Metodo dei minimi quadrati

Presentazione sul tema: "Metodo dei minimi quadrati"— Transcript della presentazione:

1 Metodo dei minimi quadrati
Teoria dei minimi quadrati

2 Metodo dei minimi quadrati
Ipotesi: m punti sperimentali (coppie (xj, yj)) Equazione polinomiale di grado n data dalla somma di n funzioni φ dipendenti da x Obiettivo: Trovare i valori dei parametri αi minimizzando lo scarto fra i valori sperimentali e quelli previsti dal modello, al fine di ottenere un modello che, data x, permetta di stimare y generica funzione di x

3 Metodo dei minimi quadrati
Termine da minimizzare: il quadrato dello scarto tra i dati sperimentali e quelli previsti dal modello scarto della j-esima coppia

4 Metodo dei minimi quadrati
il termine da minimizzare è una funzione positiva dipendente dai parametri αi, perciò per determinare i parametri αi per i quali la funzione ha un minimo, si cercano gli αi tali per cui tutte le derivate prime parziali siano nulle

5 Metodo dei minimi quadrati
per semplificare la formulazione del problema si definisce un vettore colonna φi in cui il j-esimo elemento corrisponde alla funzione φi calcolata nel punto sperimentale xj. raggruppando le n colonne φi si ottiene la matrice B, di m righe e n colonne

6 Metodo dei minimi quadrati
definito il vettore colonna d dei valori sperimentali yj e il vettore colonna α dei parametri αi, l’equazione (1) diventa: NB: L’OBIETTIVO È TROVARE α dati B e d

7 Metodo dei minimi quadrati
se la matrice B è ortogonale, il prodotto BTB restituisce una matrice diagonale i cui elementi sono rappresentati dalle norme della sua base, perciò si può scrivere nel modo seguente: si può operare una trasformazione di base in modo da ortogonalizzare la matrice B, in modo da poter calcolare il vettore α ma B non è ortogonale

8 Metodo dei minimi quadrati
per ortogonalizzare si utilizza una procedura iterativa: - la prima componente della nuova base è identica a quella della vecchia base - ciascuna ulteriore componente della nuova base è identica a quella della vecchia base MENO il prodotto scalare fra la vecchia componente e le nuove appena trovate, in modo che tutte le componenti della nuova base siano tra loro indipendenti nel nuovo sistema si ottiene ortogonalizzazione di Gram-Schmidt

9 Metodo dei minimi quadrati
seguendo la procedura iterativa dell’ortogonalizzazione di Gram-Schmidt si ottiene: si può introdurre un ulteriore termine: βi,p si può riscrivere il risultato dell’ortogonalizzazione come αi’ è diverso da αi!!

10 Metodo dei minimi quadrati
αi’ è diverso da αi!! Per risalire agli α iniziali si procede nel seguente modo:

11 Metodo dei minimi quadrati
Caso lineare: Modello Ortogonalizzazione Param. del mod. ortog. Modello ortog.

12 Metodo dei minimi quadrati
Retta dei minimi quadrati (I ordine) Modello Modello ortogonalizzato Parametri del modello

13 Esercizio 1: applicazione dei minimi quadrati al caso del I ordine
Sono state eseguite delle prove su un dispositivo gomma-metallo al fine di stimarne la rigidezza longitudinale. I risultati ottenuti sono i seguenti: lunghezza Forza applicata mm N 50.56 50.87 50 51.06 75 50.90 100 51.14 150 50.86 200 51.37 300 51.69 400 52.75 500 52.40 600 53.52 700 53.98 800

14 Esercizio 2: applicazione dei minimi quadrati al caso del secondo ordine
Un proiettile viene sparato con un angolo incognito e la distanza che raggiunge lungo l’asse di sparo viene misurato utilizzando una videocamera ad alta velocità. Si devono determinare la velocità iniziale e il valore di decelerazione. tempo posizione (x) s m 0.000 1.404 0.001 1.100 0.002 1.985 0.005 2.307 0.010 2.781 0.020 3.112 0.030 4.815 0.040 5.670 0.050 6.002 0.100 11.269 0.150 16.623 0.200 21.146