kutta a quello di Simpson.


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