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Statistica economica (6 CFU) Corso di Laurea in Economia e Commercio a.a. 2012-2013 Docente: Lucia Buzzigoli Lezione 7 1.

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1 Statistica economica (6 CFU) Corso di Laurea in Economia e Commercio a.a Docente: Lucia Buzzigoli Lezione 7 1

2 PER I PROCESSI STAZIONARI ED ERGODICI HA SENSO PORSI IL PROBLEMA DELLA STIMA DEI MOMENTI A PARTIRE DALLA SERIE STORICA CHE DEL P.S. COSTITUISCE UNA REALIZZAZIONE UNICA E TRONCATA

3 STIMA DEI MOMENTI DI UN P.S. STAZIONARIO MEDIA stimatore corretto e consistente 3

4 AUTOCOVARIANZA stimatore distorto, asintoticamente corretto e consistente VARIANZA AUTOCORRELAZIONE 4

5 5

6 Gaussianità Processo gaussiano: (Y t 1,Y t 2,,Y t k ) ~ Normale k-variata (t 1, t 2, …, t k ) e k Un p.s. gaussiano è caratterizzato solo dal vettore delle medie e dalla matrice delle varianze- covarianze. In questo caso stazionarietà in senso stretto ed in forma debole coincidono. Per i p.s. gaussiani la conoscenza del p.s. può essere ricondotta alla conoscenza di una particolare categoria di momenti.

7 Teorema di Wold Teorema fondamentale per passare dal concetto di p.s. ai modelli che sono in grado di catturarne le caratteristiche Consente di derivare la classe dei processi ARMA 7

8 Il teorema di Wold è importante per arrivare a costruire dei modelli che non sono i processi, ma ne costituiscono una descrizione valida finché nuovi dati e nuove sintesi non porteranno a costruire modelli più convincenti. Un processo è noto oppure no. Un modello può essere stimato oppure no. In generale, a partire dai dati la conoscenza del processo è proibitiva mentre la costruzione di un particolare modello è possibile.

9 9 TEOREMA Ogni p.s. stazionario (in senso debole) X t può essere scomposto nella somma di due componenti incorrelate, una deterministica e una stocastica, riconducibile a una sequenza infinita di variabili causali incorrelate (processo lineare)

10 V t è una componente deterministica, nel senso che è prevedibile senza errore Z t è una componente stocastica, nel senso che è possibile solo fare affermazioni probabilistiche sul suo futuro. Z t si dice processo lineare non è possibile fare inferenza sugli infiniti parametri j di Z t (ci vorrebbero serie di lunghezza infinita): è quindi necessario approssimare Z t con una parametrizzazione più parsimoniosa Tra laltro, essendo i parametri dovranno necessariamente tendere a 0 da un certo punto in poi 10

11 N.B.: è possibile scrivere Z t utilizzando un polinomio di ordine infinito in B: Z t = a t a t a t-3 + … = 1+ 1 Ba t + 2 B 2 a t + 3 B 3 a t + … = (1+ 1 B + 2 B B 3 + …) a t = (B) a t Il problema può essere ricondotto allapprossimazione di (B): sono particolarmente importanti le approssimazioni che conducono ai modelli MA, AR e ARMA. COME FARE LAPPROSSIMAZIONE?

12 MODELLO MA(q) MA significa Moving Average (=a media mobile) (B) (B) (B) = B - 2 B 2 - … q B q (B) è detto polinomio caratteristico q = grado del polinomio = ordine del modello. Z t = (B) a t Z t = a t - 1 a t a t-2 - … q a t-q

13 MODELLO AR(p) AR significa AutoRegressive (=autoregressivo) (B) 1/ (B) (B) = B - 2 B 2 - … p B p (B) è detto polinomio caratteristico p = grado del polinomio = ordine del modello Z t = [ 1/ (B) ] a t (B) Z t = a t Z t - 1 Z t Z t-2 - … p Z t-p = a t Z t = 1 Z t Z t-2 + … + p Z t-p + a t

14 MODELLO ARMA(p,q) (B) (B)/ (B) (B) = B - 2 B 2 - … q B q (B) = B - 2 B 2 - … p B p (p,q) = ordine del modello. Z t = [ (B)/ (B)] a t (B) Z t = (B) a t Z t - 1 Z t-1 - … p Z t-p = a t - 1 a t-1 - … q a t-q


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