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La programmazione lineare E una tecnica matematica usata nella pianificazione amministrativa ed economica per trovare il massimo o il minimo di funzioni.

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Presentazione sul tema: "La programmazione lineare E una tecnica matematica usata nella pianificazione amministrativa ed economica per trovare il massimo o il minimo di funzioni."— Transcript della presentazione:

1 La programmazione lineare E una tecnica matematica usata nella pianificazione amministrativa ed economica per trovare il massimo o il minimo di funzioni lineari soggette a vincoli

2 Il ricavo (o il costo) assume la forma di funzione, che viene indicata spesso con z e viene detta funzione obiettivo. funzione obiettivo.

3 E s e m p i o: Un azienda produce quotidianamente una quantità x di divani e una quantità y di poltrone

4 x y N° di divani prodotti N° di poltrone prodotte

5 L azienda ricava 600 per ogni divano venduto e 400 per ogni poltrona venduta. L azienda ricava 600 per ogni divano venduto e 400 per ogni poltrona venduta.

6 Il ricavo assume la forma di funzione: Z = 600 X y

7 Il ricavo assume la forma di funzione: Z = 600 X y Quanto vale il massimo ricavo per l azienda ?

8 Al variare di x e di y, ovvero del numero di articoli prodotti dell uno e dell altro tipo, varia il ricavo giornaliero. Al variare di x e di y, ovvero del numero di articoli prodotti dell uno e dell altro tipo, varia il ricavo giornaliero.

9 La funzione z = 600 x y nello spazio viene rappresentata con un piano. La funzione z = 600 x y nello spazio viene rappresentata con un piano. Da un punto di vista matematico, questa funzione ricavo non ha limitazioni … Da un punto di vista matematico, questa funzione ricavo non ha limitazioni …

10 Da un punto di vista pratico ci rendiamo conto che x ed y non possono assumere valori qualsiasi, ma devono obbedire a dei vincoli

11 I vincoli (di produzione) possono essere dovuti a: Disponibilità di materiale Disponibilità di materiale Ore lavorative Ore lavorative Capienza del magazzino Capienza del magazzino

12 L obiettivo del problema è trovare il valore di produzione che rende massimo il ricavo, tenendo conto dei vincoli.

13 Aggiungiamo dei vincoli al problema …

14 1° VINCOLO: Ogni divano richiede 2 ore di lavoro, mentre ogni poltrona richiede 1 ora. In azienda le ore lavorative sono 8 al giorno.

15 2° VINCOLO: Il salottificio può produrre giornalmente al massimo 6 oggetti

16 I vincoli si traducono in DISEQUAZIONI

17 ore lavorative 8 ore lavorative 8

18 Bisogna esprimere le ore lavorative in funzione di x e y ore lavorative 8 ore lavorative 8

19 2 x + y 8

20 n° di oggetti prodotti 6

21 Bisogna esprimere anche questo vincolo in funzione di x e y

22 n° di oggetti prodotti 6 x + y 6 x + y 6

23 Oltre ai vincoli di produzione esistono i vincoli di segno: Oltre ai vincoli di produzione esistono i vincoli di segno: Le quantità prodotte x ed y non possono essere negative: x 0 y 0

24 Oltre ai vincoli di produzione esistono i vincoli di segno: Oltre ai vincoli di produzione esistono i vincoli di segno: Le quantità prodotte x ed y non possono essere negative: x 0 y 0 3° VINCOLO

25 R I E P I L O G A N D O: Il problema consiste nel trovare il massimo della funzione lineare:

26 R I E P I L O G A N D O: Il problema consiste nel trovare il massimo della funzione lineare: z = 600 x y

27 R I E P I L O G A N D O: Il problema consiste nel trovare il massimo della funzione lineare: z = 600 x y Soggetta al sistema di vincoli:

28 R I E P I L O G A N D O: Il problema consiste nel trovare il massimo della funzione lineare: z = 600 x y Soggetta al sistema di vincoli: x 0x 0y 0y 0x 0x 0y 0y 0 2 x + y 8 x + y 6 x + y 6

29 G E N E R A L I Z Z A N D O … Si parla di PROGRAMMAZIONE LINEARE quando si e' in presenza di:

30 G E N E R A L I Z Z A N D O … Si parla di PROGRAMMAZIONE LINEARE quando si e' in presenza di: a) una FUNZIONE LINEARE di 2 o più VARIABILI INDIPENDENTI che si deve MASSIMIZZARE (se si tratta di FUNZIONE RICAVO o PROFITTO) oppure MINIMIZZARE (se si tratta di FUNZIONE COSTI); a) una FUNZIONE LINEARE di 2 o più VARIABILI INDIPENDENTI che si deve MASSIMIZZARE (se si tratta di FUNZIONE RICAVO o PROFITTO) oppure MINIMIZZARE (se si tratta di FUNZIONE COSTI);

31 G E N E R A L I Z Z A N D O … Si parla di PROGRAMMAZIONE LINEARE quando si e' in presenza di: a) una FUNZIONE LINEARE di 2 o più VARIABILI INDIPENDENTI che si deve MASSIMIZZARE (se si tratta di FUNZIONE RICAVO o PROFITTO) oppure MINIMIZZARE (se si tratta di FUNZIONE COSTI); a) una FUNZIONE LINEARE di 2 o più VARIABILI INDIPENDENTI che si deve MASSIMIZZARE (se si tratta di FUNZIONE RICAVO o PROFITTO) oppure MINIMIZZARE (se si tratta di FUNZIONE COSTI); b) un INSIEME DI VINCOLI dati da EQUAZIONI o DISEQUAZIONI LINEARI A 2 O PIU' VARIABILI; b) un INSIEME DI VINCOLI dati da EQUAZIONI o DISEQUAZIONI LINEARI A 2 O PIU' VARIABILI;

32 G E N E R A L I Z Z A N D O … Si parla di PROGRAMMAZIONE LINEARE quando si e' in presenza di: a) una FUNZIONE LINEARE di 2 o più VARIABILI INDIPENDENTI che si deve MASSIMIZZARE (se si tratta di FUNZIONE RICAVO o PROFITTO) oppure MINIMIZZARE (se si tratta di FUNZIONE COSTI); a) una FUNZIONE LINEARE di 2 o più VARIABILI INDIPENDENTI che si deve MASSIMIZZARE (se si tratta di FUNZIONE RICAVO o PROFITTO) oppure MINIMIZZARE (se si tratta di FUNZIONE COSTI); b) un INSIEME DI VINCOLI dati da EQUAZIONI o DISEQUAZIONI LINEARI A 2 O PIU' VARIABILI; b) un INSIEME DI VINCOLI dati da EQUAZIONI o DISEQUAZIONI LINEARI A 2 O PIU' VARIABILI; c) un INSIEME DI VINCOLI DI SEGNO, di norma POSITIVO, che esprimono la NON-NEGATIVITA' delle VARIABILI presenti, essendo esse GRANDEZZE ECONOMICHE. c) un INSIEME DI VINCOLI DI SEGNO, di norma POSITIVO, che esprimono la NON-NEGATIVITA' delle VARIABILI presenti, essendo esse GRANDEZZE ECONOMICHE.

33 Risoluzione del problema Si parte con la risoluzione per via grafica del sistema di disequazioni: x 0x 0y 0y 0x 0x 0y 0y 0 2 x + y 8 x + y 6 x + y 6

34 Risoluzione del problema Si parte con la risoluzione per via grafica del sistema di disequazioni: x 0x 0y 0y 0x 0x 0y 0y 0 2 x + y 8 x + y 6 x + y 6 x 0x 0y 0y 0x 0x 0y 0y 0 y - 2 x + 8 y - x + 6 y - x + 6

35 Risoluzione del problema Si rappresentano le rette corrispondenti alle equazioni associate: x 0x 0y 0y 0x 0x 0y 0y 0 y - 2 x + 8 y - x + 6 y - x + 6 x = 0 y = 0 y = - 2 x + 8 y = - x + 6 y = - x + 6

36 x y

37 x y y = - 2 x + 8

38 x y y = - 2 x + 8 y = - x + 6

39 x y y = - 2 x + 8 y = - x + 6 x = 0 x = 0

40 x y y = - 2 x + 8 y = - x + 6 y = 0 x = 0 x = 0

41 x y y - 2 x + 8 y - x + 6 y 0 x 0 x 0 x 0 x 0

42 x y y - 2 x + 8 y - x + 6 y 0 x 0 x 0 REGIONE AMMISSIBILE

43 x y y - 2 x + 8 y - x + 6 y 0 x 0 x 0 Il massimo della funzione z si trova su uno dei vertici del poligono

44 x y In questo caso il poligono è un quadrilatero C(4; 0) B(2; 4) A(0; 6) O(0; 0)

45 x y A(0; 6) B(2; 4) C(4; 0)O(0; 0) Teorema della programmazione lineare

46 x y A(0; 6) B(2; 4) C(4; 0)O(0; 0) Z A = 600 * * 6 = 2.400

47 x y A(0; 6) B(2; 4) C(4; 0)O(0; 0) Z A = 600 * * 6 = Z B = 600 * * 4 = 2.800

48 x y A(0; 6) B(2; 4) C(4; 0)O(0; 0) Z A = 600 * * 6 = Z B = 600 * * 4 = Z C = 600 * * 0 = 2.400

49 x y A(0; 6) B(2; 4) C(4; 0)O(0; 0) Z A = 600 * * 6 = Z B = 600 * * 4 = Z C = 600 * * 0 = Z O = 600 * * 0 = 0

50 x y A(0; 6) B(2; 4) C(4; 0)O(0; 0) Z A = 600 * * 6 = Z B = 600 * * 4 = Z C = 600 * * 0 = Z O = 600 * * 0 = 0

51 x y A(0; 6) B(2; 4) C(4; 0)O(0; 0) Z A = 600 * * 6 = Z B = 600 * * 4 = Z C = 600 * * 0 = Z O = 600 * * 0 = 0 Il massimo ricavo ( 2.800) si ha con una produzione giornaliera di 2 divani e 4 poltrone.

52 Teorema della programmazione lineare Quando l insieme delle soluzioni ammissibili di un problema di programmazione lineare è un poligono convesso, allora la soluzione ottimale (ossia il punto di massimo o di minimo della funzione obiettivo), esiste sempre e si trova in uno dei vertici del poligono. Quando l insieme delle soluzioni ammissibili di un problema di programmazione lineare è un poligono convesso, allora la soluzione ottimale (ossia il punto di massimo o di minimo della funzione obiettivo), esiste sempre e si trova in uno dei vertici del poligono.


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