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Crittografia e numeri primi V incontro lunedì 13 dicembre 2010 Piano Lauree Scientifiche.

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1 Crittografia e numeri primi V incontro lunedì 13 dicembre 2010 Piano Lauree Scientifiche

2 Un messaggio può essere cifrato utilizzando una permutazione dellalfabeto (e di eventuali altri caratteri). Il Codice Cesare cifra utilizzando una cifratura per traslazione del tipo Questa cifratura è molto semplice da decifrare poiché è sufficiente determinare lo spostamento di una lettera per ottenere di conseguenza tutti gli altri. Qualsiasi valore dello spostamento 0 < [a] < n va bene. Cifrare con laddizione

3 Unaltra permutazione dellalfabeto può essere ottenuta utilizzando la funzione moltiplicativa La funzione f è però una funzione di cifratura se e solo se [a] è invertibile in Zn e… [a] è invertibile in Zn se e solo se MCD(a, n) = 1 La funzione di decifratura è: Cifrare con la moltiplicazione

4 Una ulteriore permutazione dellalfabeto può essere ottenuta utilizzando la potenza Esiste sempre un esponente corretto da usare per ottenere una cifratura? In caso positivo, come può essere individuato? Cifrare con la potenza f : Z n Z n / [m] | [m] = [m t ] con t N 0 Come decifrare?

5 0123456 x0123456 x2x2 x3x3 x4x4 x5x5 x6x6 x7x7 x8x8 x9x9 x 10 Completa, in Z 7, la tabella dei valori corrispondenti delle potenze di x:

6 Lelevamento al quadrato è una cifratura? E se uso un esponente pari? I valori di m per i quali la funzione f m è una funzione di cifratura sono: Ci sono due esponenti diversi m e k per i quali le funzioni f m e f k coincidono? Se sì, quali?

7 0123456 x 11 0123456 x 12 x 13 x 14 x 15 Saresti in grado di completare, in Z 7, la tabella seguente senza fare conti? Dopo quanti passi le funzioni si ripetono?

8 Potenze modulo 7 base 123456 esponente 2142241 3116166 4124421 5145236 6111111 7123456 8142241 9116166 10124421 11145236 12111111 13123456

9 xx2x2 x3x3 x4x4 x5x5 x6x6 x7x7 x8x8 x9x9 x 10 x 11 x 12 x 13 x 14 x 15 0000000000000000 1111111111111111 2241241241241241 3326451326451326 4421421421421421 5546231546231546 6616161616161616 Potenze in Z 7 Tav. 5.1

10 Potenze in Z 11 Tav. 5.2

11 Le potenze si ripetono in modo periodico. Utilizzando la tavola appena completata, prova a completare, in Z 11, le seguenti uguaglianze: 3 17 = 3.... =...… 5 24 = 5.... = …… 8 99 = 8.... = …… Completa, in Z 11, le seguenti uguaglianze: (6 7 ).... = 6 (2 3 ).... = 2 (8 9 ).... = 8

12

13 Cifrare e decifrare con Fermat – Tav. 5.2 a p-1 =1 mod p a k(p-1) =1 mod p a k(p-1)+1 =a mod p Cifratura: a a=a e Decifratura: a a=(a e ) d k(p-1)+1=ed k(p-1)=ed-1 ed=1 mod(p-1) a ed =a mod p Tabella moltiplicazione modulo 10 *0123456789 00000000000 10123456789 20246802468 30369258147 40482604826 50505050505 60628406284 70741852963 80864208642 90987654321

14 Tav. 5.3

15 *012345678910 000000000000 10123456789 202468 13579 30369147 258 404815926 37 505 49382716 6061728394 5 7073 6295184 80852 741963 9097531 8642 0 987654321 ed=1 mod(p-1)

16 Tav. 5.3

17 Potenze in Z 10 xx2x2 x3x3 x4x4 x5x5 x6x6 x7x7 x8x8 x9x9 x 10 00000000000 11111111111 22486248624 33971397139 44646464646 55555555555 66666666666 77931793179 88426842684 99191919191

18 Modulo 10 Teorema di Eulero – Tav. 5.4

19 xx^2x^3x^4x^5x^6x^7x^8x^9x^10x^11x^12x^13x^14x^15x^16x^17x^18x^19x^20 000000000000000000000 111111111111111111111 224816111248161112481611124 339618121539618121539618121539 441614 14 14 14 14 14 554201617154201617154201617154 66156 6 6 6 6 6 6 6 6 777777777777777777777 881818181818181818181 9918159181591815918159181591815918 10 16134191101613419110161341911016 11 16842111168421111684211116 12 18693151218693151218693151218 13 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 14 7 7 7 7 7 7 7 7 7 7 15 16 41 41 41 41 41 41 4 17 16204511716204511716204511716 18 9151891518915189151891518915189 19 4131610119413161011941316101194 20 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 Potenze in Z 21

20 Teorema di Eulero – Tav. 5.5

21 Teorema di Eulero

22 01234567891011121314151617181920 X^2014916415711816 181715416941 X^30186120678151386 1415120151320 X^40116184161571944917 16418161 X^501111216176781819231314154591020 X^60111511 71 11 17 11 11 X^701234567891011121314151617181920 X^8014916415711816 181715416941 X^90186120678151386 1415120151320 X^100116184161571944917 16418161 X^1101111216176781819231314154591020 X^120111511 71 11 17 11 11 X^1301234567891011121314151617181920 X^14014916415711816 181715416941 X^150186120678151386 1415120151320 X^160116184161571944917 16418161 X^1701111216176781819231314154591020 X^180111511 71 11 17 11 11 X^1901234567891011121314151617181920 X^20014916415711816 181715416941 Potenze in Z 21 21=3*7 (3-1)(7-1)=12

23 Completa, in Z 10, la tabella dei valori corrispondenti delle potenze di x:

24

25 Ricapitoliamo

26 Potenze modulo 7 base 123456 esponente 2142241 3116166 4124421 5145236 6111111 7123456 8142241 9116166 10124421 11145236 12111111 13123456

27 Potenze modulo 10 p = 2 q = 5 n = 2 5 = 10 (p – 1)(q – 1) = (2 – 1)(5 – 1) = 1 4 = 4 1 4 1 3 4 1 7 4 1 9 4 1

28 base 123456789 esponente 2149656941 3187456329 4161656161 5123456789 Potenze modulo 10

29 Potenze modulo 21 p = 3 q = 7 n = 3 7 = 21 (p – 1)(q – 1) = (3 – 1)(7 – 1) = 2 6 = 12 1 12 1 2 12 1 4 12 1 5 12 1 8 12 1 10 12 1 11 12 1 13 12 1 16 12 1 17 12 1 19 12 1 20 12 1

30 base 1234567891011121314151617181920 esponente 214916415711816 181715416941 3186120678151386 1415120151320 4116184161571944917 16418161 51111216176781819231314154591020 6111511 71 11 17 11 11 71234567891011121314151617181920 814916415711816 181715416941 9186120678151386 1415120151320 10116184161571944917 16418161 111 1216176781819231314154591020 12111511 71 11 17 11 11 131234567891011121314151617181920 1414916415711816 181715416941 15186120678151386 1415120151320 161 184161571944917 16418161 171111216176781819231314154591020 18111511 71 11 17 11 11 191234567891011121314151617181920 14916415711816 181715416941

31 Corollario del teorema di Eulero Se n = p q è prodotto di due numeri primi distinti, allora a (p–1)(q–1)+1 a mod n

32 I casi possibili sono: MCD (a, n) = 1 MCD (a, n) = p MCD (a, n) = n

33 Se MCD (a, n) = 1 è possibile applicare il Teorema di Eulero base 123456789 esponente 2149656941 3187456329 4161656161 5123456789 Potenze modulo 10

34 Se MCD (a, n) = p p = 2 q = 5 n = 2 5 = 10 a = 4 MCD (4, 10) = 2 MCD (4, 5) = 1 è possibile applicare il Piccolo Teorema di Fermat p, q numeri primi distinti n = p q MCD (a, q) = 1 4 4 1 mod 5a (q – 1) 1 mod q

35 Si ha infatti: 4 4 6 e 6 1 mod 5 base 123456789 esponente 2149656941 3187456329 4161656161 5123456789

36 Si dovrà far vedere che se a (q – 1) 1 mod q, allora a (q – 1) (p – 1) + 1 a mod q

37 elevando entrambi i membri alla (p – 1) 4 4 1 mod 5a (q – 1) 1 mod q (a q – 1 ) (p – 1) 1 mod q a (q – 1) (p – 1) 1 mod q (4 4 ) 1 1 mod 5 4 4 1 mod 5 moltiplicando entrambi i membri per a a (q – 1) (p – 1) + 1 a mod q 4 5 4 mod 5

38 Si dovrà far vedere che se a (q – 1) (p – 1) + 1 a mod q, a (q – 1) (p – 1) + 1 a mod n

39 a b mod n (a – b) = n h per qualche h Z a (q – 1) (p – 1) + 1 a mod q a (q – 1) (p – 1) + 1 – a = q h per qualche h Z dallessere MCD (a, n) = p a (q – 1) (p – 1) + 1 – a = q p k per qualche k Z a (q – 1) (p – 1) + 1 – a = n k per qualche k Z a (q – 1) (p – 1) + 1 a mod n

40 Se MCD (a, n) = n allora a è multiplo di n a 0 mod n La tesi a (p–1)(q–1)+1 a mod n diviene allora 0 0 mod n

41 Osservazione se per caso (p – 1)(q – 1) + 1 = e d, allora a ed = a (p - 1)(q – 1) + 1 = a mod n. Ma a ed = (a e ) d È dunque possibile usare lelevamento alla potenza con esponente e per cifrare e lelevamento alla potenza con esponente d per decifrare

42 Se (p – 1)(q – 1) + 1 = e d, allora (p – 1)(q – 1) = e d – 1, dunque e d = 1 modulo (p – 1)(q – 1) Le classi e, d sono inverse tra loro modulo (p – 1)(q – 1)

43 Applicazione del corollario p = 3 q = 7 n = 21 e = 5 17 | 17 5 = 5 mod 21 (p – 1)(q – 1) = 12 e d = 1 mod 12 5 d = 1 mod 12 d = 5 5 | 5 5 = 17 mod 21

44 Applicazione del corollario p = 3 q = 7 n = 21 e = 11 12 | 12 11 = 3 mod 21 (p – 1)(q – 1) = 12 e d = 1 mod 12 11 11 = 1 mod 12 d = 11 3 | 3 11 = 12 mod 21

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47 La crittografia a chiave pubblica

48 Da sinistra verso destra: Ralph Merkle Martin Hellman Whitfield Diffie

49 L'implementazione tramite algoritmo RSA

50 Da sinistra verso destra: Adi Shamir Ronald Rivest Leonard Adleman


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