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IL PROBLEMA Somma fra frazioni algebrichefrazioni algebriche by Dipartimento di Matematica ITAer De Pinedo Roma Esci.

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Presentazione sul tema: "IL PROBLEMA Somma fra frazioni algebrichefrazioni algebriche by Dipartimento di Matematica ITAer De Pinedo Roma Esci."— Transcript della presentazione:

1 IL PROBLEMA Somma fra frazioni algebrichefrazioni algebriche by Dipartimento di Matematica ITAer De Pinedo Roma Esci

2 Come facevi finora? Fra frazioni numeriche: Fra espressioni letterali semplici: Es: 1 5 = 6 9 = ….. Es: 1 5 = ab b 2 b 5a ab 2 Cosa fai? ScomponiScomponi in fattori primifattori primi i denominatori: 6 = 2·3 9 = 3 2 Poi calcoli il mcm:mcm 2·3 2 =18 Quindi procedi come di consueto con i numeratori Cosa fai? Scomponi Scomponi in fattori primifattori primi i denominatori: ab = a·b b2b2 = b 2 Poi calcoli il mcm:mcm a·b 2 =ab 2 Quindi procedi come di consueto con i numeratori = ….. Esci

3 Procediamo in modo analogo anche per le frazioni algebriche Fra frazioni algebriche: Fra frazioni numeriche: Es: 1 5 = 6 9 = ….. Cosa hai fatto ? Hai scomposto in fattori primi i denominatori: 6 = 2·3 9 = 3 2 Poi hai calcolato il mcm: 2·3 2 = 18 Quindi hai proceduto come di consueto con i numeratori Es: 1 5 = (2x+2) (x 2 +x) ? ?? Cosa faresti? Devi scomporre in fattori primi i denominatori !!! Potresti poi calcolare il mcm Quindi procederesti come di consueto con i numeratori Ma i denominatori sono polinomi!!! Ma allora…. Esci

4 MA ALLORA… IL PROBLEMA E CAMBIATO: MA COME SI FA?? SI DEVONO SCOMPORRE I POLINOMI!! Esci

5 Cosa significa quindi … scomporre un polinomio in fattori? Significa scrivere il polinomio x 2 + x Polinomio di 2° grado Tramite il metodo di scomposizione in fattori Forma additiva Forma moltiplicativa come prodotto di polinomi di grado minore o uguale a quello del polinomio dato ossia: In altri termini : Addendo x (x+1) 2 Polinomi di 1° grado Fattore somma moltiplicazione Esci

6 Formula additiva Formula moltiplicativa Alcuni esempi Forma additiva Forma moltiplicativa 2 Polinomi di 1° grado 3a (1+2b) Addendo somma Fattore moltiplicazione (a+1) (a+2) 2 Polinomi di 1° grado Fattore moltiplicazione 3a 6ab Polinomio di 1° grado + a 2 3a 2 Polinomio di 2° grado + + Addendo somma Esci

7 Polinomi Riducibili o Irriducibili ? 3a + 6ab = 3a (1+2b) (verifica:3a·1+3a·2b=3a + 6ab) 3a (1+2b) sono due fattori irriducibili a 2 + 3a + 2 = (a+1) (a+2) (verifica: a 2 +2a+a+4= a 2 +3a+2) (a+1) e (a+2)sono due fattori irriducibili Un polinomio che si può scrivere come prodotto di polinomi ciascuno dei quali di grado minore o al più uguale al polinomio dato Riducibile Un polinomio che non può essere scritto come prodotto di polinomi Irriducibile Esci

8 Ma come si fa a scomporre un polinomio in fattori? Come ti sarai reso conto il problema della fattorizzazione è diventato molto più complesso. Lavorando con i numeri le difficoltà insorgono quando si trattano numeri abbastanza grandi, invece quando si lavora con i polinomi si possono incontrare notevoli difficoltà anche quando consideriamo polinomi di grado piccolo Perché accade questo ? Perché non esistono delle regole che consentono, in generale, di trovare la scomposizione di un polinomio E allora come facciamo ? Prima di tutto: NON TI SCORAGGIARE Vai avanti e lo scoprirai !!!! Esci

9 Linee guida per la scomposizione (1) Non esistono delle regole ben precise per la scomposizione dei polinomi MA Esistono, in ogni caso, dei metodi da scegliere in modo opportuno, in funzione del polinomio Come si fa a scegliere il metodo più opportuno ? Ci si basa principalmente su due criteri guida Raccogliere a fattor comune il M.C.D., se esiste e se è diverso da 1, tra tutti termini del polinomio Contare i termini che compongono il polinomio Nota Bene: Labilità nella scelta del metodo più opportuno e nella combinazione dei vari metodi possono essere acquisite solo con lesperienza e lesercizio Esci

10 Linee guida per la scomposizione (2) Contare i termini del polinomio 2° Passo Sono Due ? Applica la tecnica Differenza di due quadrati Somma o differenza di due cubiSomma o differenza di due cubi Sono Tre ? Applica la tecnica Sviluppo del quadrato di un binomioSviluppo del quadrato di un binomio Un trinomio di secondo gradoUn trinomio di secondo grado SI POI NO COME ? 3° Passo Esci Tentare con la tecnica di Scomposizione Parziale Tentare con il Teorema e la Regola di Ruffini Non sono due, né tre, né quattro o sei oppure Non è possibile applicare nessuna delle tecniche suggerite Applica la tecnica Cubo di un binomio Differenza di due quadrati di cui uno è il quadrato di un binomio Sono Quattro? Applica la tecnica Cubo di un binomio Differenza di due quadrati di cui uno è il quadrato di un binomio Quadrato di un trinomio Differenza dei quadrati di due binomi Applica la tecnica Quadrato di un trinomio Differenza dei quadrati di due binomi Sono Sei ? Applica la tecnica 1° Passo Verificare se è possibile applicare il Metodo di Raccoglimento a Fattor Comune (o Totale) Applicare la tecnica di Raccoglimento Totale Verificare se il polinomio è ulteriormente scomponibile Per continuare, seleziona una tecnica

11 Raccoglimento totale (detto anche a fattor comune) Osserva per prima cosa se tutti i termini del polinomio sono divisibili per uno stesso fattore perché allora potrai mettere questo fattore in evidenza. In pratica metterai in evidenza il M.C.D. dei termini del polinomio, qualora sia diverso da 1, utilizzando, allinverso, la proprietà distributiva della moltiplicazione rispetto alladdizione. 3x 2 + 6xy = Ma come? 3xx + 2·3xy =3x(x + 2y) Esempio Esci

12 Raccoglimento totale (esempi) 6a 2 +2a = 2a3a +2a1 = 2a(3a + 1) 8a 2 bx 2 + 4abx a 2 bx = 4abx·2ax + 4abx x 2 4abx·3a = 4abx · (2ax + x 2 3a) x(a+b)2y(a+b) Esempio n°1 Esempio n°2 Esempio n°3 = x · (a+b)2y (a+b) = (a+b) · (x - 2y) e ora prova tu Esci

13 Raccoglimento parziale A volte si possono eseguire prima dei raccoglimenti parziali e poi un raccoglimento totale a x + a y + 2x + 2y a (x + y ) + 2(x + y) ( x + y)(a + 2) a fattore comune 2 fattore comune (x + y) fattore comune = == = continua …… Esci

14 Raccoglimento parziale (esempi) x 4 – x 3 – x + 1 e ora prova tu…… Il polinomiopossiamo pensarlo così x 3 (x-1)-1(x-1) da cui (x 3 -1) (x-1) Esempio n°2 2a 2 +3a+2ab+3b+ac+bc = polinomio da scomporre 2a 2 +2ab+3a+3b+ac+bc = prop. commutativa delladdizione 2a(a+b)+3(a+b)+c(a+b) = raccoglimenti parziali (a+b)(2a+3+c) = raccoglimento totale di (a+b) e finalmente Esempio n°1 Esci

15 Binomio E una differenza di quadrati? E una somma o una differenza di cubi? a 2 -b 2 =(a-b)(a+b) Puoi allora utilizzare il prodotto notevole della somma di due termini per la loro differenza per scomporlo così Puoi allora utilizzare il teorema di Ruffini per scomporlo così a 3 +b 3 =(a+b)(a 2 -ab+b 2 ) se è una somma: a 3 -b 3 =(a-b)(a 2 +ab+b 2 ) se è una differenza: continua …… Segno concorde Segno discorde Segno concorde Segno discorde continua …… Esci

16 Binomio differenza di quadrati Esempio n°1 (2x) 2 -(3) 2 4x allora può essere scritto come (2x + 3)(2x - 3) Esempio n°2 - 0,01b 2 + 0,25a 4 -(0,1b) 2 + (0,5a 2 ) 2 (0,1b+0,5a 2 )(-0,1b+0,5a 2 ) può essere pensato come = = = = allora può essere scritto come e ora prova tu…… Esci

17 Binomio somma o differenza di cubi 8x Esempio n°1 (2x) 3 -(3) 3 = può essere pensato come e quindi può essere scritto come (2x - 3) [(2x) 2 +(2x)(3)+ (3) 2 ] ovvero (2x - 3) (4x 2 +6x+ 9) Esempio n°2 a 9 + b 6 c 3 = (a 3 ) 3 +(b 2 c ) 3 può essere pensato come e quindi può essere scritto come (a 3 + b 2 c) [(a 3 ) 2 - (a 3 )(b 2 c) + (b 2 c) 2 ] ovvero (a 3 + b 2 c) (a 6 - a 3 b 2 c + b 4 c 2 ) segno discorde e ora prova tu…… Esci

18 Trinomi Ci sono due termini che sono quadrati di monomi? E un trinomio del tipo Il terzo termine è il doppio del prodotto dei due monomi? Allora è il quadrato di un binomio ! x 2 +sx+p con s e p numeri interi? Allora puoi cercare, se esistono, due numeri interi tali che m+n=s e mn=p e scomporre così il polinomio (x+m)(x+n) Esempio: 4a 2 – 12ab+ 9b 2 = (2a) 2 (3b) 2 inoltre 2(2a)(3b) 12ab 4a 2 – 12ab+ 9b 2 = (2a -3b) 2 stesso segno x 2 – 5x +6 (-2) + (-3) =-5 e (-2) (-3) = 6 (x-2) (x-3) allora il trinomio si può scomporre così continua …… Questo è chiamato: trinomio notevole o caratteristico! Esci

19 Trinomio quadrato di un binomio a. 16x 4 + 8x (4x 2 ) (4x 2 ) (1) =8x 2 = (4x 2 + 1) 2 stesso segno e b. 4x 2 +6x +9 (2x) ma 2 (2x) (3) 6x allora non è il quadrato di un binomio! c. 25x 2 +10x -1 (5x) 2 -1 non è un quadrato allora non è il quadrato di un binomio ! e ora prova tu…… Esci

20 Trinomio notevole e ora prova tu…… Esempio 1 x 2 -4x-21 (-7)+(+3)(-7)(+3) trovo due numeri la cui somma sia = -4 = -21 trovo due numeri il cui prodotto sia allora il trinomio si può scomporre così (x-7)(x+3) Esempio 2 a 2 +9a-10 (+10)+(-1) = +9 (+10)(-1) = -10 trovo due numeri la cui somma sia trovo due numeri il cui prodotto sia (x+10)(x-1) allora il trinomio si può scomporre così Esci

21 Quadrinomi Nel quadrinomio ci sono due termini che sono cubi di due monomi? Una volta ordinato il quadrinomio si presenta nella forma x 3 +3x 2 y+3xy 2 +y 3 ? ma allora si tratta del cubo di un binomio! vediamo qualche esempio continua…… (x + y) 3 Esci

22 Quadrinomi (esempi) ma allora si tratta del cubo di a 3 +6a 2 b +12ab 2 +8 b 3 Esempio1 (a)3(a)3 (2b) 3 3 (a) 2 (2b) 3 ( a) (2b) 2 (a+2b) 3 Esempio 2 8x 3 -12x 2 y +6xy 2 -y 3 (2x) 3 (-y) 3 3(2x) 2 (-y) 3(2x) (-y) 2 ma allora si tratta del cubo di (2x-y) 3 e ora prova tu…… Esci

23 Cosa sono i fattori primi ? Cosa sono i numeri primi ? I fattori primi di un numero intero positivo sono i numeri primi che lo dividono esattamente, dando resto 0. Un numero naturale diverso da zero è primo se si può dividere solo per 1 e per se stesso per ottenere resto 0. Sono primi i seguenti numeri: 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, …

24 Cosa vuol dire scomporre un numero in fattori primi ? Scomporre un numero in fattori primi significa uguagliarlo al prodotto di soli numeri primi. –Es.: 15 = 35(sia 3 che 5 sono numeri primi) –Es.: 18 = 322(non posso scrivere 92 perché 9 non è primo) Come si fa a scomporre un numero in fattori primi? –Se lo vuoi sapere clicca qui.clicca qui

25 mcm Minimo Comune Multiplo Il minimo comune multiplo (mcm) di due numeri interi a e b è il più piccolo intero positivo che è multiplo sia di a che di b. Esempi: Calcolo di mcm(3, 5, 7 ): –i tre numeri sono primi, quindi –mcm(3,5,7)=3·5·7=105 Calcolo di mcm(7, 8, 20): –i numeri devono essere scomposti in fattori primi 7=7 8=2·2·2=2³ 20=2·2·5=2²·5 –allora il mcm risulta: mcm(7,8,20)=7·2³·5=280. –il fattore primo 2 è stato preso con esponente massimo 3. Se vuoi avere qualche dettaglio in più clicca qui.clicca qui

26 Frazione algebrica Una frazione algebrica è un particolare tipo di frazione dove sia il numeratore che il denominatore sono rappresentati da polinomi.polinomi Più precisamente, una frazione algebrica presenta sempre una parte letterale al denominatore; essa può essere anche un semplice monomio. In generale una frazione algebrica si presenta sempre nella forma P/Q, dove P e Q sono appunto polinomi. Quelli che seguono sono esempi di frazioni algebriche:


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