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Informatica Grafica a.a. 2012-2013 DICGIM – University of Palermo Dipartimento di Ingegneria Chimica, Gestionale, Informatica e Meccanica Curve e superfici.

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Presentazione sul tema: "Informatica Grafica a.a. 2012-2013 DICGIM – University of Palermo Dipartimento di Ingegneria Chimica, Gestionale, Informatica e Meccanica Curve e superfici."— Transcript della presentazione:

1 Informatica Grafica a.a DICGIM – University of Palermo Dipartimento di Ingegneria Chimica, Gestionale, Informatica e Meccanica Curve e superfici parametriche Roberto Pirrone 24 ottobre 2012

2 Informatica Grafica a.a DICGIM – University of Palermo Sommario Generalità sulle curve parametriche Vincoli geometrici e funzioni di blending Curve di Hermite Curve di Bézier Curve B-spline Curve NURBS Superfici Parametriche Superfici di Hermite di Bézier e NURBS 24 ottobre 2012

3 Informatica Grafica a.a DICGIM – University of Palermo Curve parametriche Una curva parametrica è definita come una terna di funzioni di un parametro Q(u)=[x(u),y(u),z(u)] che fa da ascissa curvilinea lungo la curva stessa. Una superficie è definita in termini di una coppia di parametri che stabiliscono un sistema di coordinate curvilinee sulla superficie stessa: Q(u,v)= [x(u,v), y(u,v),z(u,v)] 24 ottobre 2012

4 Informatica Grafica a.a DICGIM – University of Palermo Curve parametriche 24 ottobre 2012 In ogni segmento il parametro varia in [0,1]

5 Informatica Grafica a.a DICGIM – University of Palermo Curve parametriche le tre funzioni del parametro sono di norma scelte come funzioni cubiche. Tale scelta deriva dalla proprietà delle cubiche di rappresentare curve non planari 3 è il minimo grado polinomiale che ci consente di rappresentare curve nello spazio le curve quadratiche necessitano di 3 coefficienti e quindi sono planari. 24 ottobre 2012

6 Informatica Grafica a.a DICGIM – University of Palermo Curve parametriche Le cubiche sono facilmente controllabili, mentre polinomi di grado superiore presentano delle oscillazioni che sono difficili da controllare in termini del parametro. Infine, dipendendo da 4 parametri, ci consentono di specificarle a partire da 4 punti di controllo o dagli estremi e dalle tangenti degli estremi. 24 ottobre 2012

7 Informatica Grafica a.a DICGIM – University of Palermo Curve parametriche 24 ottobre 2012

8 Informatica Grafica a.a DICGIM – University of Palermo Curve parametriche 24 ottobre 2012

9 Informatica Grafica a.a DICGIM – University of Palermo Gradi di continuità Curve complesse sono costituite dalla successione di più segmenti Il grado di continuità definisce il modo con cui due curve si toccano Continuità geometrica G 0 le curve si toccano G 1 le curve hanno gradiente in u con la stessa direzione e verso Continuità parametrica C n : le derivate in u nel punto di giunzione sono uguali fino allordine n 24 ottobre 2012

10 Informatica Grafica a.a DICGIM – University of Palermo Gradi di continuità 24 ottobre 2012

11 Informatica Grafica a.a DICGIM – University of Palermo Rappresentazione con polinomi di blending Una curva parametrica Q(u) può essere specificata dalla conoscenza di 4 vincoli geometrici P i=[p ix,p iy,p iz ] i=0,…,3 posti nellintorno della curva I vincoli possono rappresentare Punti di passaggio Tangenti negli estremi Punti di controllo esterni che influenzano la curvatura locale di Q(u) Un mix dei precedenti La scelta dei vincoli da luogo a diverse famiglie di curve 24 ottobre 2012

12 Informatica Grafica a.a DICGIM – University of Palermo Rappresentazione con polinomi di blending 24 ottobre 2012 Polinomi di blending

13 Informatica Grafica a.a DICGIM – University of Palermo Curve di Bézier 24 ottobre 2012

14 Informatica Grafica a.a DICGIM – University of Palermo Algoritmo di De Casteljeau Consente la valutazione della curva nel punto di ascissa curvilinea u 0. Si basa su uno schema ricorsivo di valutazione del punto Q(u0) a partire dai punti di controllo P i. 24 ottobre 2012

15 Informatica Grafica a.a DICGIM – University of Palermo Proprietà delle curve di Bézier Le curve di Bézier sono tali che per ogni valore di u la somma dei polinomi di blending è sempre 1. I B i (u) si comportano come le coordinate baricentriche quindi il punto generico della curva Q(u) si trova sempre allinterno della chiusura convessa dei punti di controllo P i. 24 ottobre 2012

16 Informatica Grafica a.a DICGIM – University of Palermo Proprietà delle curve di Bézier 24 ottobre 2012 Chiusura convessa di n punti: il minimo poligono convesso che li raccorda tutti come vertici

17 Informatica Grafica a.a DICGIM – University of Palermo Proprietà delle curve di Bézier 24 ottobre 2012

18 Informatica Grafica a.a DICGIM – University of Palermo Proprietà delle curve di Bézier 24 ottobre 2012

19 Informatica Grafica a.a DICGIM – University of Palermo Congiunzione di più segmenti di Bézier 24 ottobre 2012 Condizione di continuità: S 3 -S 2 =k(R 1 -R 0 )

20 Informatica Grafica a.a DICGIM – University of Palermo Congiunzione di più segmenti di Bézier 24 ottobre 2012

21 Informatica Grafica a.a DICGIM – University of Palermo Curve di Hermite 24 ottobre 2012

22 Informatica Grafica a.a DICGIM – University of Palermo Relazione tra curve di Bézier e di Hermite 24 ottobre 2012 Nella formulazione di Hermite le curve parametriche non sono vincolate a giacere nella chiusura convessa dei punti di controllo

23 Informatica Grafica a.a DICGIM – University of Palermo Curve B-spline 24 ottobre 2012 Possono essere: -Uniformi rispetto a u -Non Uniformi rispetto a u -Razionali (NURBS: Non-Uniform Rational B-Spline)

24 Informatica Grafica a.a DICGIM – University of Palermo Proprietà delle B-spline uniformi Il segmento B-spline uniforme Non passa per i punti di controllo e giace nella loro chiusura convessa E uniforme nel parametro passando dal segmento Q i (u) al segmento successivo Q i+1 (u) Δ i u=1, u i =0,1,2,… Knot: il valore u i ad ogni punto di giunzione Il segmento i-esimo è comunque valutato per 0 u 1 24 ottobre 2012

25 Informatica Grafica a.a DICGIM – University of Palermo Proprietà delle B-spline uniformi Ogni segmento di curva Q i (u) dipende da 4 punti di controllo P i-3, P i-2, P i-1, P i parzialmente condivisi con i 3 segmenti precedenti In generale, una curva è un insieme di m-2 segmenti Q 3, Q 4, …, Q m dipendenti da m+1 punti di controllo P 0, P 1,…, P m con m>=3 24 ottobre 2012

26 Informatica Grafica a.a DICGIM – University of Palermo Proprietà delle B-spline uniformi 24 ottobre 2012

27 Informatica Grafica a.a DICGIM – University of Palermo Proprietà delle B-spline uniformi 24 ottobre 2012 Le funzioni di blending B i (u) sono identicamente traslate lungo lasse del parametro di intervallo in intervallo formando delle funzioni di base che si estendono su quattro intervalli Per m-2 segmenti sono necessari m+5 knot

28 Informatica Grafica a.a DICGIM – University of Palermo Proprietà delle B-spline uniformi 24 ottobre 2012 Vettore uniforme dei knot: [0,1,2,3,4]

29 Informatica Grafica a.a DICGIM – University of Palermo Molteplicità dei punti di controllo 24 ottobre 2012 La molteplicità tripla di un punto di controllo estremo forza il passaggio della curva per il punto stesso

30 Informatica Grafica a.a DICGIM – University of Palermo Molteplicità dei punti di controllo 24 ottobre 2012 La molteplicità doppia di un punto di controllo non estremo attrae il segmento creando una forte curvatura locale

31 Informatica Grafica a.a DICGIM – University of Palermo Molteplicità dei punti di controllo 24 ottobre 2012 La molteplicità tripla di un punto di controllo non estremo forza il passaggio della curva per il punto stesso creando una discontinuità

32 Informatica Grafica a.a DICGIM – University of Palermo B-spline non uniformi 24 ottobre 2012 Il vettore dei knot può avere delle molteplicità, modificando la forma della funzione di base [0,1,2,3,4] [0,1,1,2,3] [0,1,1,1,2] [0,1,1,1,1]

33 Informatica Grafica a.a DICGIM – University of Palermo B-spline non uniformi 24 ottobre 2012 Al crescere della molteplicità di u i, i [k,k+4] accade che: u i u i+1 Il segmento Q i (u) si annulla b i-k (u) si annulla B k (u) cambia la sua forma

34 Informatica Grafica a.a DICGIM – University of Palermo B-spline non uniformi 24 ottobre 2012 La molteplicità influenza molte funzioni di base: Es. [0, 0, 0, 0, 1, 2, 3, 3, 3, 3] 6 B i (u) B 0 (u) B 1 (u) B 2 (u) B 3 (u) B 4 (u) B 5 (u)

35 Informatica Grafica a.a DICGIM – University of Palermo Molteplicità dei knot 24 ottobre 2012

36 Informatica Grafica a.a DICGIM – University of Palermo Molteplicità dei knot 24 ottobre 2012 Q 4 si annulla e si crea un flesso perché Q 3 e Q 5 debbono giacere nelle rispettive chiusure convesse

37 Informatica Grafica a.a DICGIM – University of Palermo Molteplicità dei knot 24 ottobre 2012 Q 5 si annulla e si crea una cuspide perché Q 3 e Q 6 debbono giacere nelle rispettive chiusure convesse che condividono solo P 3

38 Informatica Grafica a.a DICGIM – University of Palermo Molteplicità dei knot 24 ottobre 2012 Q 6 si annulla e si crea una discontinuità perché Q 3 e Q 7 debbono giacere nelle rispettive chiusure convesse che sono completamente disgiunte

39 Informatica Grafica a.a DICGIM – University of Palermo Calcolo ricorsivo delle funzioni di base 24 ottobre 2012 Il calcolo è valido per B-spline uniformi e non di qualsiasi ordine. Le cubiche corrispondono allordine 4 cioè sono influenzate da 4 knot ciascuna.

40 Informatica Grafica a.a DICGIM – University of Palermo Curve razionali Una curva razionale R(u) n-dimensionale si ottiene attraverso una trasformazione proiettiva di tipo prospettico da una curva Q(u) definita in uno spazio in n+1 dimensioni Il processo di riduzione delle coordinate è quello di omogeneizzazione I punti della curva in R n+1 si dividono per lultima coordinata Le funzioni del parametro in R n divengono così delle funzioni razionali 24 ottobre 2012

41 Informatica Grafica a.a DICGIM – University of Palermo Curve di Bézier razionali 24 ottobre 2012

42 Informatica Grafica a.a DICGIM – University of Palermo Condizioni di controllo delle curve razionali Le curve razionali possono essere controllate modificando i P i e/o i w i (a) i punti di R(u) si muovono parallelamente alla direzione di spostamento di P i (b) i punti di R(u) si muovono lungo raggi proiettori a partire dal punto di controllo cui è associato il peso Ad es. w i 1 i=0,1,2,3 genera un arco di circonferenza 24 ottobre 2012

43 Informatica Grafica a.a DICGIM – University of Palermo NURBS Non-Uniform Rational B-Splines Si controllano: Muovendo i punti di controllo Variando la molteplicità dei knot Modificando i pesi w i Hanno le stesse proprietà geometriche ed analitiche delle B-spline non razionali 24 ottobre 2012

44 Informatica Grafica a.a DICGIM – University of Palermo Superfici parametriche Sono lestensione delle curve a due coordinate locali (u,v) Si devono intendere come costruite accostando tra loro curve parametriche in v a passi costanti in u lungo landamento di una curva in u o viceversa 24 ottobre 2012

45 Informatica Grafica a.a DICGIM – University of Palermo Superfici di Bézier 24 ottobre punti di controllo

46 Informatica Grafica a.a DICGIM – University of Palermo Superfici di Bézier 24 ottobre 2012 Effetto della modifica dei punti di controllo

47 Informatica Grafica a.a DICGIM – University of Palermo Superfici di Bézier 24 ottobre 2012

48 Informatica Grafica a.a DICGIM – University of Palermo Superfici di Bézier 24 ottobre 2012

49 Informatica Grafica a.a DICGIM – University of Palermo Continuità delle superfici di Bézier 24 ottobre 2012 S(u,v) R(u,v)

50 Informatica Grafica a.a DICGIM – University of Palermo Continuità delle superfici di Bézier 24 ottobre 2012 S(u,v) R(u,v)

51 Informatica Grafica a.a DICGIM – University of Palermo Superfici B-spline Necessitano di 16 punti di controllo, come nel caso precedente, che modulano 16 funzioni di base bi-variate Sono necessari 8 knot per ogni patch lungo entrambe le coordinate (u,v) 8x8 knot per ogni patch Le 16 funzioni di base hanno il loro picco nel quadrilatero centrale di questo reticolo 24 ottobre 2012

52 Informatica Grafica a.a DICGIM – University of Palermo Superfici B-spline 24 ottobre 2012

53 Informatica Grafica a.a DICGIM – University of Palermo Superfici B-spline 24 ottobre 2012 Il patch è confinato allinterno dei quattro punti centrali di controllo e non li interpola

54 Informatica Grafica a.a DICGIM – University of Palermo Triplicando una riga di punti di controllo lungo un edge a u costante non si ottiene interpolazione 24 ottobre 2012 Superfici B-spline

55 Informatica Grafica a.a DICGIM – University of Palermo Triplicando una riga di punti di controllo sia lungo un edge a u costante sia lungo un edge a v costante si ottiene interpolazione dei soli vertici collineari 24 ottobre 2012 Superfici B-spline

56 Informatica Grafica a.a DICGIM – University of Palermo Triplicando una riga ed una colonna interna di punti di controllo in cui quello centrale sia stato alzato si ottengono creste Punti di controllo collineari danno luogo a creste più accentuate 24 ottobre 2012 Superfici B-spline

57 Informatica Grafica a.a DICGIM – University of Palermo Modellazione con superfici parametriche Caso di una sezione circolare Il problema è la determinazione dei P ij che determinano la superficie a partire da un profilo 2D noto I punti del profilo dovranno essere modulati dai punti che definiscono la sezione circolare Si costruisce solo un quarto della superficie e poi si opera per simmetria La sezione circolare con Bézier si può costruire con i punti T 00 ={0,1,0}, T 10 ={c,1,0}, T 20 ={1,c,0}, T 30 ={1,0,0}, c 0, ottobre 2012

58 Informatica Grafica a.a DICGIM – University of Palermo Modellazione con superfici parametriche 24 ottobre 2012 I punti P ij (i=0,…,3 j=cost) si ottengono scalando i punti T i0 di r j nel piano (x,y) e imponendo la quarta coordinata pari a z j P ij ={r j T i0x, r j T i0y, z j }

59 Informatica Grafica a.a DICGIM – University of Palermo Modellazione con superfici parametriche 24 ottobre 2012 La sezione trasversale viene interpolata tra il profilo iniziale e quello finale: Q(u,v)=Q(u,0)(1-r(v))+Q(u,1)r(v), r(0)=0, r(1)=1

60 Informatica Grafica a.a DICGIM – University of Palermo Modellazione con superfici parametriche 24 ottobre 2012

61 Informatica Grafica a.a DICGIM – University of Palermo Controllo delle superfici durante la modellazione 24 ottobre 2012 Per garantire la continuità in una mesh di patch è necessario che ogni estremo venga mosso collinearmente con i suoi otto vicini in modo da rendere continue le derivate Q u, Q v e Q uv

62 Informatica Grafica a.a DICGIM – University of Palermo Disegno dei poliedri di controllo Si possono implementare due strategie Controllo fine per raffinamento della griglia dei punti di controllo Si ottiene maggior precisione per realizzare deformazioni locali della superficie Controllo globale attraverso la deformazione dei punti di controllo annegati in uno spazio parametrico controllato da una ipersuperficie di Bézier 24 ottobre 2012

63 Informatica Grafica a.a DICGIM – University of Palermo Controllo fine 24 ottobre 2012 Le deformazioni vengono confinate ai nuovi patch definiti per inserzione dei R ij

64 Informatica Grafica a.a DICGIM – University of Palermo Controllo globale Si consideri una curva Q(t) controllata da quattro punti Pi: I punti possono essere pensati come appartenenti ad uno spazio bivariato (u,v) che variano in [0..1] Se definiamo una griglia complanare di punti di controllo R ij in (u,v) questi definiscono un patch di Bézier planare La curva Q(t) appartiene interamente allo spazio così definito e, se modifichiamo i punti di controllo R ij sempre in modo complanare, questo induce una deformazione nei punti P i e quindi, globalmente in Q(t) Nel caso 3D la superficie viene annegata in un iperspazio trivariato di Bézier 24 ottobre 2012

65 Informatica Grafica a.a DICGIM – University of Palermo Controllo globale 24 ottobre 2012

66 Informatica Grafica a.a DICGIM – University of Palermo Fitting di superfici Il fitting di curve o superfici con B-spline è importante in CG Modellazione di nuvole di punti acquisiti con range finder Interpolazione dolce di traiettorie nellanimazione Si procederà ad interpolare curve B-spline a u costante e a v costante creando una mesh di curve La mesh di curve viene trasformata in una sequenza di patch di Bézier più semplici da controllare 24 ottobre 2012

67 Informatica Grafica a.a DICGIM – University of Palermo Fitting di superfici 24 ottobre 2012

68 Informatica Grafica a.a DICGIM – University of Palermo Fitting di superfici Il sistema precedente ha m-1 equazioni e m+1 incognite Si risolve aggiungendo altri due punti di controllo da interpolare Linterpolazione avviene separatamente lungo u e lungo v dando luogo ad una rete di punti di controllo B-spline Q i 24 ottobre 2012

69 Informatica Grafica a.a DICGIM – University of Palermo Fitting di superfici La conversione B-spline Bézier avviene trasformando i soli punti di controllo attraverso le matrici di base La forma analitica delle superfici in funzione di u e v è la stessa [P 0 P 1 P 2 P 3 ]=B B -1 B S [Q 0 Q 1 Q 2 Q 3 ] Per ogni quadrupla di punti di controllo B-spline Q k,…,Q k+3 si genera una quadrupla di punti Bézier eliminando Q k ed inserendo Q k+4 Così si generano i punti di controllo sui contorni delle patch: quelli interni si costruiscono sulla base di vincoli di continuità tra le superfici 24 ottobre 2012

70 Informatica Grafica a.a DICGIM – University of Palermo Fitting di superfici 24 ottobre 2012


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