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Statistica economica (6 CFU) Corso di Laurea in Economia e Commercio a.a. 2012-2013 Docente: Lucia Buzzigoli Lezione 10 1.

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1 Statistica economica (6 CFU) Corso di Laurea in Economia e Commercio a.a Docente: Lucia Buzzigoli Lezione 10 1

2 NON STAZIONARIETÀ Finora abbiamo considerato strutture adeguate a rappresentare p.s. stazionari. Tuttavia, nellanalisi economica è usuale incontrare serie per le quali è ragionevole ipotizzare un processo non stazionario. I casi più semplici sono: -non stazionarietà in media generalizzazione ARMA in ARIMA (solo per certi casi di non stazionarietà) -non stazionarietà in varianza interventi ad hoc 2

3 NON STAZIONARIETÀ IN LIVELLO Ricorda: se il p.s. Y t è dato dalla somma di un trend lineare e di un WN: Y t = a + bt + a t le differenze prime lo riconducono alla stazionarietà in livello: Y t = b + a t – a t-1 Alcuni tipi di non stazionarietà possono dunque essere eliminati mediante differenziazione. In particolare: si dice che un processo è non stazionario omogeneo di grado d se diventa stazionario a seguito di d differenziazioni successive. Il modello ARMA può essere applicato 3

4 NON STAZIONARIETÀ IN VARIANZA Ricorda: alcuni tipi di non stazionarietà in varianza si possono risolvere con la trasformazione logaritmica. In particolare, la trasformazione logaritmica è adatta quando la varianza è proporzionale ai quadrati dei livelli del processo: Var(Y t )= c 2 t 2 Quando, invece, la varianza è proporzionale ai livelli Var(Y t )= c t la trasformazione adatta a stabilizzare la varianza è la radice quadrata. Una trasformazione più generale è quella di Box-Cox, di cui le due trasformazioni precedenti sono casi particolari. 4

5 MODELLI ARIMA(p,d,q) Hp) Z t non stazionario omogeneo, ma (1 - B) d Z t = W t è stazionario W t può essere modellato con un ARMA : W t ARMA(p,q) (B) W t = (B) a t (B) (1 - B) d Z t = (B) a t Z t ARIMA(p,d,q) ARIMA significa Autoregressive integrated Moving Average. (1 - B) d (B) è loperatore AR generalizzato di ordine p+d Il corrispondente polinomio ha d radici identicamente pari a 1. 5

6 Casi particolari: ARMA(0,q) MA(q) ARMA(p,0) AR(p) ARMA(0,0) WN ARIMA(0,0,q) MA(q) ARIMA(p,0,0) AR(p) ARIMA(p,0,q) ARMA(p,q) 6

7 RANDOM WALK 7

8 Tipica realizzazione di un RW e delle differenze prime di questo 8

9 9

10 MODELLI STAGIONALI Per poter modellare la stagionalità gli ordini dei modelli visti devono diventare molto elevati (es. per stagionalità mensile si dovrebbe avere p o q=12). Ma: molte serie storiche economiche presentano stagionalità. Pe questo Box e Jenkins hanno generalizzato i modelli ARMA in modo da trattare anche un comportamento di tipo periodico, che può essere stazionario o non stazionario modelli ARIMA stagionali SARIMA ARIMA (p,d,q) (P,D,Q) s PRINCIPIO DI BASE: il modello deve descrivere due tipi di relazioni: 1.la correlazione tra valori consecutivi (che si può modellare con gli ARIMA) 2.la correlazione tra osservazioni che distano tra loro di s (periodo della stagionalità) e multipli di s. 10

11 mese Anno12… … ……………… 2008 Z 08,1 Z 08,2 …Z 08,10 Z 08,11 Z 08, Z 09,1 Z 09,2 …Z 09,10 Z 09,11 Z 09, Z 10,1 Z 10,2 …Z 10,10 Z 10,11 Z 10,12 Mod stagMod stag Mod di breve periodo 11 La situazione di riferimento

12 Modello stagionale puro (B s ) Z t = (B s ) a t dove: (B s )= B s - 2 B 2s - … - P B Ps (B s )= B s - 2 B 2s - … - Q B Qs Es. AR(1) s stagionale puro Z t = Z t-s + a t Si comporta in modo analogo ad un AR(1) qualora si faccia riferimento ai soli ritardi stagionali s, 2s, 3s, … 12

13 MODELLO ARMA STAGIONALE ARMA(p,q) (P,Q) s (B) (B s ) Z t = (B) (B s ) a t Struttura parametrica in cui convivono il modello che gestisce la dinamica di breve periodo e il modello che gestisce le dinamiche stagionali (per la derivazione del modello si veda il file 10 L Appunti.pdf) (B) è loperatore autoregressivo non stagionale di ordine p (B s ) è loperatore autoregressivo stagionale di ordine P (B) è loperatore a media mobile non stagionale di ordine q (B s ) è loperatore a media mobile stagionale di ordine Q 13


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