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Corso di Laurea in Statistica Matematica e Trattamento Informatico dei Dati Anno Accademico 2003-2004 Prova Finale Analisi delle serie storiche e applicazioni.

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1 Corso di Laurea in Statistica Matematica e Trattamento Informatico dei Dati Anno Accademico Prova Finale Analisi delle serie storiche e applicazioni Relatori:Correlatore: Dott. Fabio RapalloDott. Emanuela Sasso Prof. Mauro Gasparini Candidato: Daniele Rampoldi

2 Prova Finale Processi Stocastici e Serie Storiche Per Serie Storica o Serie Temporale intendiamo una successione di osservazioni ordinate logicamente secondo una variabile t, che solitamente rappresenta il tempo. Un Processo Stocastico è una famiglia di variabili casuali descritte da un parametro t appartenente ad un insieme T.

3 Prova Finale Una Serie Storica è una parte finita di una singola realizzazione del processo. Dato un processo, esistono infinite possibili realizzazioni, tra le quali noi osserviamo unicamente la successione dei risultati campionari, chiamata realizzazione o traiettoria del processo. Processi Stocastici e Serie Storiche

4 Prova Finale Correlazione e indipendenza Una prima distinzione tra i differenti processi stocastici riguarda lindipendenza o meno delle variabili casuali che lo compongono. La quasi totalità dei processi normalmente considerati è a componenti correlate, quindi non indipendenti. Una importante eccezione è il processo definito White Noise di valor medio nullo e varianza costante, che indicheremo:

5 Prova Finale Stazionarietà e Autocovarianza Unaltra distinzione può essere fatta considerando il comportamento della famiglia di variabili casuali rispetto alla variabile temporale. Un processo è stazionario in senso stretto se la distribuzione multivariata delle variabili casuali non è funzione di, per ogni. È stazionario in senso debole se valgono le seguenti condizioni: (1) (2) (3)

6 Prova Finale La funzione di autocorrelazione Lautocovarianza, come covarianza fra misura il segno e la forza del legame lineare esistente fra al variare di k. In analogia con il coefficiente di correlazione si introduce quindi la funzione di autocorrelazione, definita come il coefficiente di correlazione lineare fra le variabili casuali, al variare di k.

7 Prova Finale

8 Processi invertibili e periodici Un processo stocastico è invertibile se esiste una funzione lineare e un processo tale che, per ogni t, si possa scrivere: Linvertibilità è quindi la possibilità di esprimere un processo tramite le variabili casuali del passato.

9 Prova Finale Il Teorema di Wold Ogni processo stocastico stazionario di valor medio può essere decomposto in due differenti processi stocastici, stazionari e fra loro mutuamente incorrelati,, detti, rispettivamente, componente non deterministica e componente deterministica, le quali hanno le seguenti rappresentazioni: dove, mentre sono successioni di variabili casuali tali che è una successione di numeri reali tali che.

10 Prova Finale Modelli ARMA – Processo MA Il Teorema di Wold introduce il modello lineare. Per la condizione posta sui, possiamo considerarli trascurabili da un certo punto in poi. Poniamo quindi: e consideriamo quindi il processo stocastico Media Mobile di ordine q, denotato, e definito da: Un processo è sempre stazionario.

11 Prova Finale Modelli ARMA Se è noto si possono calcolare univocamente le autocovarianze. In generale non è vero il contrario. Se consideriamo i processi invertibili, esiste però corrispondenza biunivoca fra parametri del modello e funzione di autocovarianza.

12 Prova Finale Modelli ARMA – Processo AR Un processo,se invertibile, si può scrivere come: Tale struttura viene chiamata Auto Regressiva (AR) perchè paragonabile ad una regressione della variabile al tempo t (ovvero ) su se stessa ad un tempo precedente (ovvero ).

13 Prova Finale Modelli ARMA I modelli AR rispondono al tentativo di spiegare il presente in funzione del passato, fino ad una certa distanza p. I modelli MA rispondono al tentativo di spiegare il presente come la risultante di una successione di impulsi casuali, statisticamente riassunti nel WN.

14 Prova Finale Modelli ARMA Consideriamo quindi il processo stocastico Auto Regressivo di ordine p e Media Mobile q, indicato con e definito dalla relazione:

15 Prova Finale Modelli ARIMA Lintroduzione dei modelli ARMA, stazionari ed invertibili, ci permette di individuare il processo a partire dalla serie secondo criteri statisticamente efficienti. I modelli ARIMA nascono dal tentativo di generalizzare i risultati ottenuti sui modelli ARMA. Box e Jenkins proposero una procedura iterativa per la costruzione di un modello ARIMA.

16 Prova Finale Analisi Preliminari Identificazione del modello ARIMA Stima dei parametri Verifica del modello stimato Utilizzazione del modello Procedura iterativa di Box e Jenkins Rifiuto Accettazione Passo di data Proc Gplot Proc Arima Statement Identify Proc Arima Statement Estimate Proc Arima Statement Forecast

17 Prova Finale Produzione mensile di elettricità in Australia

18 Prova Finale Produzione mensile di elettricità in Australia Con trasformazione log ARMA(0,1) stagionale

19 Prova Finale Produzione mensile di elettricità in Australia

20 Prova Finale Produzione mensile di elettricità in Australia

21 Prova Finale Prezzo del petrolio al barile Spot Oil Price: West Texas Intermediate

22 Prova Finale Prezzo del petrolio al barile Con trasformazione log ARMA(0,1)

23 Prova Finale Prezzo del petrolio al barile


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