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IL TEOREMA DI PITAGORA La prima dimostrazione di questo teorema è stata attribuita al matematico greco Pitagora di Samo (570-500 a. C.). Non si sa, però,

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2 IL TEOREMA DI PITAGORA La prima dimostrazione di questo teorema è stata attribuita al matematico greco Pitagora di Samo ( a. C.). Non si sa, però, come Pitagora abbia condotto la sua dimostrazione perchè nulla è rimasto delle sue opere. La prima dimostrazione che conosciamo fu data da Euclide (300 a. C.) nei suoi Elementi. Da quel momento molti matematici e non matematici, sono stati così attratti da questo teorema che hanno sentito il bisogno di elaborare un ingegnoso e alternativo modo per dimostrarlo. Elisha Scott Loomis nel suo libro The Pythagorean Proposition pubblicato nel 1940, riporta ben 370 diverse dimostrazioni di questo teorema. Nessun altro teorema ha ricevuto tanta attenzione e tante dimostrazioni, nonostante ciò ogni anno vengono pubblicate, dalle riviste matematiche, nuove dimostrazioni.

3 Questa conoscenza ha fatto capire che gli oggetti geometrici non possono essere identificati come degli oggetti concreti e che il punto geometrico non può avere dimensioni. E' un teorema geometrico, eppure ha permesso di scoprire i numeri irrazionali. Da questa conoscenza si è capito che i numeri naturali sono adatti a rappresentare solo grandezze discrete. Per rappresentare grandezze continue occorrono oltre ai numeri razionali anche i numeri "irrazionali". Gli egiziani hanno usato questo teorema per costruire un angolo retto, i greci l'hanno utilizzato per costruire una vasta rete di idee matematiche. Nel corso dei secoli è stato utilizzato per costruire alcune branche della matematica moderna. E' stato il suggeritore di proficue ricerche nel campo della teoria dei numeri. Perché c'è stato tanto interesse su questo teorema? Ha un enunciato semplice e una facile dimostrazione e può essere pienamente compreso da un ragazzo di tredici anni. Ha numerose applicazioni e spesso è indispensabile per risolvere molti tipi di problemi. Eppure questo teorema così comprensibile ha cambiato radicalmente il corso della matematica. Grazie a questo teorema la matematica, che era nata per soddisfare esigenze concrete legate alla realtà pratica, si è trasformata in una scienza che abitua a ragionare. Nella geometria euclidea, questo teorema, è fondamentale. Ha permesso di scoprire l'esistenza di segmenti incommensurabili.

4 Verifichiamo il Teorema di Pitagora Enunciato: In un triangolo rettangolo il quadrato costruito sullipotenusa è equivalente alla somma dei quadrati costruiti sui cateti Enunciato

5 IL TRIANGOLO RETTANGOLO IPOTENUSA CATETO MAGGIORE CATETO MINORE 2 1 i C C

6 Quadrato costruito sul cateto maggiore Quadrato costruito sul cateto minore Quadrato costruito sullipotenusa

7 G R V Costruiamo 3 quadrati : i c 2 c 1 l = c 1 2 l = i

8 G R V G V R Sistemiamo al loro posto i quadrati

9 G R V Scomponiamo i quadrati per mezzo del quadratino Q Q Prima il ROSSOPoi il VERDEe infine il GIALLO

10 G R V Riportiamo i quadratini uno per uno su quello GIALLO Q

11 G V R prima i ROSSI Q

12 G R V Q

13 R G Q V Q

14 G R V Q poi i VERDI Q

15 G R V Q

16 Q R V G il quadrato GIALLO è stato riempito totalmente dal ROSSO e dal VERDE

17 GIALLO VERDE ROSSO GIALLO = ROSSO + VERDE Pertanto:

18 GIALLO VERDE ROSSO Ma VERDE = c 2 2 ROSSO = c 2 1 GIALLO = i 2

19 GIALLO VERDE ROSSO Allora i = c + c 12 Da cui: 222

20 GIALLO VERDE ROSSO c = i - c c 2 = i 2 - c 2 1 Allora 2 i = c + c c 2 i 2 c

21 Teorema di Pitagora applicato ad un problema Problema In un triangolo rettangolo i cateti misurano rispettivamente cm 4 e cm 3. Trova il perimetro.

22 c1c1 c2c2 Dati: c 1 = cm 4 c 2 = cm 3 Richiesta: 2p = c 1 +c 2 +i incognita i i = c c 2 2 = ( 4cm) 2 +(3cm) 2 = 16cm 2 +9cm 2 = 25cm 2 = 5 cm P = c 1 +c 2 +i= cm(3+4+5)= cm12 Soluzione

23 Applicazione del teorema alle figure piane

24 Applicazione del teorema alle figure piane

25 Altra applicazione del T. di Pitagora Problema In un triangolo isoscele la base e laltezza misurano rispettivamente cm 10 e cm 12. Trova il perimetro.

26 l b Dati: b = cm 10 h = cm 12 Richiesta: 2p = 2 l + b incognita l l = ( b/2 ) 2 + h 2 = ( 5cm ) 2 +(12cm) 2 = 25cm cm 2 = 169cm 2 = 13cm P = 2 l +b= cm(13x2+10)= cm36 Soluzione h b /2 cateto ipotenusa


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