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4^ puntata REALI. Vediamo dove siamo con i nostri ampliamenti numerici …

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Presentazione sul tema: "4^ puntata REALI. Vediamo dove siamo con i nostri ampliamenti numerici …"— Transcript della presentazione:

1 4^ puntata REALI

2 Vediamo dove siamo con i nostri ampliamenti numerici …

3 Concetti matematici importanti trovati le scorse lezioni CORRISPONDENZA BIUNIVOCA INSIEME INFINITO NUMERABILITA DENSITA

4 Il procedimento matematico di generalizzazione porta ad estendere un dominio con l'introduzione di nuovi simboli, in modo tale che le leggi che valgono nel dominio originario continuino a valere nel dominio più esteso. L estensione del concetto di numero diviene possibile con la creazione di nuovi numeri sotto forma di simboli astratti, come 0, - 2, 3/4,π. Oggi, che li trattiamo come cose ovvie, ci riesce difficile credere che fino al secolo XVII non venisse generalmente attribuita loro la stessa legittimità dei numeri interi positivi Responsabile di questa esitazione a compiere un passo inevitabile fu la tipica tendenza umana di tenersi al «concreto». Soltanto nel regno dell'astratto si può creare un sistema aritmetico soddisfacente.

5 I numeri reali Il nuovo ampliamento numerico è linsieme dei numeri reali Il termine numero reale è stato coniato da G. Cantor nel 1883 in una sua pubblicazione sui fondamenti della teoria degli insiemi, in contrapposizione al termine numero immaginario.

6 Perché abbiamo bisogno di nuovi numeri?

7 Riepilogo operazioni NZQ? Addizione internasi Sottrazione internanosi Moltiplicazione internasi Divisione internano si Elevamento a potenzasiSi/no Estrazione di radice quadrata no

8 Radice quadrata Sia r є Q, un elemento t є Q tale che t 2 = r si dice radice quadrata di r, e si indica con. t = r Questa operazione non è sempre possibile; ad esempio si ha ovviamente che se r <0, nessun numero t є Q può soddisfare la relazione t = r, poiché t 2 è comunque un numero positivo. Ma anche quando r > 0, non è detto esista t є Q con t 2 = r.

9 2 non è razionale Supponiamo per assurdo che esistano due numeri interi p e q tali che Possiamo supporre che la frazione sia irriducibile, ovvero che p e q siano primi fra loro. Avremo p 2 = 2 q 2 Ne segue che 2 divide p 2,e se p 2 è pari lo è anche p. Quindi p = 2k per qualche k є N. Otteniamo: (2 k ) 2 = 2 q 2, cioè 2 k 2 = q 2 ma allora anche q 2 è pari e anche q, in contraddizione con il fatto che p e q siano primi fra loro. Dunque deve essere falsa l'ipotesi iniziale, cioè 2 non può essere razionale.

10 Ricordiamoci che tutta la costruzione matematica poggia sugli insiemi numerici, via via ampliati per rispondere alla necessità di risolvere nuovi problemi: bisogna saper contare e allora si opera con linsieme dei numeri naturali N; bisogna dare e avere e allora si opera con linsieme dei numeri interi Z; bisogna misurare e allora si opera con linsieme dei numeri razionali Q, cioè con i numeri che possono essere rappresentati mediante frazioni; non sempre è però possibile esprimere la misura di una grandezza come frazione di unaltra.

11 Un tipico esempio è dato da il lato di un quadrato e la sua diagonale. La dimostrazione citata prima, considerata da P.Erdos come una delle più belle di tutta la matematica, risale ad Euclide (III sec. A.C.) ed era strettamente collegata al teorema di Pitagora. L'approccio di Euclide mette in evidenza che i numeri dell'epoca (le frazioni, cioè i numeri razionali) non potevano svolgere direttamente il ruolo di rappresentare le lunghezze di segmenti. Un caso particolare del teorema di Pitagora mostra infatti che la lunghezza l dellipotenusa di un triangolo rettangolo i cui cateti hanno lunghezza 1, è tale che l 2 = 2. Come abbiamo visto, è facile mostrare che una tale l non è esprimibile come frazione.

12 Per risolvere l'apparente contraddizione Euclide (visse molto probabilmente durante il regno di Tolomeo,~367 a.C -283 a. C.), nel V libro degli Elementi, sviluppa una raffinata teoria dei rapporti tra grandezze distinguendo tra grandezze commensurabili e incommensurabili. Per le prime il rapporto è un numero razionale, per le seconde un numero irrazionale RAFFAELLO- Scuola di Atene

13 lato e diagonale di un quadrato sono un efficace esempio di grandezze è impossibile trovare ununità di misura che sia contenuta un numero intero di volte tanto nel lato quanto nella diagonale incommensurabili :

14 Se si fissa un segmento unità di misura si può associare ad ogni razionale un punto su una retta. Però non si ha la corrispondenza inversa in quanto esistono sulla retta infiniti punti a cui non corrisponde alcun razionale. Se si vuole un sistema numerico che mantenga la qualità di essere completa, senza lacune, ossia continua propria della retta, bisogna creare nuovi numeri poiché i razionali non bastano.

15 per "riempire la retta", dobbiamo ampliare l'insieme numerico che consideriamo. Come porre su una retta orientata i numeri irrazionali ? Facciamo l'esempio della radice quadrata di 2. Così avremo 0 12

16 Il problema è ora come rappresentare i numeri reali indipendentemente dalla rappresentazione sulla retta

17 Cerchiamo di definire gli elementi mancanti, riprendendo il problema di trovare un numero che al quadrato faccia 2. Possiamo considerare dei numeri decimali finiti che approssimino per difetto oppure per eccesso la quantità cercata. Consideriamo i numeri: 1 ; 1,4 ; 1,41 ; 1,414 ; …… (cioè i razionali che elevati al quadrato danno un valore < 2), E poi i numeri: 2 ; 1,5 ; 1,42 ; 1,415 ; ……… (cioè i razionali che elevati al quadrato danno un valore > 2). Come possiamo allora "riempire il buco" che abbiamo sulla retta in corrispondenza del "numero che al quadrato fa 2" ? il numero: 1, sta fra tutti i decimali finiti che al quadrato sono < 2 e tutti quelli che al quadrato sono maggiori di due (naturalmente questo decimale non può essere periodico, altrimenti sarebbe un numero razionale)..

18 Esso è il numero che cerchiamo? Per quanto abbiamo appena detto, elevato al quadrato esso non può essere né maggiore né minore di due, quindi ci deve dare proprio 2! Certo non è un problema di poco conto che cè un allineamento di cifre illimitato… I numeri decimali non periodici (quindi non in Q ) si dicono numeri irrazionali. Chiamiamo L insieme dei numeri reali, R come l'insieme formato da tutti i possibili decimali finiti ed infiniti, periodici (razionali) o non periodici (irrazionali). Rappresentano ad esempio dei numeri reali (irrazionali) espressioni come: 3, ; 0, ; dove la "legge" con si succedono le cifre è chiara, ma non c'è periodicità.

19 La periodicità dipende dalla base del sistema Ad esempio 1/3 =(0, 333…) 10 = (0,1) 3 ; 3/2 =(1.5) 10 =(1.222…) 5, ½ =(0,5) 10 =(0,111…) 3 ;

20 Possiamo fare una prima classificazione dei numeri reali, distinguendo i due sottoinsiemi dei numeri razionali e degli irrazionali irrazionali Q

21 Altra classificazione dei R Esiste un altra classificazione dei numeri reali: essi possono essere algebrici oppure trascendenti. I numeri si dicono algebrici quando sono radici di una equazione polinomiale del tipo a 0 x n + a 1 x n-1 + ……. + a n-1 x + a n = 0 dove a 0, a 1, ………, a n-1, a n sono coefficienti interi. I numeri si dicono trascendenti quando non possono essere soluzioni di nessuna equazione polinomiale del tipo sopraddetto. I numeri reali razionali sono tutti algebrici: 5 è soluzione dellequazione 2x-10 = 0 1/4 è soluzione dellequazione 4x-1 = 0 I numeri reali irrazionali possono essere algebrici: 2 è soluzione dellequazione x 2 – 2 = 0 ma possono essere anche trascendenti; Solo nel 1844 Il matematico francese Liouville dimostrò per primo lesistenza dei numeri trascendenti.

22 Nel 1882 il matematico tedesco Lindemann dimostrò che Π è un numero trascendente. Secondo voi sono di più i numeri algebrici o i trascendenti? Anche se vi può sembrare strano, linsieme dei numeri algebrici, si può dimostrare essere numerabile (tranquilli, non lo facciamo!) e mentre linsieme dei trascendenti non lo è. Perché sono pochi o perché ce ne sono troppi?

23 Rappresentazione decimale Ogni numero reale può essere espresso (almeno in teoria) con la numerazione decimale, come un numero avente un'infinità di cifre dopo la virgola. Vista l'impossibilità di scrivere infinite cifre, il numero viene spesso espresso in modo inesatto nella forma 324, dove i tre punti esprimono il fatto che ci sono altre cifre. Questo procedimento di approssimazione in realtà consiste nello scrivere un numero razionale molto vicino al numero reale in questione. Più sono le cifre decimali, più il numero razionale è vicino al numero reale che si vuole rappresentare, e maggiore quindi è la precisione dell'approssimazione. Ad esempio, π può essere approssimato come segue Π = 3,

24 La rappresentazione decimale, molto utile nelle scienze applicate, presenta molti difetti dal punto di vista matematico, ad esempio: la somma e la moltiplicazione fra numeri reali non si effettuano "cifra per cifra" nel modo solito, perché dovremmo "partire da destra", la rappresentazione è ancorata alla scelta della base 10, e quindi non è "canonica". Per questo motivo i matematici preferiscono definire e trattare i numeri reali con altre notazioni più astratte,ad es. i simboli π o i radicali

25 Storia dei radicali Platone (circa 400 a.C.) nel dialogo Teeto, parla di 2 come di un numero non rappresentabile come rapporto e usa, per la prima volta, il termine irrazionale; Euclide negli Elementi (3° sec. a.C.) riprende il concetto di irrazionalità nel suo stile preciso e rigorosa Fibonacci, nel suo Liber Abaci, in maniera decisamente più moderna presenta una dimostrazione dellimpossibilità di esprimere un radicale come rapporto tra numeri interi N. Chuquet, verso la fine del 1400, introduce il simbolo R 2 che è lequivalente della nostra attuale radice quadrata; Il simbolo che usiamo noi apparve per la prima volta nel 1525 nellopera intitolata Die Coss (che potremmo tradurre come lincognita o la cosa) del matematico tedesco Christolph Rudolff, vissuto nella prima metà del 500.

26 Il libro aveva, tra gli altri scopi, quello di contribuire a diffondere, in unepoca di sviluppo impetuoso e talvolta turbolento della matematica, nuove notazioni che fossero condivise da tutti gli studiosi. Secondo alcuni il simbolo introdotto da Rudolff, che si è conservato praticamente inalterato fino ai giorni nostri, sarebbe una stilizzazione della lettera r, iniziale della parola latina radix (ricordiamo che il latino è stato a lungo la lingua comune degli ambienti scientifici europei). Questa ipotesi è certamente plausibile, anche se mancano conferme stringenti. Una notazione precedente allintroduzione del nuovo simbolo,utilizzava il fatto che la radice quadrata di un numero dato può essere pensata come il lato di un quadrato avente area assegnata, e la radice cubica come lo spigolo di un cubo di volume dato. Usava notazioni del tipo: l (è liniziale di latus cioè lato di un quadrato) e lc sta per latus cubicus (vale a dire spigolo di un cubo)

27 ordinamento R è un insieme totalmente ordinato Presi comunque due numeri reali distinti si può sempre stabilire quale è il maggiore e quale il minore,essendo rappresentabili su di una retta l'insieme R non possiede né un primo né un ultimo elemento

28 Altre caratteristiche di R E un insieme denso, ma non solo…

29 Quanti sono gli elementi di R? Infiniti E un insieme numerabile? Cominceremo col dimostrare che non è numerabile un sottoinsieme dei reali, quello formato dai reali compresi tra 0 e 1. Ne scaturirà che non potrà esserlo linsieme di tutti i R

30 Dimostriamo che non è numerabile linsieme dei R compresi nellintervallo tra 0 e 1 supponiamo di aver potuto ordinare tutti gli elementi di tale insieme, avendo dato dei numeri una rappresentazione decimale illimitata, cioè supponiamo per assurdo tale insieme numerabile: 0,a 1 b 1 c 1 d 1 e ,a 2 b 2 c 2 d 2 e ,a 3 b 3 c 3 d 3 e ,a 4 b 4 c 4 d 4 e ,a 5 b 5 c 5 d 5 e …………………. Formiamo ora un nuovo numero prendendo la prima cifra decimale a diverso da a 1, la seconda b diverso da b 2, c da c 2 etc...Tale numero 0,abcde... per costruzione è diverso da tutti i numeri della lista, quindi la lista non può essere completa. Cvd.

31 In questo modo G. Cantor aveva dimostrato l'esistenza di insiemi infiniti di cardinalità diversa, come ad esempio i numeri naturali e i numeri reali, egli avanzò l 'ipotesi del continuo : Non esiste nessun insieme la cui cardinalità è strettamente compresa fra quella dei numeri naturali e quella dei numeri reali. Matematicamente parlando, la cardinalità degli interi è indicata con Ҳ 0 ( aleph con zero) e la cardinalità dei numeri reali è Ҳ 1 (aleph con uno) Il nome di questa ipotesi deriva dalla retta dei numeri reali, chiamata appunto il continuo. Cantor era convinto della verità dell'ipotesi del continuo, e tentò invano per molti anni di dimostrarla. Essa divenne la prima nella lista dei problemi (oggi noti come Problemi di Hilbert ) che il grande matematico D. Hilbert presentò al Congresso Matematico Internazionale di Parigi nell'anno 1900 Gli studi di Godel e Cohen hanno permesso di stabilire che nella teoria assiomatica degli insiemi (Zermelo-Fraenkel) l'ipotesi del continuo risulta indecidibile

32 Il risultato per cui un'affermazione non possa essere né provata né confutata in un certo insieme di assiomi non è sorprendente: il teorema di incompletezza di Goedel afferma esattamente che se un sistema di assiomi è abbastanza potente e senza contraddizioni esisteranno sempre al suo interno affermazioni di questo tipo. Lipotesi è però ugualmente disturbante, perché è stato il primo esempio concreto di una affermazione interessante e importante a cui si è potuto dire con sicurezza che era impossibile rispondere con un "sì" o un "no", a partire dal gruppo di assiomi universalmente accettati per costruire la nostra matematica.

33 Come definireste voi la proprietà intuitiva di continuità?

34 Continuità L'essenza della continuità è riconosciuta da Dedekind nell'inverso della proprietà che tutti i punti della retta verificano. Assioma di continuità o di Dedekind : se viene fatta una partizione della retta in due classi in cui ogni elemento di una classe sta a sinistra di ogni elemento dell'altra allora esiste uno e un solo punto dal quale questa partizione è prodotta. Abbandonando l'intuizione geometrica Dedekind trasferisce allora al sistema numerico questa proprietà definendo numero reale una sezione di numeri razionali, cioè una coppia di sottoinsiemi non vuoti e disgiunti la cui unione sia l'insieme dei razionali. In questo modo ad ogni sezione corrisponde ora, in analogia con la retta, uno ed un solo numero razionale o irrazionale.

35 Ci sono due famosi labirinti in cui la nostra ragione spesso si perde problema della libertà e necessità da un lato, dallaltro continuità e infinito" (Leibniz). Quanti infiniti esistono? Dato un insieme A di n elementi, tale cioè che | A | = n (cardinalità di A), l'insieme delle sue parti, ossia l'insieme i cui elementi sono i sottoinsiemi di A, in simboli P (A), avrà 2 n elementi, cioè | P (A)| = 2 n (cardinalità dellinsieme delle parti di A) Cantor dimostrò inoltre che 2 Ҳ0 = Ҳ 1, cioè che la potenza del continuo ha la stessa cardinalità dell'insieme delle parti di N. Conseguenza di ciò abbiamo un metodo per costruire insiemi di potenza via via crescente all'infinito: partendo dai numeri naturali avremo: |N| = Ҳ 0 | P (N)| = 2 Ҳ0 | P ( P (N)))| = 2 | P (N)|... Cantor riuscì così a dimostrare l'esistenza di infiniti numeri transfiniti maggiori di Ҳ 0.

36 Operazioni in R I numeri reali sono un insieme di numeri su cui ovviamente si possono fare tutte le operazioni, che corrisponderanno a quelle, nei suoi sottoinsiemi, come i razionali e i naturali e per esse valgono le stesse proprietà che abbiamo già visto. Per non appesantire inutilmente la trattazione dellargomento, mi limito a qualche cenno alle operazioni con i radicali e precisamente ai radicali quadratici. Devo però prima completare la definizione di elevamento a potenza

37 Elevamento a potenza E un' operazione che associa ad una coppia di numeri a e n - detti rispettivamente base ed esponente Consideriamo dapprima n є N se n>1 a n = a*a*a …..*a (per n volte) se n = 1, per ogni a a 1 = a, se n = 0, per ogni a0 a 0 = +1, se n < 0, per ogni a0 a n = 1/a -n Cioè 3 -2 = 1/9

38 Diamo significato anche a potenza con esponente frazionario Poi con a0 e n=p/q є Q Definiamo a n = a p/q = q a p, Considerando solo radicali quadratici a n = a p/2 = a p Ovvero per esempio: 3 1/2 = 3; 5 3/2 = 5 3 ricordando le proprietà delle potenze sarà facile eseguire le operazioni con i radicali

39 Proprietà delle potenze (continuano a valere le stesse di N) prodotto di potenze di uguale base a n a m =a n+m quoziente di potenze di uguale base a n : a m =a n-m potenza di una potenza (a n ) m =a nm prodotto di potenze con uguale esponente a n b n =(ab) n quoziente di potenze con uguale esponente a n : b n =(a : b) n

40 Qualche semplice operazione con i radicali = ? 3 * 2 = ? -4 = ? (3 ) 2 = ? 2 *(3 + 2 )= ? Provate voi !

41 Cenni ai numeri complessi C. L'ultima estensione del "campo dei numeri" (a cui accenno soltanto) è quella nella quale si rende possibile l'estrazione di radice quadrata di numeri negativi. L'ampliamento rispetto all'insieme dei reali avviene essenzialmente attraverso l'introduzione di un solo nuovo "numero", il numero i, detto "unità immaginaria" il quale ha la proprietà: i 2 = -1. Definiamo l'insieme dei Numeri complessi, C, come l'insieme delle espressioni del tipo a+ib, ove a,b siano numeri reali, ed i è quella che abbiamo denotato come unità immaginaria. Nell'espressione di un numero complesso z = a+ib, a viene detta parte immaginaria di z e b parte reale di z. Per rappresentare geometricamente i numeri complessi una retta non basta più; avremo invece bisogno di un piano: Anche in C varranno le proprietà delle operazioni che avevamo in R, ne avremo inoltre altre come il fatto che nei numeri complessi ogni equazione polinomiale (di qualsiasi grado) ha soluzioni.

42 Ma i numeri complessi, che non sono solo utili per risolvere le equazioni, ma anche essenziale per descrivere il mondo naturale: per esempio con le equazioni della meccanica quantistica, perché noi siamo fatti di atomi e quindi siamo fatti di meccanica quantistica. I numeri complessi inoltre generano nuovi schemi, soprattutto i frattali che creano delle forme particolarmente complicate che si ripetono allinfinito, e che sembrano rispecchiare i processi naturali che vediamo ripetersi avanti a noi ogni giorno. I frattali ci danno nuovi indizi su processi che devono aver portato alla formazione delle nuvole o delle rocce, hanno la caratteristica, che chiamiamo di autosomiglianza: se ingrandiamo una parte la vediamo simile allintero, ogni piccolo pezzo riproduce lintero. Gli ampliamenti numerici non sono ancora conclusi: ogni due o trecento anni si arriva a scoprirne uno nuovo. I frattali sono solo una punta piccolissima di un iceberg enorme che ci dice in realtà come funziona luniverso. Nelluniverso esistono strutture molto più sottili, che a livello superficiale creano le cose che conosciamo.

43 Ecco perché la matematica può essere così entusiasmante: ci fa capire che luniverso è molto più grande e complesso di come noi pensiamo e ce ne dà degli indizi, elaborando i quali possiamo scoprire qualcosa di nuovo

44 bibliografia B.Boyer Storia della matematica Mondadori G.Spirito La costruzione matematica Ed. Oberon Courant-Robbins Che cosè la matematica? Boringhieri meri.htm mm_cardinal/transfin.htmhttp://www.racine.ra.it/lcalighieri/pescetti/ricerca_infinito_2004_05/so mm_cardinal/transfin.htm


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