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Hashing. 2 argomenti Hashing Tabelle hash Funzioni hash e metodi per generarle Inserimento e risoluzione delle collisioni Eliminazione Funzioni hash per.

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1 Hashing

2 2 argomenti Hashing Tabelle hash Funzioni hash e metodi per generarle Inserimento e risoluzione delle collisioni Eliminazione Funzioni hash per file Hashing estendibile Hashing lineare

3 Hashing3 Richiamo sul concetto di dizionario Insieme di coppie del tipo Le chiavi appartengono a un insieme totalmente ordinato Operazioni: insert(el, key) delete(key) search(key)

4 Hashing4 Tabelle hash Adatte per realizzare dizionari Generalizzazione del concetto di array Importanti nellaccesso a dati su memoria secondaria Gli accessi avvengono a memoria secondaria Costo degli accessi predominante Indirizzamento diretto: si associa ad ogni valore della chiave un indice di un array – ricerca in tempo O(1) Problemi?

5 Hashing5 Indirizzamento diretto Ogni possibile chiave corrisponde a el. diverso dellarray Può portare a spreco di memoria Es.: studenti e matr.= No. decimale a 5 cifre 1 0 N-1 No. chiavi

6 Hashing6 Obiettivi N ~ No. Chiavi effettivamente usate Tempo di ricerca O(1) D.: possibile? Nota: No. Chiavi possibili può essere >> N 1 0 N-1 No. chiavi

7 Hashing7 Tabella hash Dato linsieme base di un dizionario: T è una tabella con N celle h: K {0,...,N-1} K insieme delle possibili chiavi {0,...,N-1} insieme delle posizioni nella tabella, dette pseudochiavi

8 Hashing8 Funzioni hash perfette e collisioni Funzione hash perfetta: k 1 !=k 2 h(k 1 ) != h(k 2 ) Richiede N >= |K| Raramente ragionevole in pratica In generale N < |K| (spesso N << |K|) Conseguenza: k 1 !=k 2 ma h(k 1 ) == h(k 2 ) è possibile Collisione Paradosso del Compleanno Es.: proporre una funzione hash perfetta nel caso in cui le chiavi siano stringhe di lunghezza 3 sullalfabeto {a, b, c}

9 Hashing9 Requisiti di una funzione hash Uniformità semplice: Pr[h(k)=j] ~ 1/|K| La probabilità è calcolata rispetto alla distribuzione delle chiavi Intuitivamente, si desidera che gli elementi si distribuiscano nellarray in modo uniforme Difficile costruire funzioni che soddisfino la proprietà D.: perché?

10 Hashing10 Requisiti di una funzione hash/2 Esempio: sia |T|=5 e h(k)=k mod 5 {1, 6, 11, 16}{1, 7, 10, 14} Non è nota la distribuzione delle chiavi Può aversi agglomerazione degli elementi In pratica: si cerca di avere indipendenza dai dati

11 Hashing11 Paradosso del compleanno scelti 23 individui a caso, la probabilità che due di essi abbiano lo stesso compleanno è > ½ (50.7%) dimostrare! in termini di hashing, anche ipotizzando di avere le pseudochiavi a distribuzione uniforme, dopo 22 inserimenti in una tabella di 365 celle, ogni ulteriore inserimento avrà probabilità superiore a ½ di generare una collisione

12 Hashing12 Interpretazione delle chiavi Tra gli elementi di K è definito un ordinamento totale ma: Le chiavi non sono necessariamente numeri naturali Es.: stringhe Soluzione: associare a ciascuna chiave un intero Modalità dipendono da insieme delle chiavi e applicazione

13 Hashing13 Esempio: stringhe Possibile metodo: associare a ciascun carattere il valore ASCII e alla stringa il numero intero ottenuto in una base scelta Esempio: base 2, posizioni meno significative a destra Stringa = pt pseudochiave = 112* *2 0 =340 Ascii(p)=112 Ascii(t)=116

14 Hashing14 Derivazione di funzioni hash Molti metodi Divisione Ripiegamento Mid-square Estrazione Obiettivo: distribuzione possibilmente uniforme Differenze: Complessità Fenomeni di agglomerazione

15 Hashing15 Divisione h(k)=k mod |T| - Bassa complessità Attenzione ai fenomeni di agglomerazione No potenze di 2: se m=2 p allora tutte le chiavi con i p bit meno significativi uguali collidono No potenze di 10 se le chiavi sono numeri decimali (motivo simile) In generale, la funzione dovrebbe dipendere da tutte le cifre della chiave (comunque rappresentata) Scelta buona in pratica: numero primo non troppo vicino a una potenza di 2 (esempio: h(k)=k mod 701 per |K|=2048 valori possibili)

16 Hashing16 Ripiegamento Chiave k suddivisa in parti k 1,k 2,....,k n h(k)=f(k 1,k 2,....,k n ) Esempio: la chiave è un No. di carta di credito. Possibile funzione hash: {477, 264, 537, 348} 2. f(477,264,537,348) = ( )mod 701 = 224

17 Hashing17 Estrazione Si usa soltanto una parte della chiave per calcolare lindirizzo Esempio: 6 cifre centrali del numero di carta di credito Il numero ottenuto può essere ulteriormente manipolato Lindirizzo può dipendere da una porzione della chiave

18 Hashing18 Risoluzione delle collisioni I metodi si distinguono per la collocazione degli elementi che danno luogo alla collisione Concatenazione: alla i-esima posizione della tabella è associata la lista degli elementi tali che h(k)=i Indirizzamento aperto: tutti gli elementi sono contenuti nella tabella

19 Hashing19 Concatenazione h(k 1 )= h(k 4 )=0 h(k 5 )= h(k 7 )=h(k 2 )= k 1 k 4 k 5 k 2 k 7 Es.: h(k)=k mod 5 k 1 =0, k 4 =10 k 5 =9, k 7 =14, k 2 =4

20 Hashing20 Concatenazione/2 insert(el, k): inserimento in testa alla lista associata alla posizione h(k) – costo O(1) search(k): ricerca lineare nella lista associata alla posizione h(k) – costo O(lungh. lista associata a h(k)) delete(k): ricerca nella lista associata a h(k), quindi cancellazione – costo O(lungh. lista associata a h(k))

21 Hashing21 Indirizzamento aperto Tutti gli elementi sono memorizzati nella tabella Le collisioni vanno risolte allinterno della tabella Se la posizione calcolata è già occupata occorre cercarne una libera I diversi metodi ad indirizzamento diretto si distinguono per il metodo di scansione adottato La funzione hash può dipendere anche dal numero di tentativi effettuati Indirizzo=h(k, i) per li-esimo tentativo

22 Hashing22 Inserimento insert (el, k) { /* T denota la tabella */ i=0; while (h(k, i) && (i<|T|)) i++; if (i < |T|) else }

23 Hashing23 Ricerca search (k) { /* T denota la tabella */ i=0; while ((k!=key(T[h(k, i)])) && (i<|T|)) i++; if (i < |T|) else }

24 Hashing24 Cancellazione delete (k) { /* T denota la tabella */ search(k); if ( ) }

25 Hashing25 Scansione La funzione h(k, i) deve essere tale che tutte le posizioni della tabella siano esaminate Sono possibili diverse forme per la funzione h(k,i) Scansione lineare Scansione quadratica Hashing doppio Si differenziano per complessità e comportamento rispetto a fenomeni di agglomerazione

26 Hashing26 Scansione lineare h(k, i) = (h(k)+i) mod |T|, dove h(k) è una funzione di hashing Si scandiscono tutte le posizioni nella sequenza T[h(k)], T[h(k)]+1,.... T[|T|], 0, 1,...., T[h(k)]-1 Possibilità di agglomerazione primaria: gli elementi si agglomerano per lunghi tratti agglomerazione primaria = due sequenze di scansione che hanno una collisione rimangono collidenti

27 Hashing27 Agglomerazione primaria h(k, i) = (h(k)+i) mod 101, h(k)=k mod {2, 103, 104, 105,....} Caso estremo, ma il problema esiste

28 Hashing28 Scansione quadratica h(k, i) = (h(k)+c 1 i+c 2 i 2 ) mod |T|, dove h(k) è una funzione di hashing, c 1 e c 2 sono costanti es. indirizzi scanditi: h(k), h(k)+1, h(k)+2,h(k)+3… Es.: h(k, i) = h(k)+i 2, h(k, i+1) = h(k)+(i+1) 2, i=1,..., (|T|-1)/2 Possibilità di agglomerazione secondaria: se h(k 1 )= h(k 2 ) h(k 1,i)= h(k 2,i) Descrivere h(k, i) quando h(k)=k mod |5|

29 Hashing29 Hashing doppio h(k, i) = (h 1 (k)+ih 2 (k)) mod |T|, dove h 1 (k) e h 2 (k) sono funzioni di hashing Anche la modalità di scansione dipende dalla chiave Lhashing doppio riduce i fenomeni di agglomerazione secondaria esente da quelli di agglomerazione primaria

30 Hashing30 Hashing estendibile E usato nella gestione di file, la cui dimensione può variare. Es.: file ad accesso diretto Il file è organizzato in bucket, ciascuno dei quali ha una dimensione fissa Gli indirizzi sono associati ai bucket La funzione hash restituisce in questo caso un puntatore al bucket

31 Hashing31 Hashing estendibile/2 h(k) restituisce una stringa binaria b I bit più significativi di b sono usati per determinare lindirizzo del bucket Lungh. locale 2 Indice Lungh. globale Bucket 00 Bucket 01 Bucket 1 File h(k)=11001

32 Hashing32 Esempio Indice Bucket 00 Bucket 01 Bucket 1 File Indice Bucket 0 Bucket 1 File h(k)=00101 Dim. Bucket =

33 Hashing33 H. estendibile - Inserimento extHashInsert (el, k) { /* L=lunghezza globale */ str=h(k); /* LS= lunghezza str */ p=indice[pattern[LS-1...LS-L]]; if ( L) L++; }


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