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1 MOTI PIANI Cosenza 2009-2010 Ottavio Serra. 2 La velocità è tangente alla traiettoria v (P P, st, (P–P)/(t-t)v.

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1 1 MOTI PIANI Cosenza Ottavio Serra

2 2 La velocità è tangente alla traiettoria v (P P, st, (P–P)/(t-t)v

3 3 Laccelerazione punta verso linterno a( media )= (v –v)/(t–t) = Δv/Δt

4 4 Decomponendo a secondo la tangente e la normale, si vede che a τ modifica il modulo di v, a n la direzione.

5 5 Se il modulo di v è costante, a è normale alla tangente, quindi a v; se poi il raggio di curvatura è costante, il moto è circolare.

6 6 T=2πr/v, f=1/T, ω=2π/T=2πf, α= ωt, v= ωr. x=rcos(ωt), y=rsen(ωt); V x = – ωr.sen(ωt), V y = ωr.cos(ωt). Laccelerazione è radiale e punta al centro del cerchio: accelerazione centripeta. Vedere fig.4 e la prossima fig.5

7 7

8 8 Segue che a=v.ω e perciò anche COMPONENTI:

9 9 Moto armonico. E la proiezione su una retta (un diametro) di un moto circolare uniforme. Detta x la retta, le equazioni sono:

10 10 Forza elastica: F = -kx. a= -(k/m)x Perciò il moto è armonico con pulsazione e periodo

11 11 Moto pendolare

12 12 Se α è piccolo, senα =α (circa) e

13 13 Il moto è approssimativamente armonico, con periodo

14 14 Tensione del filo. Nel caso statico (mettere un chiodo in P), il modulo di T è T=mgcosα (vedi fig.6). Durante il moto il filo deve esercitare anche la forza centripeta e Per determinare v applico la conservazione dellenergia (vedi la seguente fig.7)

15 15

16 16

17 17 Si noti che il calcolo di v e di T (tensione) non è limitato alle piccole ocillazioni. Per es. se La tensione del filo nel punto più basso O è il triplo del peso e se,T=5mg.

18 18 Esercizi. 1) Al soffitto di un veicolo è sospeso un pendolo di massa m=200 grammi. In fase di accelerazione il filo di sospensione forma un angolo di 20° con la verticale. Calcolare laccelerazione del veicolo e la tensione del filo (g = 9,8 m/s 2 ).

19 19 2) Una pallina di 300 grammi è appesa a una molla tenuta verticale che, allungata di tre centimetri, oscilla compiendo due oscillazioni al secondo. Calcolare la costante elastica della molla e la velocità massima della pallina.

20 20 5. Moti centrali. Un moto si dice centrale se la forza agente su una particella è diretta verso un punto fisso, eventualmente allinfinito. F = α(r).r. Il momento della forza è Il momento angolare è La cui derivata temporale è

21 21 Dunque L è costante e il raggio vettore r=OP, essendo ortogonale ad L, descrive unorbita piana. Velocità areale. Lelemento darea ( fig. 8) è

22 22 Perciò la velocità areale è costante (per tutti i moti centrali, non solo per quelli newtoniani):

23 23 Energia. Il lavoro compiuto dalla forza F quando sposta il suo punto di applicazione da P0 a P1 è W= indipendente dalla traiettoria. (i campi di forza centrale sono conservativi). Posto U(r)=-β(r), W=U(r0)-U(r1). U si chiama energia potenziale.

24 24 N.B. Ho chiamato ds il vettore che nella fig. 8 chiamavo dr, in modo che nellultimo integrale ho potuto porre dr=ds.cos(θ). Siccome la variazione di energia cinetica è

25 25 Segue: K 1 -K 0 =W=U 0 -U 1 : in un campo centrale la somma dellenergia cinetica e dellenergia potenziale si mantiene costante nek tempo: K+U=E. Osservazione. La forza dattrito, essendo parallela (e discorde) con lo spostamento, non è conservativa. Si noti che non è una forza centrale; ma una forza può essere conservativa senza essere centrale.

26 26 6. Campo newtoniano. E un campo centrale: Perciò vale la seconda legge di Keplero. Lenergia potenziale è E vale la conservazione dellenergia:

27 27 Più difficile è dimostrare la prima legge di Keplero: le orbite sono ellissi. La terza legge si dimostra in modo elementare nel caso di orbite circolari, uguagliando la forza di Newton alla forza centripeta:

28 28 e detto T il periodo orbitale: Sostituendo v nella formula dellenergia,si ha

29 29 In fisica elementare si trova che lenergia potenziale di gravità è U = mgh >0, mentre qui abbiamo U = -GMm/r <0. Come si concilia? Dipende dalla scelta del potenziale 0 di riferimento: livello del suolo o punto allinfinito; ma il lavoro, che solo ha significato fisico, non cambia.

30 30 Se un sasso cade da quota h, il lavoro della gravità è W=mgh-0 = mgh. Ricordo ora che trascurando la rotazione della Terra, mg = GMm/R 2, M massa, R raggio della Terra: se h è trascurabile rispetto a R.

31 31 Esercizi: a) Determina la massa della Tera, conoscendo R,g,G. b) La massa del Sole. c) Fino al 1969 era più difficile calcolare la massa della Luna; se non sai come si faceva, immagina un metodo semplice applicabile ora.

32 32 Maree. La forza di marea è la differenza tra la forza di attrazione alla superficie e la forza di attrazione al centro della Terra da parte del corpo che la produce: Luna, Sole…

33 33 Sia R il raggio della Terra, r la distanza Terra – Luna. In A: In B: Massa del Sole circa 27 milioni di massa lunare, ma distanza 400 volte maggiore e la sua forza di marea è meno della metà.

34 34 7. Caduta nel centro di un campo centrale attrattivo. In un campo attrattivo si definisce velocità di fuga la velocità v taLe che E = ½ mv 2 + U(r) = 0. Dunque v f = -2U/m. Se v

35 35 (La grandezza si chiama energia potenziale centrifuga). Segue che Siccome è una costamte >0, r può 0 solo se U(r) – come 1/r n con n>2 oppure come -α/r 2 con α>L 2 /2m.

36 36 Nel caso newtoniano U=-GMm/r, perciò la particella non può cadere nel centro O del campo. Come mai allora i meteoriti cadono sulla Terra? (o sulla Luna, ecc.?). Perché la Terra non è un punto, limpatto avviene quando la traiettoria del meteorite lo porterebbe a una distanza dal centro della Terra minore del raggio.


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