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1 POLINOMI E FUNZIONI relazioni tra radici e simmetrie Lezione 3.

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Presentazione sul tema: "1 POLINOMI E FUNZIONI relazioni tra radici e simmetrie Lezione 3."— Transcript della presentazione:

1 1 POLINOMI E FUNZIONI relazioni tra radici e simmetrie Lezione 3

2 2 Delle radici conosciamo la somma, la somma dei prodotti a due a due…. ed è da questi valori, che sono i coefficienti dellequazione e quindi tutto quello che abbiamo a disposizione, che dobbiamo ottenerle. Sai perche? Prova a fare il prodotto di (x-x 1 ) (x-x 2 ) (x-x 3 ) Vedrai che: il coefficiente di x 2 è dato da …………….. il coefficiente di x è dato da ……………………

3 3 In generale in una equazione x n +a n-1 x n-1 +……………..a 1 x+a 0 =0 a n-1 è lopposto della somma delle radici a n-2 è la somma dei prodotti due a due delle radici a n-3 è lopposto della somma dei prodotti delle radici tre a tre

4 4 Lequazione ci presenta le radici insieme Tocca a noi separarle

5 5 Non è possibile separare le radici Se e sono le radici di un polinomio irriducibile p(x), Esiste un altro polinomio a coefficienti razionali che ammette la radice ma non ?

6 6 Teorema Se un polinomio irriducibile p(x) ha una radice in comune con un polinomio f(x), allora ha anche tutte le radici di p(x) sono radici di f(x) Attenzione è irriducibile in Q

7 7 Il teorema si dimostra tenendo conto che il massimo comun divisore tra due polinomi si calcola senza uscire dal campo dei coefficienti. Se ne conclude che Non è possibile distinguere tra loro le radici di un polinomio irriducibile a partire dai polinomi che essi soddisfano E invece possibile distinguere da Il primo è infatti radice di ma non di

8 8 Se non è possibile separare le radici si possono separare tra loro insiemi di radici? In alcuni casi ciò è possibile consideriamo il polinomio

9 9 La somma delle radici è zero ( coefficiente di ) Se è una radice anche – lo è Quindi non solo la somma delle radici e zero ma anche la somma delle radici due a due lo è In pratica Le coppie di radici ( sono tali che e Se scambiamo le radici e contemporaneamente le coppie si scambiano ma lambiguità resta la stessa Allo stesso modo se operiamo la permutazione ciclica La coppia si trasforma in e questultima in Delle 24 permutazioni possibili sulle i, otto conservano le due coppie

10 10 Le permutazioni accettabili si possono visualizzare così:

11 11 Se facciamo corrispondere le quattro radici ai vertici di un quadrato queste otto permutazioni rappresentano anche le otto simmetrie del quadrato, cioè le otto trasformazioni che conservano le distanze tra punti ( isometrie ) Vediamo la rapprentazione grafica della permutazionipermutazioni

12 12 Si può verificare che nessunaltra oltre alle otto permutazioni viste conserva tutte le relazioni tra le quattro radici. Queste permutazioni formano un gruppo: il gruppo di Galois dellequazione, sottogruppo del gruppo S n di tutte le permutazioni sulle n radici ( gruppo simmetrico)gruppo simmetrico

13 13 Si dice GRUPPO un insieme dotato di una operazione che gode delle seguenti proprietà Loperazione è associativa Esiste un particolare elemento, lidentità, che composto con tutti gli altri sia a destra che a sinistra li lascia invariati Ogni elemento è dotato di inverso ossia di un elemento che composto con tutti gli altri sia a destra che a sinistra da come risultato lidentità

14 14 Teorema di Lagrange Sia G un gruppo con un numero finito n di elementi. Allora il numero di elementi di ogni sottogruppo H di G è un divisore di n


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