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Maria Giovanna Melis A cura di Maria Giovanna Melis.

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Presentazione sul tema: "Maria Giovanna Melis A cura di Maria Giovanna Melis."— Transcript della presentazione:

1 Maria Giovanna Melis A cura di Maria Giovanna Melis

2 Insiemi Sui quali si possono definire Unione Differenza Complemento Si rappresentano con Diagrammi di Eulero - Venn Carroll ad albero Operazioni e proprietà Differenza simmetrica Si utilizzano anche per Rappresentare e risolvere problemi problemi Rappresentare operazioni tra insiemi Rappresentare classificazioni indotte da relazioni Rappresentare corrispondenze tra gli elementi di due insiemi (diagramma sagittale) Intersezione Potenza

3 PROPRIETA degli OPERATORI PROPRIETA degli OPERATORI, U U Gli operatori e sono operatori binari (lavorano su due insiemi per volta come gli operatori +, -, x, : lavorano su due numeri alla volta). U U Proprietà delloperatore intersezione Per tutti gli insiemi A, B, C valgono le seguenti proprietà: - (A B) C = A (B C) associativa -A B = B A commutativa -A A = A idempotenza -A = U U U U U U U U U U Proprietà delloperatore intersezione Per tutti gli insiemi A, B, C valgono le seguenti proprietà: - (A B) C = A (B C) associativa -A B = B A commutativa -A A = A idempotenza -A = U U U U U U U U

4 Insieme INTERSEZIONE A B A inter B U La congiunzione ( ) V rz r z V AB U rz Lintersezione degli insiemi A e B è linsieme degli elementi comuni ad A e B (cioè di quegli elementi di A che appartengono anche a B) Legami tra le operazioni con gli insiemi e il calcolo dei predicati

5 DISGIUNTI Insiemi DISGIUNTI linsieme vuoto ( ). Da notare che se gli insiemi A e B non hanno elementi in comune, linsieme intersezione è allora linsieme vuoto ( ). A B = U La Colombo Bozzolo presenta due rappresentazioni con il diagramma di Venn: E B A E B A

6 b e Nc e Na a e b e Nc b e c e Na a e c e Nb a e b e c a e Nb e Nc c e Nb e Na Non a e Non b e Non c Il diagramma di Eulero – Venn è la rappresentazione grafica degli insiemi e delle relazioni fra essi. Si rappresentano gli elementi di un insieme dentro una regione piana limitata da una linea chiusa. Tale rappresentazione grafica non è il contorno geometrico di una figura piana. Leonard Euler, svizzero, 1707 – 1783 John Venn, inglese,

7 Sequenza del 3 Numeri pari U: numeri da 1 a 9 argomentopredicatoValore di verità XÈ nella sequenza del 3 e è numero pari VERO O FALSO Il 3è nella sequenza del 3 e è pari FALSO IL 6è nella sequenza del 3 e è pari VERO IL 4è nella sequenza del 3 e è pari FALSO U

8 Insieme UNIONE U A U B A unione B U B A La disgiunzione inclusiva: vel (V) rzr V z z r Lunione degli insiemi A e B è linsieme di tutti gli elementi che appartengono ad A o a B o ad entrambi

9 Insieme DIFFERENZA A - B B - A rz r * z > * Il corrispondente connettivo non ha un nome, è la >; si indica con * AB U rz La differenza degli insiemi A e B è linsieme degli elementi di A che non appartengono a B

10 Insieme DIFFERENZA SIMMETRICA ( ) A B La differenza simmetrica tra A e B è linsieme degli elementi di A che non appartengono a B e di quelli di B che non appartengono ad A rzr W z La disgiunzione esclusiva: aut (W)ABU r z

11 U: 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 14, 15, 16 A : dispari B : primi DispariNon Dispari Primi Non Primi La parte tratteggiata rappresenta lintersezione, cioè la congiunzione degli attributi >, e ancora lintersezione dellinsieme dei Dispari con linsieme dei Primi Non dispari - primi Dispari – Non Primi Non dispari – Non primi Quindi, le possibilità sono quattro: 1.Essere dispari e primo 2.Essere dispari e non primo 3.Non essere dispari e essere primo 4.Non essere dispari e non essere primo

12 A B C A B a e b e non c a e b e c non a e b e c non a e b e non c a e non b e non c a e non b e c non a e non b e c non a e non b e non c Nella classificazione secondo tre attributi, le possibilità sono otto Carroll

13 U: 4, 79, 81,7, 40, 6, 54, 92, 111, 95, 83, 35, 100, 72, 9, 47, 12, 63, 14, 114, 15, 84 A: multipli di 3 B: divisibili per 2 C: compresi tra 10 e 80 A B C A B Multipli di 3 E divisibili per 2 E NON compresi tra 10 e NON multipli di 3 E divisibili per 2 E NON compresi tra 10 e NON multipli di 3 E divisibili per 2 E compresi tra 10 e Multipli di 3 E NON divisibili per 2 E compresi tra 10 e NON multipli di 3 E NON divisibili per 2 E compresi tra 10 e NON multipli di 3 E NON divisibili per 2 E NON compresi tra 10 e Multipli di 3 E NON divisibili per 2 E NON compresi tra 10 e Multipli di 3 E divisibili per 2 E compresi tra 10 e intersezione

14 Insieme COMPLEMENTARE U negazione: non La negazione: non rr r A Se A è un sottoinsieme di U, si chiama complementare di A rispetto a U linsieme degli elementi di U che non appartengono ad A.

15 Nellinsieme N dei numeri naturali, linsieme P dei numeri pari e linsieme D dei numeri dispari sono luno il complementare dellaltro. Nellinsieme U delle lettere dellalfabeto, il complementare dellinsieme delle consonanti è linsieme delle vocali. N D P U C V

16 Insieme COMPLEMENTARE rispetto ad U di A/B implicazione L implicazione se r allora z U r z A B rzr z

17 U: i numeri da 1 a 12 Trovare il numero che risponda alla seguente implicazione: se è pari e multiplo di 3, allora ha due cifre Inclusione: C B A U U A: pari B: multiplo di 3 C: a due cifre U A B C

18 Insieme COMPLEMENTARE rispetto ad U di A B doppiaimplicazione La doppia implicazioneU r z A B rzr z

19 Insieme delle parti di un insieme o insieme POTENZA Dato un insieme P si chiama insieme delle parti di P oppure insieme potenza di P, linsieme di tutti i sottoinsieme di P E utile, in questo caso, elencare in ordine tutti i sottoinsiemi di P con un diagramma ad albero. P = a, b, c P aNon a Non b Non c b c c c c b a,b,ca,ba,c a b,c b c Si sono ottenuti otto sottoinsiemi. Il loro insieme è detto insieme delle parti di P a,b,ca,ba,c a b,c b c P =,,,,,,,

20 Classificando i triangoli rispetto agli angoli si ha una partizione dellinsieme T dei triangoli in tre sottoinsiemi T t acutangoli t rettangoli t ottusangoli

21 Suddividendo i numeri naturali in pari e dispari si ha una partizione dellinsieme IN in due sottoinsiemi: IN Numeri pari Numeri dispari

22 A B C A A B C A B C A B C A B C U A B U U A B C U U U A (B C) U A B C U (C –A) B 3ATTRIBUTI3ATTRIBUTI

23 Confrontiamo le tre diverse rappresentazioni: ANON A NON B B B A e Non B A e BNon A e BNon A e Non B A B A e non B B e non A A e B Non A e Non B ANON A NON B B A e B Non A e Non B Non A e B A e Non B

24 I diagrammi ad albero visualizzano operazioni mentali di analisi e classificazione. Un diagramma ad albero è costituito da un insieme di nodi e da un insieme di rami che collegano i nodi. Es. U: 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12 A: Pari B: Primi C: Multipli di 3 Multipli di 3 Pari (2, 4, 6, 8, 10, 12) Non Pari (1, 3, 5, 7, 9, 11) Primi (2) Non Primi (4,6,8, 10,12) Primi (3,5, 7,11) Non Primi (1, 9) Non Multipli di 3 (2) Non Multipli di 3 (4, 8,10) Multipli di 3 (3) Multipli di 3 (6, 12) Non Multipli di 3 (1) Multipli di 3 (9) Non Multipli di 3 (5, 7, 11)

25 U : POLIGONI A: essere convessi B: avere quattro lati C: avere assi di simmetria

26 P NON ASSI SIMMETRIA ASSI SIMMETRIA NON ASSI SIMMETRIA ASSI SIMMETRIA NON ASSI SIMMETRIA NON CONVESSI CONVESSI 4 LATI NON 4 LATI 4 LATI NON 4 LATI

27

28 In una classe : 10 bambini hanno sorelle; 5 hanno fratelli; 3 hanno sia fratelli che sorelle; 12 sono figli unici. Quanti sono gli alunni della classe? = 27

29 In una palestra di 30 atleti, 25 praticano il nuoto; 10 praticano latletica; 2 non praticano né il nuoto né latletica. Quanti atleti praticano solo il nuoto? Quanti entrambi gli sport? U = insieme degli atleti A = insieme Nuoto B = insieme Atletica 2 atleti non praticano né nuoto né atletica, ne segue che 28 atleti praticano invece nuoto o atletica o entrambi. AB U 28 – – –

30 Bambini e Sport Tra questi bambini: Angelo, Bruno, Carlo, Daria, Elisa, Franco, Giorgio, Ilaria, Luca, Marco, Nadia e Orietta, Alcuni praticano il Tennis: Angelo, Carlo, Orietta, Ilaria e Nadia Alcuni praticano il calcio: Bruno, Ilaria, Carlo, Franco Alcuni praticano la corsa: Carlo, Orietta, Franco, Daria, Giorgio e Luca 1- Quali e quanti bambini praticano tutti e tre gli sport? 2- Quali e quanti bambini praticano un solo sport? 3- Quali e quanti praticano almeno uno sport? 4- Quali e quanti nessuno sport? Per risolvere questo problema si possono utilizzare tre diverse rappresentazioni: Diagramma di Eulero - Venn Diagramma ad albero Diagramma di Carroll

31 BB AA C CC C ABC A B Ilaria Carlo Angelo Nadia Orietta Franco Daria Giorgio Luca Bruno Elisa Marco CarloOrietta Ilaria Angelo Nadia Franco Daria Giorgio Luca Bruno Elisa Marco A: Tennis B: Calcio C: Corsa U = un gruppo di bambini che praticano sport Alcuni autori hanno proposto questa diversa rappresentazione del diagramma di Carroll

32 A Tennis B Calcio C Corsa Angelo Nadia Bruno Ilaria Carlo OriettaFranco Daria GiorgioLuca Elisa Marco U

33 A BAB CCCCBB C C CC BrunoElisa Marco Daria Giorgio Luca Franco Angelo Nadia OriettaCarloIlaria

34 Multipli di 5 Non Multipli di 5 Non Minori di 5 Minori di 5 Non dispari Dispari Dispari U = 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10 A= Multipli di 5 B= Minori di 5 C= dispari Unaltra rappresentazione con il diagramma di Carroll Questa rappresentazione è anche conosciuta come Diagramma di Karnaugh

35 Disponi questi nomi nel diagramma di Carroll: Case, libro, sedie, pulcino, palla,, quaderno, Antonio, evidenziatore, Luca, bambini maschili Non maschili singolari Non singolari

36 Disponi gli articoli nel diagramma di Venn U= tutti gli articoli A: essere singolare B: essere determinativo C: essere maschile U A C B

37 4 zampe Non 4 zampe Per i più piccoli: Diagramma di Venn

38 4 zampe Classificazioni secondo un attributo Attributo: avere quattro zampe Negazione dellattributo: non avere quattro zampe Non 4 zampe Diagramma di Carroll

39 U 4 zampe Non 4 zampe Diagramma ad albero

40 Fine Riferimenti bibliografici: Clara Colombo Bozzolo, Primi elementi di logica, insiemi, relazioni, La scuola, 1993 Gia Filipozzi Maricchiolo, Logica, probabilità, statistica e informatica, Fabbri editori, 1990 Tenuta, Itinerari di logica, probabilità, statistica, informatica, La scuola, 1992 Lanciotti, Marazzani, Logica, Carocci Faber, 2004


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