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Crittografia e numeri primi V incontro lunedì 13 dicembre 2010 Piano Lauree Scientifiche.

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1 Crittografia e numeri primi V incontro lunedì 13 dicembre 2010 Piano Lauree Scientifiche

2 Un messaggio può essere cifrato utilizzando una permutazione dellalfabeto (e di eventuali altri caratteri). Il Codice Cesare cifra utilizzando una cifratura per traslazione del tipo Questa cifratura è molto semplice da decifrare poiché è sufficiente determinare lo spostamento di una lettera per ottenere di conseguenza tutti gli altri. Qualsiasi valore dello spostamento 0 < [a] < n va bene. Cifrare con laddizione

3 Unaltra permutazione dellalfabeto può essere ottenuta utilizzando la funzione moltiplicativa La funzione f è però una funzione di cifratura se e solo se [a] è invertibile in Zn e… [a] è invertibile in Zn se e solo se MCD(a, n) = 1 La funzione di decifratura è: Cifrare con la moltiplicazione

4 Una ulteriore permutazione dellalfabeto può essere ottenuta utilizzando la potenza Esiste sempre un esponente corretto da usare per ottenere una cifratura? In caso positivo, come può essere individuato? Cifrare con la potenza f : Z n Z n / [m] | [m] = [m t ] con t N 0 Come decifrare?

5 x x2x2 x3x3 x4x4 x5x5 x6x6 x7x7 x8x8 x9x9 x 10 Completa, in Z 7, la tabella dei valori corrispondenti delle potenze di x:

6 Lelevamento al quadrato è una cifratura? E se uso un esponente pari? I valori di m per i quali la funzione f m è una funzione di cifratura sono: Ci sono due esponenti diversi m e k per i quali le funzioni f m e f k coincidono? Se sì, quali?

7 x x 12 x 13 x 14 x 15 Saresti in grado di completare, in Z 7, la tabella seguente senza fare conti? Dopo quanti passi le funzioni si ripetono?

8 Potenze modulo 7 base esponente

9 xx2x2 x3x3 x4x4 x5x5 x6x6 x7x7 x8x8 x9x9 x 10 x 11 x 12 x 13 x 14 x Potenze in Z 7 Tav. 5.1

10 Potenze in Z 11 Tav. 5.2

11 Le potenze si ripetono in modo periodico. Utilizzando la tavola appena completata, prova a completare, in Z 11, le seguenti uguaglianze: 3 17 = =...… 5 24 = = …… 8 99 = = …… Completa, in Z 11, le seguenti uguaglianze: (6 7 ).... = 6 (2 3 ).... = 2 (8 9 ).... = 8

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13 Cifrare e decifrare con Fermat – Tav. 5.2 a p-1 =1 mod p a k(p-1) =1 mod p a k(p-1)+1 =a mod p Cifratura: a a=a e Decifratura: a a=(a e ) d k(p-1)+1=ed k(p-1)=ed-1 ed=1 mod(p-1) a ed =a mod p Tabella moltiplicazione modulo 10 *

14 Tav. 5.3

15 * ed=1 mod(p-1)

16 Tav. 5.3

17 Potenze in Z 10 xx2x2 x3x3 x4x4 x5x5 x6x6 x7x7 x8x8 x9x9 x

18 Modulo 10 Teorema di Eulero – Tav. 5.4

19 xx^2x^3x^4x^5x^6x^7x^8x^9x^10x^11x^12x^13x^14x^15x^16x^17x^18x^19x^ Potenze in Z 21

20 Teorema di Eulero – Tav. 5.5

21 Teorema di Eulero

22 X^ X^ X^ X^ X^ X^ X^ X^ X^ X^ X^ X^ X^ X^ X^ X^ X^ X^ X^ Potenze in Z 21 21=3*7 (3-1)(7-1)=12

23 Completa, in Z 10, la tabella dei valori corrispondenti delle potenze di x:

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25 Ricapitoliamo

26 Potenze modulo 7 base esponente

27 Potenze modulo 10 p = 2 q = 5 n = 2 5 = 10 (p – 1)(q – 1) = (2 – 1)(5 – 1) = 1 4 =

28 base esponente Potenze modulo 10

29 Potenze modulo 21 p = 3 q = 7 n = 3 7 = 21 (p – 1)(q – 1) = (3 – 1)(7 – 1) = 2 6 =

30 base esponente

31 Corollario del teorema di Eulero Se n = p q è prodotto di due numeri primi distinti, allora a (p–1)(q–1)+1 a mod n

32 I casi possibili sono: MCD (a, n) = 1 MCD (a, n) = p MCD (a, n) = n

33 Se MCD (a, n) = 1 è possibile applicare il Teorema di Eulero base esponente Potenze modulo 10

34 Se MCD (a, n) = p p = 2 q = 5 n = 2 5 = 10 a = 4 MCD (4, 10) = 2 MCD (4, 5) = 1 è possibile applicare il Piccolo Teorema di Fermat p, q numeri primi distinti n = p q MCD (a, q) = mod 5a (q – 1) 1 mod q

35 Si ha infatti: e 6 1 mod 5 base esponente

36 Si dovrà far vedere che se a (q – 1) 1 mod q, allora a (q – 1) (p – 1) + 1 a mod q

37 elevando entrambi i membri alla (p – 1) mod 5a (q – 1) 1 mod q (a q – 1 ) (p – 1) 1 mod q a (q – 1) (p – 1) 1 mod q (4 4 ) 1 1 mod mod 5 moltiplicando entrambi i membri per a a (q – 1) (p – 1) + 1 a mod q mod 5

38 Si dovrà far vedere che se a (q – 1) (p – 1) + 1 a mod q, a (q – 1) (p – 1) + 1 a mod n

39 a b mod n (a – b) = n h per qualche h Z a (q – 1) (p – 1) + 1 a mod q a (q – 1) (p – 1) + 1 – a = q h per qualche h Z dallessere MCD (a, n) = p a (q – 1) (p – 1) + 1 – a = q p k per qualche k Z a (q – 1) (p – 1) + 1 – a = n k per qualche k Z a (q – 1) (p – 1) + 1 a mod n

40 Se MCD (a, n) = n allora a è multiplo di n a 0 mod n La tesi a (p–1)(q–1)+1 a mod n diviene allora 0 0 mod n

41 Osservazione se per caso (p – 1)(q – 1) + 1 = e d, allora a ed = a (p - 1)(q – 1) + 1 = a mod n. Ma a ed = (a e ) d È dunque possibile usare lelevamento alla potenza con esponente e per cifrare e lelevamento alla potenza con esponente d per decifrare

42 Se (p – 1)(q – 1) + 1 = e d, allora (p – 1)(q – 1) = e d – 1, dunque e d = 1 modulo (p – 1)(q – 1) Le classi e, d sono inverse tra loro modulo (p – 1)(q – 1)

43 Applicazione del corollario p = 3 q = 7 n = 21 e = 5 17 | 17 5 = 5 mod 21 (p – 1)(q – 1) = 12 e d = 1 mod 12 5 d = 1 mod 12 d = 5 5 | 5 5 = 17 mod 21

44 Applicazione del corollario p = 3 q = 7 n = 21 e = | = 3 mod 21 (p – 1)(q – 1) = 12 e d = 1 mod = 1 mod 12 d = 11 3 | 3 11 = 12 mod 21

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47 La crittografia a chiave pubblica

48 Da sinistra verso destra: Ralph Merkle Martin Hellman Whitfield Diffie

49 L'implementazione tramite algoritmo RSA

50 Da sinistra verso destra: Adi Shamir Ronald Rivest Leonard Adleman


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