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Sei pronto a magnarteli?. Una delle domande che sicuramente ti assilla è: Vedi, se noi facciamo sempre la stessa operazione ci stanchiamo e cerchiamo.

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Presentazione sul tema: "Sei pronto a magnarteli?. Una delle domande che sicuramente ti assilla è: Vedi, se noi facciamo sempre la stessa operazione ci stanchiamo e cerchiamo."— Transcript della presentazione:

1 Sei pronto a magnarteli?

2 Una delle domande che sicuramente ti assilla è: Vedi, se noi facciamo sempre la stessa operazione ci stanchiamo e cerchiamo di abbreviare o di trovare delle regolarità che ci permettano di scrivere il risultato senza dover sempre eseguire tutti i calcoli! Si definiscono prodotti notevoli quei prodotti dove puoi scrivere il risultato senza eseguire la moltiplicazione….che bello!!! Scegli il prodotto notevole che vuoi studiare Somma di due monomi per la loro differenza Somma di due monomi per la loro differenza Quadrato del binomio Quadrato del binomio Quadrato del trinomio Quadrato del trinomio Cubo del binomio Cubo del binomio

3 Proviamo a scrivere (2a+3b)(2a-3b) = 2a·2a = 4a 2 2a·(-3b) = -6ab 3b·2a = 6ab 3b·(-3b) = -9b 2 e siccome 6ab-6ab si annullano otterremo = 4a 2 - 9b 2 Proviamo a scrivere (2x+4y)(2x-4y) = 2x·2x = 4x 2 2x·(-4y) = -8xy 4y·2x = 8xy 4y·(-4y) = -16y 2 e siccome 8xy-8xy si annullano otterremo = 4x y 2 Proviamo ora a scrivere(3a+5b)(3a-5b) = 3a·3a = 9a 2 3a·(-5b) = -15ab 5b·3a = 15ab 5b·(-5b) = -25b 2 e siccome 15ab-15ab si annullano otterremo = 9a b 2 Non so tu, ma io mi sto stancando: se dovessi fare 50 operazioni come le precedenti mi annoierei a morte, allora e' il caso di vedere se e' possibile trovare qualche scorciatoia. Hai notato che due termini sommandosi si annullano?

4 ora scriviamo la regola prendendo i monomi più semplici possibili: (a+b)(a-b) = a 2 -b 2 La somma di due monomi per la loro differenza è uguale al quadrato del primo monomio meno il quadrato del secondo monomio Quindi se dobbiamo calcolare(3x+4y)(3x-4y) = facciamo 3x·3x = 9x 2 4y·(-4y) = -16y 2 e sriveremo (scrivi tu, non Remo) = 9x 2 -16y 2

5 calcoliamo (2a+3b) 2 =(2a+3b)·(2a+3b)= 2a·2a = 4a 2 2a·3b=6ab 3b·2a=6ab 3b·3b=9b 2 quindi 4a 2 +6ab+6ab+9b 2 osserviamo che i due monomi interni sono uguali e (contrariamente a prima) con lo stesso segno quindi li dobbiamo sommare ottenendo: 4a 2 +12ab+9b 2 calcoliamo (2a+3b) 2 = (2a+3b)·(2a+3b)= 2a·2a = 4a 2 2a·3b=6ab 3b·2a=6ab 3b·3b=9b 2 quindi 4a 2 +6ab+6ab+9b 2 osserviamo che i due monomi interni sono uguali e (contrariamente a prima) con lo stesso segno quindi li dobbiamo sommare ottenendo: 4a 2 +12ab+9b 2 Proviamo ora a scrivere (2x+4y) 2 =(2x+4y)(2x+4y) 2x·2x = 4x 2 2x·4y=8xy 4y·2x=8xy 4y·4y=16y 2 quindi 4x 2 + 8xy+8xy+16y 2 e siccome 8xy+8xy sono uguali otteniamo 4x 2 +16xy+16y 2 Proviamo ora a scrivere (2x+4y) 2 =(2x+4y)(2x+4y) 2x·2x = 4x 2 2x·4y=8xy 4y·2x=8xy 4y·4y=16y 2 quindi 4x 2 + 8xy+8xy +16y 2 e siccome 8xy+8xy sono uguali otteniamo 4x 2 +16xy+16y 2 ora se ti dico di calcolare (4a+3b) 2 sapresti scrivere subito il risultato? Certo…basta calcolare: Il quadrato del primo monomioIl quadrato del primo monomio (4a) 2= 16a 2 il doppio prodotto del primo per il secondo monomioil doppio prodotto del primo per il secondo monomio 2·(4a)·(3b)=24ab Il quadrato del secondo monomioIl quadrato del secondo monomio (+3b) 2 = 9b 2 …facile!

6 ora scriviamo la regola prendendo i monomi più semplici possibili: (a+b) 2 = a 2 +2ab +b 2 Il quadrato di un binomio è uguale al quadrato del primo monomio più il doppio prodotto del primo per il secondo monomio più il quadrato del secondo monomio E se ora ti chiedo di trovare (a-b) 2 = Basterà ricordare le regole dei segni quindi: a·a = a 2 a·(-b)·2=-2ab (-b)·(-b)=+b 2 quindi a 2 -2ab+b 2 da notare che il segno meno resta solo nel doppio prodotto mentre i quadrati sono sempre positivi.

7 (a+b+c) 2 = (a+b+c)·(a+b+c)= dobbiamo moltiplicare ogni termine del primo monomio per ogni termine del secondo a·a=a 2 a·b =ab a·c =ac b·a =ab b·b =b 2 b·c =bc c·a =ac c·b =bc c·c =c 2 =a 2 +ab+ac+ab+b 2 +bc+ac+bc+c 2 = Ora raccolgo i termini simili e li sommo ab+ab=2ab ac+ac=2ac bc+bc=2bc raccogliendo il tutto =a 2 +b 2 +c 2 +2ab+2ac+2bc

8 Il quadrato di un trinomio e' uguale al quadrato del primo monomio più il quadrato del secondo monomio più il quadrato del terzo più il doppio del prodotto del primo monomio per il secondo, più il doppio del prodotto del primo monomio per il terzo, più il doppio del prodotto del secondo monomio per il terzo. a 2 +b 2 +c 2 +2ab+2ac+2bc? Allora proviamo a calcolare (2a 2 b-3ab 2 +6) 2 = il quadrato del primo monomio: (2a 2 b) 2 =(2a 2 b)·(2a 2 b)= 4a 4 b 2il quadrato del primo monomio: (2a 2 b) 2 =(2a 2 b)·(2a 2 b)= 4a 4 b 2 il quadrato del secondo: (-3ab 2 ) 2 = (-3ab 2 )·(-3ab 2 )=+9a 2 b 4il quadrato del secondo: (-3ab 2 ) 2 = (-3ab 2 )·(-3ab 2 )=+9a 2 b 4 il quadrato del terzo 6 2 =6·6=36il quadrato del terzo 6 2 =6·6=36 due per il primo per il secondo 2·2a 2 b·(-3ab 2 ) = -12a 3 b 3due per il primo per il secondo 2·2a 2 b·(-3ab 2 ) = -12a 3 b 3 due per il primo per il terzo 2·2a 2 b·6=24a 2 bdue per il primo per il terzo 2·2a 2 b·6=24a 2 b due per il secondo per il terzo 2·(-3ab 2 )·6=-36ab 2 Mettiamo ora assieme i risultati: 4a 4 b 2 +9a 2 b a 3 b a 2 b -36ab 2due per il secondo per il terzo 2·(-3ab 2 )·6=-36ab 2 Mettiamo ora assieme i risultati: 4a 4 b 2 +9a 2 b a 3 b a 2 b -36ab 2 Abbastanza semplice vero?

9 Passiamo subito alla regola: infatti basta che consideriamo il binomio più semplice possibile e poi leggiamo il risultato. (a+b) 3 = (a+b)·(a+b)·(a+b)= ora, sappiamo che (a+b)·(a+b)=a 2 +2ab+b 2 (quadrato di un binomio) quadrato di un binomioquadrato di un binomio …quindi calcoliamo =(a 2 +2ab+b 2 )·(a+b)= =a 3 +a 2 b+2a 2 b+2ab 2 +ab 2 +b 3 = =a 3 +3a 2 b+3ab 2 +b 3 Quindi leggendo il primo e l'ultimo passaggio abbiamo la regola: (a+b) 3 =a 3 +3a 2 b+3ab 2 +b 3 (se vuoi vedere i passaggi fai click qui)qui Il cubo di un binomio è uguale al cubo del primo monomio più il triplo del prodotto del quadrato del primo per il secondo monomio, più il triplo del prodotto del primo per il quadrato del secondo monomio, più il cubo del secondo monomio

10 supponiamo di dover eseguire (2x+3y) 3 facciamolo assieme: il cubo del primo monomio: (2x) 3il cubo del primo monomio: (2x) 3 il triplo del prodotto del quadrato del primo per il secondo: 3·(2x) 2 ·(3y)il triplo del prodotto del quadrato del primo per il secondo: 3·(2x) 2 ·(3y) il triplo del prodotto del primo per il quadrato del secondo: 3·(2x)·(3y) 2il triplo del prodotto del primo per il quadrato del secondo: 3·(2x)·(3y) 2 il cubo del secondo: (3y)3il cubo del secondo: (3y)3 quindi raccogliendo: (2x+3y) 3 = (2x) 3 +3·(2x) 2 ·(3y)+3·(2x)·(3y) 2 +(3y) 3 = =8x 3 +36x 2 y +54xy 2 +27y 3

11 (a+b) 3 =(a+b)·(a+b)·(a+b)= moltiplichiamo fra loro i primi due a·a=a 2 a·b=ab b·a=ab b·b=b 2 e poiché ab+ab=2ab otteniamo: (a 2 +2ab+b 2 )·(a+b)= Eseguo la moltiplicazione a 2 ·a=a 3 a 2 ·b=a 2 b 2ab·a=2a 2 b 2ab·b=2ab 2 b 2 ·a=ab 2 b 2 ·b=b 3 =a 3 +a 2 b+2a 2 b +2ab 2 +ab 2 +b 3 = ora sommiamo i termini simili a 2 b+2a 2 b=3a 2 b 2ab 2 +ab 2 =3ab 2 quindi = a 3 +3a 2 b+3ab 2 +b 3


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