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Università degli Studi di Ferrara Università degli Studi di Ferrara Il problema della misura. Integrale definito e sue applicazioni Specializzando Tutor.

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Presentazione sul tema: "Università degli Studi di Ferrara Università degli Studi di Ferrara Il problema della misura. Integrale definito e sue applicazioni Specializzando Tutor."— Transcript della presentazione:

1 Università degli Studi di Ferrara Università degli Studi di Ferrara Il problema della misura. Integrale definito e sue applicazioni Specializzando Tutor Dott. Eros Bernardi Prof. Luigi Tomasi Relatore Prof. Valter Roselli CORSO SPECIALE ABILITANTE – CLASSE A049 MATEMATICA E FISICA ANNO ACCADEMICO 2005/2006

2 Introduzione al percorso didattico e scelte metodologiche. Il capitolo risulta composto da una breve introduzione; quindi prosegue con la trattazione storica del concetto di integrale definito, per concludersi con la trattazione delle scelte metodologiche per la classe. Anno 2005/20062 Classe di Concorso A049 Eros Bernardi Presentazione dei contenuti ed intervento didattico. Il secondo capitolo si apre con la trattazione degli obbiettivi e prerequisiti per poi dare ampio spazio alla tempistica e trattazione degli argomenti.

3 Scelta del periodo e metodologie Percorso didattico previsto per una classe quinta di un Liceo Scientifico con indirizzo P.N.I. nel periodo di Marzo Aprile. Percorso didattico previsto per una classe quinta di un Liceo Scientifico con indirizzo P.N.I. nel periodo di Marzo Aprile. Il docente cercherà ogni occasione per illustrare alcune questioni di epistemologia della disciplina. Il docente cercherà ogni occasione per illustrare alcune questioni di epistemologia della disciplina. L'uso dell'elaboratore elettronico sarà via via potenziato. L'uso dell'elaboratore elettronico sarà via via potenziato. Visualizzazione di processi algoritmici non attuabile con elaborazione manuale Visualizzazione di processi algoritmici non attuabile con elaborazione manuale Si insiste sull'opportunità che l'insegnamento sia condotto per problemi. Si insiste sull'opportunità che l'insegnamento sia condotto per problemi. Anno 2005/2006 Classe di Concorso A049 Eros Bernardi3

4 Programma ministeriale Il problema della misura sarà affrontato con un approccio molto generale. Il problema della misura sarà affrontato con un approccio molto generale. Inquadramento preferibilmente sotto il profilo storico. Inquadramento preferibilmente sotto il profilo storico. Il concetto di integrale scaturirà poi in modo naturale dalla necessità di dare metodi generali per il calcolo di lunghezze, aree, volumi Il concetto di integrale scaturirà poi in modo naturale dalla necessità di dare metodi generali per il calcolo di lunghezze, aree, volumi Anno 2005/2006 Classe di Concorso A049 Eros Bernardi4

5 Prerequisiti Divisione tra due polinomi; i radicali; geometria analitica; trigonometria; funzioni esponenziali e logaritmiche. Divisione tra due polinomi; i radicali; geometria analitica; trigonometria; funzioni esponenziali e logaritmiche. Rappresentazione grafica di una funzione nel piano cartesiano. Rappresentazione grafica di una funzione nel piano cartesiano. Limite per successioni e funzioni. Limite per successioni e funzioni. Continuità e derivazione. Continuità e derivazione. Integrale indefinito. Integrale indefinito. Anno 2005/2006 Classe di Concorso A049 Eros Bernardi5

6 Obiettivi generali Essere in grado di inquadrare storicamente l'evoluzione delle idee matematiche fondamentali. Essere in grado di inquadrare storicamente l'evoluzione delle idee matematiche fondamentali. Avere compreso il valore strumentale della matematica per lo studio delle altre scienze. Avere compreso il valore strumentale della matematica per lo studio delle altre scienze. Sapere elaborare informazioni ed utilizzare consapevolmente metodi di calcolo e strumenti informatici Sapere elaborare informazioni ed utilizzare consapevolmente metodi di calcolo e strumenti informatici Anno 2005/2006 Classe di Concorso A049 Eros Bernardi6

7 Obiettivi specifici Saper affrontare a livello critico situazioni problematiche di varia natura, scegliendo in modo flessibile e personalizzato le strategie di approccio. Saper affrontare a livello critico situazioni problematiche di varia natura, scegliendo in modo flessibile e personalizzato le strategie di approccio. Abilità di individuare le strategie più appropriate per risolvere integrali e problemi connessi al calcolo integrale (calcolo di aree, volumi ecc.) Abilità di individuare le strategie più appropriate per risolvere integrali e problemi connessi al calcolo integrale (calcolo di aree, volumi ecc.) Significati fisici del concetto di integrale definito Significati fisici del concetto di integrale definito Anno 2005/2006 Classe di Concorso A049 Eros Bernardi7

8 Cenni storici sul concetto di integrale Il calcolo degli integrali definiti prende inizio dalla necessità di determinare le aree di figure piane aventi contorno curvilineo. Il calcolo degli integrali definiti prende inizio dalla necessità di determinare le aree di figure piane aventi contorno curvilineo. Le idee principali che sono alla base del calcolo differenziale si sono sviluppate lungo i secoli; i primi passi furono compiuti dai matematici greci. Le idee principali che sono alla base del calcolo differenziale si sono sviluppate lungo i secoli; i primi passi furono compiuti dai matematici greci. Il primo a muovesi in questa direzione Il primo a muovesi in questa direzione è Archimede di Siracusa ( a.C.) è Archimede di Siracusa ( a.C.) che mediante il metodo di esaustione che mediante il metodo di esaustione calcola con buona approssimazione calcola con buona approssimazione larea del cerchio e determina larea del settore parabolico. larea del cerchio e determina larea del settore parabolico. Anno 2005/20068 Classe di Concorso A049 Eros Bernardi

9 La nascita del calcolo integrale Anche se esistono alcune discussioni sulla paternità originale, Gottfried Wilhellm von Leibniz ( ) è accreditato assieme ad Isaac Newton dell'invenzione, intorno al 1670, del calcolo infinitesimale. Anno 2005/20069 Classe di Concorso A049 Eros Bernardi

10 Lo sviluppo del calcolo integrale In seguito Augustin Louis Cauchy( ) nel Cours danalyse da una definizione Rigorosa dellintegrale. Johann Peter Gustav Lejeune Dirichlet( ) affermare che condizione necessaria per l'integrabilità sia che l'insieme dei suoi punti di discontinuità sia "rado. Anno 2005/ Classe di Concorso A049 Eros Bernardi

11 Il problema è ripreso nella memoria di Georg Friedrich Bernhard Riemann( ), in essa, introduce l'integrale che porta il suo nome. Henri Léon Lebesgue( ) rielaborò le nuove idee, ponendole alla base della sua trattazione dell'integrale una nuova idea di integrazione estendendo la classe delle funzioni integrabili Anno 2005/ Classe di Concorso A049 Eros Bernardi

12 Sequenza logica e temporale dei contenuti. Dalla definizione di integrale al teorema di Torricelli-Barrow Dalla definizione di integrale al teorema di Torricelli-Barrow Grafico della funzione integrale ed il calcolo delle aree Grafico della funzione integrale ed il calcolo delle aree Integrale generalizzato Integrale generalizzato Volumi dei solidi, lunghezza di archi di curva e larea di una superficie di rotazione. Volumi dei solidi, lunghezza di archi di curva e larea di una superficie di rotazione. Derive6, lintegrale definito e le sue applicazioni. Derive6, lintegrale definito e le sue applicazioni. Significati dell integrale in fisica. Significati dell integrale in fisica. Anno 2005/ Classe di Concorso A049 Eros Bernardi

13 Trapezoide. Dividiamo l'intervallo in parti uguali di ampiezza Dividiamo l'intervallo in parti uguali di ampiezza Consideriamo i rettangoli aventi per base un segmento di suddivisione e per altezza il segmento o Consideriamo i rettangoli aventi per base un segmento di suddivisione e per altezza il segmento o Indichiamo con la somma delle aree di tutti questi rettangoli di altezza Indichiamo con la somma delle aree di tutti questi rettangoli di altezza Sia la funzione positiva nellintervallo allora: Analogamente si avrà se considero Anno 2005/ Classe di Concorso A049 Eros Bernardi

14 Utilizzando l'ipotesi di continuità della funzione in si riesce a dimostrare, che le due successioni: Utilizzando l'ipotesi di continuità della funzione in si riesce a dimostrare, che le due successioni: convergono allo stesso limite, che viene indicato con il simbolo: Anno 2005/ Classe di Concorso A049 Eros Bernardi

15 Integrale definito Tuttavia la definizione più generale di integrale definito non richiede questa ipotesi in quanto non si collega all'area dei trapezoidi. Tuttavia la definizione più generale di integrale definito non richiede questa ipotesi in quanto non si collega all'area dei trapezoidi. Possiamo comunque dare Possiamo comunque dare un significato di tipo geometrico, considerando, ad esempio, una funzione come in figura Anno 2005/ Classe di Concorso A049 Eros Bernardi

16 Calcolo dellintegrale definito Il calcolo dellintegrale definito risulta complesso anche se consideriamo una funzione semplice come la parabola Il calcolo dellintegrale definito risulta complesso anche se consideriamo una funzione semplice come la parabola Nella maggior parte dei casi risulta impossibile da calcolare. Nella maggior parte dei casi risulta impossibile da calcolare. Risulta come si osserva in alcuni casi particolari legarlo ai valori della primitiva agli estremi dellintervallo Risulta come si osserva in alcuni casi particolari legarlo ai valori della primitiva agli estremi dellintervallo Anno 2005/ Classe di Concorso A049 Eros Bernardi

17 Teorema della media. Se è una funzione continua in, esiste almeno un punto tale che: Se è una funzione continua in, esiste almeno un punto tale che: Significato Geometrico. Anno 2005/ Classe di Concorso A049 Eros Bernardi

18 Teorema di Torricelli-Barrow. Data la funzione continua in un intervallo, la funzione integrale:, la funzione integrale: è derivabile e risulta: Anno 2005/ Classe di Concorso A049 Eros Bernardi

19 Il calcolo dellintegrale definito. Dal teorema di Torricelli-Barrow possiamo ottenere la formula del calcolo dellintegrale definito. Dal teorema di Torricelli-Barrow possiamo ottenere la formula del calcolo dellintegrale definito. e la funzione integranda e la funzione integranda Anno 2005/ Classe di Concorso A049 Eros Bernardi

20 Il calcolo delle aree Area del segmento parabolico Area del segmento parabolico Area delimitata da una circonferenza Area delimitata da una circonferenza Area della regione delimitata dallellisse Area della regione delimitata dallellisse Le aree di figure piane Le aree di figure piane Il problema delle aree negative. Il problema delle aree negative. Anno 2005/ Classe di Concorso A049 Eros Bernardi

21 Area racchiusa da due funzioni. Siano e due funzioni definite nello stesso intervallo, con per ogni in, i cui grafici racchiudano una superficie chiusa. Larea della super-ficie è allora data: Anno 2005/ Classe di Concorso A049 Eros Bernardi

22 Gli Integrali generalizato Consideriamo la funzione continua Consideriamo la funzione continua Consideriamo un punto z interno all'intervallo Consideriamo un punto z interno all'intervallo La funzione continua La funzione continua Quindi esiste l'integrale Quindi esiste l'integrale Si dice che la funzione è in integrabile in senso improprio se esiste ed è finito il limite: Si dice che la funzione è in integrabile in senso improprio se esiste ed è finito il limite: Anno 2005/ Classe di Concorso A049 Eros Bernardi

23 Volumi dei solidi Metodo delle fette Metodo delle fette Volume dei solidi di rotazione Volume dei solidi di rotazione Anno 2005/ Classe di Concorso A049 Eros Bernardi

24 Derive6 e lintegrale e sue applicazioni. Rappresentare sullo stesso grafico la funzione e una sua funzione integrale Rappresentare sullo stesso grafico la funzione e una sua funzione integrale Anno 2005/ Classe di Concorso A049 Eros Bernardi

25 Osservazioni sulla funzione integrale. Anno 2005/2006 Classe di Concorso A049 Eros Bernardi25 Osserviamo che i grafici delle funzioni possono essere sovrapposti. Osserviamo che i grafici delle funzioni possono essere sovrapposti. I grafici mette in rilievo il fatto che la funzione integrale per i valori di a=5 si annulla in x=5 I grafici mette in rilievo il fatto che la funzione integrale per i valori di a=5 si annulla in x=5 Negli intervalli in cui la parabola è positiva la funzione integrale e crescente e viceversa Negli intervalli in cui la parabola è positiva la funzione integrale e crescente e viceversa

26 Approfondimenti: significato fisico dellintegrale. Legge oraria del moto. Legge oraria del moto. Il lavoro. Il lavoro. Energia Cinetica. Energia Cinetica. Quantità di carica. Quantità di carica. Energia di una corrente alternata. Energia di una corrente alternata. Anno 2005/ Classe di Concorso A049 Eros Bernardi

27 Verifiche - Valutazione Le fasi di verifica e valutazione dell'apprendimento devono essere strettamente correlate e coerenti. Le fasi di verifica e valutazione dell'apprendimento devono essere strettamente correlate e coerenti. La valutazione non deve essere un controllo sulla padronanza delle sole abilità di calcolo o di particolari conoscenze mnemoniche degli allievi. La valutazione non deve essere un controllo sulla padronanza delle sole abilità di calcolo o di particolari conoscenze mnemoniche degli allievi. Le verifiche sommative serviranno a valutare il grado di conoscenze e competenze raggiunto da ogni studente. Le verifiche sommative serviranno a valutare il grado di conoscenze e competenze raggiunto da ogni studente. Anno 2005/2006 Classe di Concorso A049 Eros Bernardi27

28 Recupero Attraverso la ripresa dei concetti non recepiti e lo svolgimento di esercizi che aiutino a fare chiarezza sulle procedure non comprese. Attraverso la ripresa dei concetti non recepiti e lo svolgimento di esercizi che aiutino a fare chiarezza sulle procedure non comprese. Attività pomeridiane con gli studenti interessati (sportello scolastico e tutoring). Attività pomeridiane con gli studenti interessati (sportello scolastico e tutoring). Diversificati interventi didattici, finalizzati anche all'attività di recupero. Diversificati interventi didattici, finalizzati anche all'attività di recupero. Anno 2005/2006 Classe di Concorso A049 Eros Bernardi28

29 Conclusioni Compito dellinsegnante è proprio fare da mediatore tra i saperi accademici e gli studenti Compito dellinsegnante è proprio fare da mediatore tra i saperi accademici e gli studenti Far cogliere i legami interdisciplinari dellargomento. Far cogliere i legami interdisciplinari dellargomento. Demolire il normale contratto didattico con gli alunni. Demolire il normale contratto didattico con gli alunni. Fare accettare allo studente la responsabilità di una situazione di apprendimento. Fare accettare allo studente la responsabilità di una situazione di apprendimento. Anno 2005/2006 Classe di Concorso A049 Eros Bernardi29


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