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GLI INSIEMI Dispensa a cura del prof. Vincenzo Lo Presti.

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1 GLI INSIEMI Dispensa a cura del prof. Vincenzo Lo Presti

2 CONCETTO DI INSIEME In matematica si chiama insieme un raggruppamento di cose, persone o entità che rispettano un determinato criterio, mediante il quale si può stabilire con assoluta certezza quali sono gli elementi che compongono linsieme. RAGGRUPPAMENTI CHE COSTITUISCONO INSIEMI RAGGRUPPAMENTI CHE NON COSTITUISCONO INSIEM Le città italiane con più di abitanti Gli alunni della classe che pesano sino a 60 kg I rettangoli che hanno la base di 10 cm Le città italiane grandi Gli alunni simpatici della classe I rettangoli piccoli

3 SIMBOLOGIA DEGLI INSIEMI Gli insiemi si indicano con le lettere maiuscole dellalfabeto italiano: A, B, C, D, E, ……… Gli elementi di un insieme si indicano con le lettere minuscole dellalfabeto italiano: a,b,c,d,e, ……… In matematica alcune lettere maiuscole sono riservate a particolari insiemi numerici: N Insieme dei numeri naturali P Insieme dei numeri naturali pari D Insieme dei numeri naturali dispari Z Insieme dei numeri interi relativi Q Insieme dei numeri razionali

4 SIMBOLOGIA DEGLI INSIEMI Nello studio degli insiemi si utilizzano particolari simboli c B Simbolo di appartenenza L elemento c appartiene all insieme B 4 N Il 4 appartiene allinsieme dei numeri naturali Simbolo di non appartenenza -3 N Il -3 non appartiene allinsieme dei numeri Naturali

5 TIPI DI INSIEMI Gli insiemi possono essere: Esempi: Finiti – se hanno un numero ben preciso di elementi Infiniti – se hanno infiniti elementi Linsieme dei divisori di 12 è un insieme finito in quanto ha un numero ben preciso di elementi (sei ed esattamente 1,2,3,4,6,12) Linsieme dei multipli di 6 è un insieme infinito in quanto ha infiniti elementi (6,12,18,24,30,36,42,48,54,60,66,72………)

6 INSIEME VUOTO Un insieme si dice vuoto se non ha elementi Esempi: Linsieme vuoto si indica con o con {} L insieme dei multipli di 4 che sono dispari L insieme dei quadrati con tre lati L insieme dei divisori di 13 che sono pari

7 RAPPRESENTAZIONE Per rappresentare un qualsiasi insieme possiamo utilizzare tre diversi metodi. Si voglia ad esempio rappresentare linsieme delle vocali dellalfabeto italiano che chiameremmo A Con il diagramma di Eulero Venn: 1 A e i a o 2 Attraverso la rappresentazione tabulare o per elencazione: 3 Enunciando la proprietà caratteristica : A = a;e;i;o;u A = x x è una vocale dell alfabeto italiano} u

8 SOTTOINSIEME A a b B c e d f A = a; b; c, d; e; f B = b; d Si dice che linsieme B è sottoinsieme dellinsieme A se tutti gli elementi di B appartengono anche ad A B A

9 SOTTOINSIEMI, INCLUSIONE, B è un SOTTOINSIEME IMPROPRIO di A C è un SOTTOINSIEME DI A Ogni insieme è un SOTTOINSIEME (IMPROPRIO) di sé stesso A a b B c d B A C B A A, B B,….. Linsieme vuoto è un SOTTOINSIEME (IMPROPRIO) di ogni insieme C, B, ….. C

10 APPARTENENZA e INCLUSIONE INCLUSIONEAPPARTENENZA b A b A Lelemento b appartiene allinsieme A Linsieme b è strettamente incluso nellinsieme A b A d Linsieme d;b è uguale ad A d;b A oppure d;b = A

11 INTERSEZIONE A B A B A B E linsieme degli elementi che appartengono sia ad A sia a B A B = x x A e x B

12 CASI PARTICOLARI DELLINTERSEZIONE A A = A A = Se B A allora A B = B A A = A U = A Se A B =, A e B si dicono DISGIUNTI

13 UNIONE A B A B A B E linsieme degli elementi che appartengono ad A o a B, cioè ad almeno uno dei due insiemi dati. A B = x x A o x B

14 UNIONE di insiemi DISGIUNTI AB LUNIONE degli insiemi A e B è linsieme degli elementi che appartengono ad A o a B, cioè ad almeno uno dei due insiemi dati. A B

15 CASI PARTICOLARI DELLUNIONE A A = A A = A Se B A allora A B = A A A = U

16 A B A B a d c b e f g h l i A = a; b; c; d; e; f B = d; e; f; g; h; i; l A B = d; e; f A B = a; b; c; d; e; f; g; h; i; l

17 DIFFERENZA. A - B A B A - B Si tolgono ad A tutti gli elementi che appartengono a B E costituito dagli elementi di A che NON appartengono a B E linsieme formato da tutti gli elementi di A che non appartengono a B A - B = x x A e x B

18 DIFFERENZA. A - B, B - A. A B a d c b e f g h l i A = a; b; c; d; e; f B = d; e; f; g; h; i; l A - B = a; b; c B - A = g; h; i; l

19 DIFFERENZA. A - B, B - A. AB a d c b e f g h l i A - B = a; b; c B - A = g; h; i; l A B a d c b e f g h l i A B a d c b e f g h l i

20 CASI PARTICOLARI DELLA DIFFERENZA TRA INSIEMI A - A = A - = A Se A B = allora A - B = A e B - A = B Se B A allora B - A =

21 INSIEME COMPLEMENTARE B A = A-B = x x A e x B Dati due insiemi A e B con B A si chiama complementare di B rispetto ad A la differenza A-B

22 INSIEME COMPLEMENTARE A B a b c e f g d B A = a; b; g E linsieme degli elementi di B Che non appartengono ad A

23 PRODOTTO CARTESIANO Si definisce prodotto cartesiano di due insiemi A e B, e si indica A x B, linsieme formato da tutte le coppie ordinate (x;y) dove il primo elemento appartiene ad A e il secondo a B A x B = (x;y) x A e y B Si legge A cartesiano B Dati gli insiemi: A = a; b; c; e B = 1;2 A a b c B 1 2 A x B = (a ;1), (a ;2), (b ;1), (b ;2), (c ;1), (c ;2)

24 RAPPRESENTAZIONE GRAFICA DEL PRODOTTO CARTESIANO Linsieme A x B = (a; 1); (a; 2); (b; 1); (b; 2); (c; 1); (c; 2) può essere rappresentato graficamente nei seguenti modi: A a b c B 1 2 Rappresentazione SAGITTALE Rappresentazione mediante tabella a DOPPIA ENTRATA a b c 1 2 Rappresentazione CARTESIANA

25 OSSERVAZIONI SUL PRODOTTO CARTESIANO La coppia (x;y) è diversa dalla coppia (y;x) Gli elementi dellinsieme cartesiano sono coppie A x A = A 2 A x B B x A Se A e B hanno rispettivamente n e m elementi, linsieme A x B possiede nxm elementi.

26 INSIEME DELLE PARTI P (A) A a c b A = a; b; c; a; b; c Dato un insieme A, linsieme di tutti i suoi SOTTOINSIEMI propri e impropri, si definisce insieme delle parti di A e si indica con P (A) I possibili SOTTOINSIEMI di A sono: abc a; b a; c b; c P (A) = ; a ; b ; c ; a; b ; a; c ; b; c ; a; b; c Gli elementi di P (A) sono INSIEMI Se A contiene n elementi, P (A) ne contiene 2 n Linsieme delle parti di A è:

27 INSIEME DELLE PARTI P (A) Gli elementi di P (A) sono INSIEMI ed esattamente tutti i sottoinsiemi propri e i due sottoinsiemi impropri (linsieme stesso e linsieme vuoto) REGOLA PER DETERMINARE IL N. DI ELEMENTI DELLINSIEME DELLE PARTI Se A contiene n elementi, P (A) ne contiene 2 n Esempi: -Se n=3 (esempio precedente) 2 3 =8 -Se n=5 (esempio precedente) 2 5 =32 -Se n=1 (esempio precedente) 2 1 =2

28 PARTIZIONE DI UN INSIEME A Si consideri un numero n di sottoinsiemi di A. Si chiama PARTIZIONE di un insieme A un gruppo di sottoinsiemi di A se risultano verificate le seguenti condizioni: A1A1 A2A2 A3A3 A4A4 A5A5 Ogni sottoinsieme è proprio I sottoinsiemi sono a due a due disgiunti Lunione di tutti i sottoinsiemi dà linsieme A 1 2 3

29 ESERCIZIO N. 1….. A B a d c b e f g h l i Trova: A B C A B C = g; h; i; l C m n A B C = d; e; f A B C = d A B C = e; f Clicca sulla risposta corretta Esercizio Successivo

30 ESERCIZIO N. 2….. A B a d c b e f g h l i Trova: C - (A B) C - (A B) = m; n C m n C - (A B) = m; n; d Clicca sulla risposta corretta C - (A B) = e; f C - (A B) = g; h; i; l Esercizio Successivo Soluzione passo

31 ESERCIZIO N. 3….. A B Quale espressione rappresenta larea evidenziata? C - (A B) C (C B) - A Clicca sulla risposta corretta C B (A B) - C Esercizio Successivo

32 ESERCIZIO N. 4….. A B Quale espressione rappresenta larea evidenziata? C - (A B) C (C B) - A Clicca sulla risposta corretta C B (A B) - C Esercizio Successivo

33 ESERCIZIO N. 5….. A B Quale espressione rappresenta larea evidenziata? (C - (A B)) ((A B) - C) C (C B) - A Clicca sulla risposta corretta C B (A B) - C Esercizio Successivo

34 RISPOSTE AI QUESITI

35 SOLUZIONE ESERCIZIO N. 2….. A B a d c b e f g h l i Trova: C - (A B) C m n Torna allesercizio Un clic del mouse per avanzare passo- passo Si tolgono a C gli elementi di A B Soluzione = m; n

36 TEORIA DEGLI INSIEMI COMPLIMENTI RISPOSTA ESATTA!!!! Ritorna alla diapositiva precedente

37 TEORIA DEGLI INSIEMI MI DISPIACE RISPOSTA ERRATA!!!! Ritorna alla diapositiva precedente

38 FINE


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