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Corso di Fisica Generale Beniamino Ginatempo Dipartimento di Fisica – Università di Messina 1)Lapprossimazione dellOttica Geometrica 2)Immagini reali.

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2 Corso di Fisica Generale Beniamino Ginatempo Dipartimento di Fisica – Università di Messina 1)Lapprossimazione dellOttica Geometrica 2)Immagini reali e virtuali 3)Il diottro 4)I sistemi ottici centrati 5)Piani principali e nodali 6)Diaframmi, Brillanza e Luminosità 7)Lenti sottili 8)Aberrazioni Parte XXVI: Ottica Geometrica

3 Lo studio generale della propagazione delle onde nella materia può essere molto complicato In generale bisognerebbe risolvere lequazione delle onde, noti gli indici di rifrazione, le forme e le posizioni dei corpi attraversati dalla luce, e raccordare le componenti tangenziali dei campi su tutti i punti delle superfici di separazione (qualunque). Se a ciò si aggiunge che tali condizioni possono anche variare nel tempo, e che i fronti donda possono avere anche simmetria bassissima se le sorgenti sono estese, si capisce come tale problema possa diventare complicatissimo se non addirittura insolubile. Tuttavia, nei casi pratici, la lunghezza donda della luce ( 1 m) è di solito molto più piccola dei raggi di curvatura dei fronti donda come pure delle superfici di separazione fra i mezzi. Lapprossimazione dellOttica Geometrica vale in questo frequente limite Ciò consente di introdurre il concetto di Raggio luminoso, come direzione perpendicolare al fronte donda (asse di un cono di apertura infinitesima dentro il quale viaggia londa) e lapplicazione delle leggi della riflessione e della rifrazione anche se le superfici di separazione fra i mezzi sono limitate e non piane Lapprossimazione dellOttica Geometrica

4 Una sorgente puntiforme (un piccolo foro in uno schermo opaco) emette onde sferiche. In ottica geometrica questa è rappresentabile mediante un fascio di raggi passanti per la sorgente. Un tale fascio si dice omocentrico Può accadere che dopo riflessioni e/o rifrazioni, anche da superfici piane, i fronti donda non siano più sfere, di conseguenza i raggi né i loro prolungamenti non passino più per un punto. Un tale fascio si dice astigmatico, e può essere prodotto anche da sorgenti estese. Unonda piana è rappresentabile come un fascio di raggi paralleli, che è omocentrico, poiché i raggi si incontrano allinfinito Nel loro percorso i raggi emessi da una sorgente puntiforme si possono far passare da un altro punto detto immagine reale della sorgente. A volte è possibile solo far sì che i prolungamenti dei raggi passino per un punto: in tal caso si parla di immagine virtuale Questultimo è il caso dello specchio piano Limmagine si forma in uno spazio non accessibile Immagini reali e virtuali

5 Consideriamo il caso della rifrazione semplice, p.es. raggi rifratti dalla superficie libera dellacqua, cioè di una sorgente puntiforme in un mezzo rifrangente Osservatore d d i r h Possiamo determinare d, lavvicinamento della sorgente, usando la legge della rifrazione Ne segue che al variare di i il rapporto cosr/cosi cambia, pertanto il fascio di raggi non è omocentrico. Se però si limitano i raggi (p.es. a mezzo di un diaframma) ad angoli piccoli, il rapporto tra i coseni tende ad 1

6 Uno dei propositi dellottica geometrica è quello di ideare dispositivi per trasformare un fascio omocentrico in un altro omocentrico Un tale dispositivo consente, evidentemente, di costruire una immagine reale, tale cioè che se si scambia la sorgente con limmagine, il vecchio punto sorgente diventa il nuovo punto immagine Consideriamo una superficie di separazione tra due mezzi di forma sferica e vediamo se e sotto quali condizioni si può verificare la situazione descritta sopra O C Q A x i r A x R Il Diottro

7 Per il teorema dei seni applicato ai triangoli AQC e AQC e tenendo conto che langolo AQC è il supplementare di i È chiaro che il fascio rifratto sarà omocentrico se e solo se al variare di Q sulla superficie sferica la posizione del punto immagine, x, non cambia. Questo non è il caso, perché il primo membro dellultima equazione cambia con Q mentre al secondo lunica quantità variabile è proprio x. Se però ci si limita a piccoli angoli di vergenza (teoria di Gauss), il punto Q sarà molto vicino ad O, quindi si ottiene Dopo qualche semplice manipolazione si ottiene lequazione del diottro

8 Ponendo x e/o x si ottengono le posizioni dei punti coniugati con linfinito, dette fuochi Con queste definizioni e relazioni, si ottiene, sostituendo nellequazione del diottro Tecnicamente questa equazione rappresenta una proiettività, cioè una corrispondenza bilineare fra lo spazio sorgente e lo spazio immagine. In altre parole non è possibile Distinguere fra oggetto ed immagine, cioè il diottro consente di realizzare immagini reali (nellipotesi di piccoli angoli) f2f2 Distanza focale

9 Data la sfericità del diottro potremmo far ruotare lasse ottico di un piccolo angolo (per consistenza con la teoria di Gauss). Ciò ci consente di capire come si forma limmagine di piccoli oggetti O C Usando lequazione del diottro ed il fatto che le vergenze sono piccole e la similitudine dei triangoli ABC e ABC, si trova una relazione che lega le dimensioni delloggetto e dellimmagine B A A B

10 La quantità n sin è quindi uninvariante della proiettività. Con la relazione precedente si può calcolare lingrandimento / Con la conoscenza dei fuochi e del centro si può facimente costruire limmagine O C Q A F2F2 Immagine reale x>f 1 O C Q A F2F2 Immagine virtuale x

11 Un sistema ottico centrato è una sequenza di diottri, anche con differente raggio di curvatura, che abbiano lo stesso asse ottico. Ad esempio una lente, o un obiettivo fotografico, un microscopio ottico, locchio, etc. Siccome le immagini che forma un diottro sono reali, limmagine formata dal primo diottro può essere considerata come la sorgente per il secondo. Limmagine del secondo come la sorgente per il terzo e così via: è evidente che deve esistere una equazione che ha la stessa struttura dellequazione del diottro per tutto il sistema ottico centrato Per trovare questa equazione notiamo che possiamo eseguire un cambio di coordinate per un solo diottro come segue. Notiamo che il punto O è il coniugato di sé stesso. Se di un diottro conosciamo due punti tra loro coniugati O 1 ed O 2, possiamo riferire le coordinate del punto sorgente (x) ad O 1 e quelle del punto immagine (x) ad O 2. Se a 1 ed a 2 sono le coordinate dei punti O 1 ed O 2 deve essere Possiamo cambiare lorigine da O ad (O 1,O 2 ), semplicemente scrivendo Sistemi Ottici Centrati

12 Sostituendo nellequazione del diottro Moltiplicando, dividendo per x 1 x 2 e riordinando i termini Notando che il numeratore della frazione a secondo membro è nullo perché O 1 ed O 2 sono punti coniugati, e che i numeratori a primo membro altro non sono che le coordinate dei fuochi rispetto alle nuove origini Per un sistema ottico centrato, possiamo quindi cercare due punti coniugati qualsiasi, riferire le coordinate dei punti sorgente ed immagine a questi ed applicando la legge ad ogni diottro si troverà

13 La quantità invariante del diottro deve essere invariante anche per un sistema ottico centrato, ossia: Con questa equazione si potrà dunque determinare lingrandimento del sistema ottico, nellipotesi che tutte le vergenze siano piccole In realtà, dato un sistema di diottri o di lenti, salvo che per modificarne se proprietà, non è per niente interessante conoscere tutto ciò che succede allinterno, ma solo la prima e ln+1-esima distanza focale interessano, solo le dimensioni delloggetto e quelle della n+1-esima immagine contano, quindi scriveremo Si noti che nelle applicazioni pratiche il primo e lultimo mezzo sono normalmente uguali (aria).

14 Resta il problema di costruire limmagine di piccoli oggetti per un sistema diottrico. La legge dei punti coniugati vale per i punti, e la costruzione dellimmagine, salvo non voler fare la costruzione penna e righello per ogni diottro, necessita della conoscenza di punti speciali, i punti cardinali, del sistema ottico Cominciamoci a chiedere se esistano due punti (o piani) coniugati, detti punti principali che godano della seguente proprietà: le dimensioni delloggetto e dellimmagine sono identiche Noti quindi due punti coniugati qualunque (O 1, O 2 ), da prendere come origini, e le coordinate dei fuochi rispetto a questi, F 1 e F 2, la situazione sarà: F1F1 F2F2 O1O1 O2O2 P1P1 P2P2 x1x1 x2x2 Vogliamo determinare le ascisse incognite di tali punti, x 1 ed x 2. I punti principali di un sistema diottrico centrato

15 Per definizione di punti principali e poiché le vergenze sono piccole, deve essere Lultima equazione accoppiata allequazione dei punti coniugati è un sistema di equazioni nelle incognite x 1 e x 2. Risolvendo Lutilità dei punti principali balena subito da questa espressione. Essendo P 1 e P 2 punti coniugati, possiamo adesso scegliere questi come origini (x 1 =x 2 =0) inoltre = Siccome gli indici di rifrazione sono definiti positivi, le distanze focali devono avere lo stesso segno: o sono entrambe interne o entrambe esterne ai punti principali Se il primo e lultimo mezzo sono uguali (p.es. laria) le distanze focali sono uguali

16 P1P1 P2P2 La conoscenza dei piani principali e delle distanze focali è tutto ciò che serve per costruire limmagine F1F1 F2F2 Altri punti cardinali importanti sono i punti nodali, che godono della proprietà che i raggi passanti per essi sono paralleli.

17 Frequentemente (si pensi ad un obiettivo di una macchina fotografica o allocchio umano), si inseriscono dei diaframmi per limitare langolo di raccolta della luce. In realtà, diaframmi sono sempre presenti: si pensi alle dimensioni stesse delle lenti che non possono raccogliere luce da tutte le direzioni, perché la loro estensione è limitata Langolo secondo cui la luce arriva al sistema ottico dipende, comunque dalla vicinanza delloggetto. Si dice diaframma di apertura il diaframma che fissa il massimo angolo solido per il quale si possa inviare la luce al sistema ottico, e pupille le aperture virtuali da cui la luce potrebbe essere raccolta AA Diaframma Pupilla dentrata Pupilla duscita a1a1 d1d1 a2a2 d2d2 Diaframmi, Brillanza e Luminosità

18 I (piccoli) angoli 1 e 2 possono essere determinati conoscendo le aperture delle pupille e le distanze dalla sorgente e limmagine Gli angoli solidi corrispondenti saranno È chiaro che la quantità di energia che nellunità di tempo fluisce dentro lo strumento sarà proporzionale allangolo solido 1 ed allarea S 1 della sorgente. La costante di proporzionalità, e cioè la potenza per unità di angolo solido ed unità di superficie si chiama brillanza (o splendore) della sorgente. Per limmagine vale assolutamente lanalogo, pertanto si ha Dove il segno di disuguaglianza vale per tenere in conto delleventuale assorbimento del sistema ottico. Per un sistema ottico molto buono vale approssimativamente il segno di Uguale. Con questo in mente possiamo cercare una relazione fra le brillanze.

19 Trascurando quindi le perdite per assorbimento delle lenti Per piccoli angoli ed usando lequazione di invarianza Se, come di solito accade, il primo ed il secondo mezzo sono uguali possiamo concludere che la brillanza della sorgente è uguale alla brillanza della immagine (in assenza di assorbimento) Tuttavia, se il sistema ottico è locchio umano oppure è un obiettivo fotografico è importante conoscere lilluminanza, cioè lenergia che giunge allimmagine per unità di superficie, ovvero lintegrale della brillanza sullangolo solido sotteso dalla pupilla di uscita

20 Ma per locchio o per un obiettivo fotografico normalmente le distanze degli oggetti sono grandi rispetto a d 2 ed f (la distanza focale), quindi nella formula queste quantità si possono confondere. Inoltre la brillanza della sorgente non dipende dal sistema ottico ma dalla sorgente stessa e dalle condizioni di luce. Si definisce luminosità il rapporto U imm /K. Si ha La luminosità dellimmagine dipende quindi dal rapporto N=f/a. Quando per un obiettivo fotografico si dice che lapertura del diaframma è 5.6, si intende che il rapporto fra la distanza focale e lapertura del diaframma è 5.6. Pertanto, un teleobiettivo (grande distanza focale) non può consentire grandissime aperture di diaframma, e quindi avere una grande luminosità, se non a costi elevati

21 La lente è il sistema ottico più semplice (due diottri). Si dice sottile quando il suo massimo spessore è trascurabile rispetto ai raggi di curvatura delle superfici, r 1 ed r 2 O1O1 O2O2 x1x1 A1A1 A2A2 x2x2 d È facile far vedere che la distanza focale dipende dai raggi di curvatura della lente La legge dei punti coniugati è Applicando la legge del diottro ad entrame le superfici, e chiamando n lindice di rifrazione relativo del vetro allaria Lenti sottili

22 Trascurando lo spessore della lente d e sommando Notare che in questa equazione il segno dei raggi di curvatura è positivo (negativo) se la superficie è convessa (concava). Una lente biconvessa si dice convergente (la sua distanza focale è positiva), una biconcava si dice divergente (f>0). Se una superficie e convessa mentre laltra è concava, la lente è convergente o divergente in dipendenza del segno della seconda parentesi. La convergenza di una lente si misura in diottrie (m -1 ), ossia linverso della distanza focale: 5 diottrie f=20cm Dato che lo spessore della lente è stato preso nullo, i piani principali coincidono e la costruzione dellimmagine è banalmente la stessa di quella vista per i sistemi ottici centrati Se lo spessore della lente non è trascurabile bisogna considerare la lente come un sistema ottico centrato, determinare le distanze focali in dipendenza dei raggi di curvatura ma anche dello spessore

23 Spesso si vuole che il campo di un sistema ottico sia il più grande possibile, per aumentare la luminosità e per visualizzare il massimo campo di immagine (e.g. obbiettivo grandangolare). Un sistema siffatto può facilmente mostrare le cosidette aberrazioni, essenzialmente dovute alla non applicabilità della teoria di Gauss. Si possono distinguere 5 tipi di aberrazioni diverse: aberrazione sferica, coma, astigmatismo, curvatura di campo e distorsione. Alla precedente va aggiunta laberrazione cromatica, che si verifica quando la sorgente non emette luce monocromatica: variando lindice di rifrazione con la frequenza, non può accadere che tutte le componenti della luce vengano focalizzate nello stesso punto. Aberrazione sferica: se loggetto viene inquadrato da vicino, langolo diventa grande e gli effetti di curvatura della lente sono importanti. Succede che i raggi che passano vicino al centro della lente sono quasi parassiali e focalizzati bene in uno stesso punto, mentre quelli che passano vicino ai bordi della lente sono focalizzati in punti più vicini alla lente: limmagine può, quindi risultare sdoppiata o comunque si forma in una zona estesaAberrazioni

24 Coma: Nel caso di sorgenti estese laberrazione sferica produce, a causa dei punti fuori asse, una sorta di coda dellimmagine, come la coda di una cometa, che è detta appunto coma Astigmatismo: questo difetto ottico si verifica anche con lenti di piccola apertura. Per sorgenti in asse con la lente, sappiamo tutto, ma per sorgente fuori asse (i raggi incidenti non sono paralleli allasse ottico) non è detto che i raggi possano essere focalizzati. Linea tangenziale Linea sagittale Cerchio di minima confusione Lineette stigmatiche

25 A Al crescere dellangolo di inclinazione del raggio il luogo geometrico delle lineette Tangenziali e sagittali differisce sempre di più da quelle delle zone di minima confusione A0A0 AsAs Curvatura di campo: Se si corregge lastigmatismo, facendo coincidere il più possibile le superfici stigmatiche, la superficie di miglior fuoco non sarà un piano. In altre parole un oggetto molto piccolo sarà focalizzato bene, ma un oggetto esteso può essere sfocato ai bordi AtAt

26 Distorsioni: inquadrando oggetti estesi anche con piccole aperture, siccome lingrandimento trasversale può benissimo non essere costante con la distanza dallasse ottico si verifica questa aberrazione OggettoDistorsione a cuscino Distorsione a barile


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