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NUMERI COMPLESSI E INTERPOLAZIONE TRIGONOMETRICA SEMINARI DI METODI MATEMATICI PER LOTTIMIZZAZIONE A.A 2011/2012 PARTE I I NUMERI COMPLESSI SANTAMARIA.

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1 NUMERI COMPLESSI E INTERPOLAZIONE TRIGONOMETRICA SEMINARI DI METODI MATEMATICI PER LOTTIMIZZAZIONE A.A 2011/2012 PARTE I I NUMERI COMPLESSI SANTAMARIA DANIELE VENTURA MARCO

2 Contenuti Nascita dei numeri complessi. Rappresentazioni dei numeri complessi. Potenza n-esima. Radici n-esima. Radici n-esima dellunità. Formule di Eulero Esercizi !

3 o Niccolò Fontana detto Tartaglia ( ) li utilizzò come «artifici algebrici» per risolvere equazioni di terzo grado (pubblicati da Cardano). o Rafael Bombelli ( ) si occupò del caso irriducibile delle equazioni di terzo grado, formulando le leggi formali di calcolo «complesso». Perché i numeri complessi

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5 Bombelli prese in esame le «quantità silvestri» ( le radici immaginarie) introducendo i termini «più di meno» (+i) e «meno di meno (-i) e formulò le seguenti regole ( algebra dei «quaternioni») : Successivamente (nel Seicento) Cartesio chiamò i «nuovi numeri» numeri immaginari e solo nellOttocento i numeri non immaginari furono chiamati reali. Nel Settecento si sviluppò la parte teorica dei numeri complessi, fino ad allora utilizzati come «artifizi». (+1)· (+i) = +i (–1)· (+i) = –i (+1)· (–i) = –i (–1)· (–i) = +i (+i)· (+i) = –1 (+i)· (–i) = +1 (–i)· (+i) = +1 (–i)· (–i) = –1

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8 Addizione

9 Moltiplicazione

10 A volte la rappresentazione algebrica dei numeri complessi può rilevarsi scomoda per alcune operazioni. È possibile, tuttavia, fare ricorso ad altre rappresentazioni. Rappresentazione Vettoriale. Rappresentazione Geometrica. Rappresentazione Trigonometrica ( o polare) Rappresentazione Esponenziale.

11 Rappresentazione Vettoriale

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13 Somma di numeri complessi (legge del parallelogramma). Prodotto di numeri complessi (prodotto dei moduli e somma degli argomenti). Il prodotto (scalare) di due vettori è uno scalare. Il prodotto di un vettore per uno scalare è un vettore. In C il prodotto di due numeri complessi è un numero complesso.

14 Rappresentazione Geometrica Fissato un sistema di riferimento cartesiano ortogonale e dato un numero complesso z=x+iy, i suoi numeri reali x e y possono essere interpretati come coordinate cartesiane del punto P

15 Rappresentazione Trigonometrica

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23 Rappresentazione Esponenziale

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31 Campi di Applicazione Teoria dei numeri Integrali impropri Equazioni differenziali Frattali Dinamica dei fluidi Meccanica Quantistica Relatività

32 PARTE I FINE


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