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Metodo dei minimi quadrati Teoria dei minimi quadrati Metodo dei minimi quadrati.

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Presentazione sul tema: "Metodo dei minimi quadrati Teoria dei minimi quadrati Metodo dei minimi quadrati."— Transcript della presentazione:

1 Metodo dei minimi quadrati Teoria dei minimi quadrati Metodo dei minimi quadrati

2 Ipotesi: m punti sperimentali (coppie (x j, y j )) Equazione polinomiale di grado n data dalla somma di n funzioni φ dipendenti da x Obiettivo: Trovare i valori dei parametri α i minimizzando lo scarto fra i valori sperimentali e quelli previsti dal modello, al fine di ottenere un modello che, data x, permetta di stimare y generica funzione di x

3 Metodo dei minimi quadrati Termine da minimizzare: il quadrato dello scarto tra i dati sperimentali e quelli previsti dal modello scarto della j-esima coppia

4 Metodo dei minimi quadrati il termine da minimizzare è una funzione positiva dipendente dai parametri α i, perciò per determinare i parametri α i per i quali la funzione ha un minimo, si cercano gli α i tali per cui tutte le derivate prime parziali siano nulle

5 Metodo dei minimi quadrati per semplificare la formulazione del problema si definisce un vettore colonna φ i in cui il j-esimo elemento corrisponde alla funzione φ i calcolata nel punto sperimentale x j. raggruppando le n colonne φ i si ottiene la matrice B, di m righe e n colonne

6 Metodo dei minimi quadrati definito il vettore colonna d dei valori sperimentali y j e il vettore colonna α dei parametri α i, lequazione (1) diventa: NB: LOBIETTIVO È TROVARE α dati B e d

7 Metodo dei minimi quadrati se la matrice B è ortogonale, il prodotto B T B restituisce una matrice diagonale i cui elementi sono rappresentati dalle norme della sua base, perciò si può scrivere nel modo seguente: si può operare una trasformazione di base in modo da ortogonalizzare la matrice B, in modo da poter calcolare il vettore α ma B non è ortogonale

8 Metodo dei minimi quadrati per ortogonalizzare si utilizza una procedura iterativa: - la prima componente della nuova base è identica a quella della vecchia base - ciascuna ulteriore componente della nuova base è identica a quella della vecchia base MENO il prodotto scalare fra la vecchia componente e le nuove appena trovate, in modo che tutte le componenti della nuova base siano tra loro indipendenti nel nuovo sistema si ottiene ortogonalizzazione di Gram-Schmidt

9 Metodo dei minimi quadrati seguendo la procedura iterativa dellortogonalizzazione di Gram-Schmidt si ottiene: β i,p si può introdurre un ulteriore termine: si può riscrivere il risultato dellortogonalizzazione come α i è diverso da α i !!

10 Metodo dei minimi quadrati Per risalire agli α iniziali si procede nel seguente modo: α i è diverso da α i !!

11 Metodo dei minimi quadrati Caso lineare: Modello Ortogonalizzazione Param. del mod. ortog. Modello ortog.

12 Metodo dei minimi quadrati Retta dei minimi quadrati (I ordine) Modello Modello ortogonalizzato Parametri del modello

13 Esercizio 1: applicazione dei minimi quadrati al caso del I ordine Sono state eseguite delle prove su un dispositivo gomma-metallo al fine di stimarne la rigidezza longitudinale. I risultati ottenuti sono i seguenti: lunghezza Forza applicata mmN

14 Esercizio 2: applicazione dei minimi quadrati al caso del secondo ordine Un proiettile viene sparato con un angolo incognito e la distanza che raggiunge lungo lasse di sparo viene misurato utilizzando una videocamera ad alta velocità. Si devono determinare la velocità iniziale e il valore di decelerazione. tempoposizione (x) sm


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