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Disequazioni Disequazioni Prof. Vincenzo Calamia Liceo Classico Alcamo Metodi di risoluzione Metodi di risoluzione.

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Presentazione sul tema: "Disequazioni Disequazioni Prof. Vincenzo Calamia Liceo Classico Alcamo Metodi di risoluzione Metodi di risoluzione."— Transcript della presentazione:

1 Disequazioni Disequazioni Prof. Vincenzo Calamia Liceo Classico Alcamo Metodi di risoluzione Metodi di risoluzione

2 2 Cosa rappresentano sul piano cartesiano le seguenti espressioni? x o x = o x > o x < o x o y o y = o y > o y < o y o

3 3 Equazione asse y Tutti i punti del piano con ascissa = 0 x = o

4 4 Equazione asse x Tutti i punti del piano con ordinata = 0 y = o

5 5 Semipiano con ascisse positive (esclusi i punti sullasse y) Tutti i punti del piano con ascissa > 0 x > o

6 6 Semipiano con ascisse positive o nulle (compresi i punti sullasse y) Tutti i punti del piano con ascissa 0 x o

7 7 Semipiano con ordinate positive (esclusi i punti sullasse x) Tutti i punti del piano con ordinata > 0 y > o

8 8 Semipiano con ordinate positive o nulle (inclusi i punti sullasse x) Tutti i punti del piano con ordinata 0 y o

9 9 Semipiano con ascisse negative o nulle compresi i punti sullasse y) Tutti i punti del piano con ascissa 0 x o

10 10 Semipiano con ordinate negative (esclusi i punti sullasse x) Tutti i punti del piano con ordinata < 0 y < o

11 11 Semipiano con ordinate negative o nulle (compresi i punti sullasse x) Tutti i punti del piano con ordinata 0 y o

12 12 Semipiano con ascisse negative (esclusi i punti sullasse y) Tutti i punti del piano con ascissa < 0 x < o Basta!!

13 13 Semipiano al di sotto della bisettrice del 1° e 2° quadrante (compresi i punti della bisettrice y=x) Tutti i punti del piano con ordinata allascissa y x

14 14 Soluzione di un equazione 2x + 4 = 0x²-5x+6 = 0 Un numero ( o unespressione letterale ) è soluzione di unequazione se, sostituito allincognita x, trasforma lequazione in una uguaglianza vera. y = 2x+4 y = 0 Risolvere unequazione corrisponde alla risoluzione di un sistema: y = x²-5x+6 y = 0

15 15 Soluzione di unequazione y=x²-5x+6 y = x²-5x+6 y = 0 x²-5x+6=0 S= 2;3 y=0 y = 2x+4 y = 0 2x+4=0 S= -2 y=2x-4 (x-2)(x-3)=0 Per la legge di annullamento del prodotto

16 16 Soluzione di una disequazione y = 2x+4 y > 0 2x+4>0 2x > x > - x > -2 S={x R|x > -2} (-2; + ) 8 Notare il cerchietto vuoto che indica lesclusione del punto estremo.

17 17 Soluzione di una disequazione y = 2x-5 y 0 2x-5 0 2x x S={x R|x 5/2} S: [5/2; + ) 8 Notare il cerchietto pieno che indica linclusione del punto estremo.

18 18 Sistemi di disequazioni 2x-5 0 x-6 < 0 La soluzione del sistema, se esiste, è linsieme dei valori della x che rende contemporaneamente vere le due disequazioni 5 2 x x < 6 S={x R | x< 6 } 5 2 y=2x-5 y=x-6 soluzione del sistema La fascia evidenzia le porzioni di rette che corrispondono contemporaneamente ai valori di verità indicati dalle disequazioni [ ; 6 ) 5 2 oppure

19 19 Sistemi di disequazioni 2x-5 0 x-6 < x x < 6 S={x R | x < 6 } 5 2 [ ; 6 ) x < 6 x>5/2 oppure Larea campita in giallo indica la parte comune delle soluzioni delle due disequazioni ovvero linsieme dei valori della x che rende le due disequazioni due disuguaglianze contemporaneamente vere; la soluzione del sistema è: 5 2 V V F V V F Il sistema può essere risolto in modo molto semplice rappresentando sulla linea dei numeri reali le due soluzioni e considerando lintersezione

20 20 Sistemi di disequazioni 2x-5 0 x+1 < x x < -1 y=2x-5 y=x+1 In questo caso le soluzioni delle due disequazioni non hanno sovrapposizioni per cui la loro intersezione è linsieme vuoto. Il sistema non ha soluzione: è impossibile

21 21 Consideriamo la seguente espressione: E costituita da quattro fattori di cui due di secondo grado. Il fattore F 4 è un prodotto notevole scomponibile in (1+x) (1-x) mentre il fattore F 3 non è scomponibile; scomponendo F 4 lespressione diventa: F1F1 F2F2 F4F4 F3F3 Disequazioni di grado superiore al primo riconducibili a fattori di primo grado Il segno dellespressione dipende quindi dal prodotto dei segni di cinque fattori

22 22 Questi fattori non vanno posti =0 perchè si trovano a denominatore Consideriamo ora la disequazione: Per risolverla, cerchiamo in quale intervallo ciascun fattore risulta 0 (oppure >0 se nel testo non cè luguale) numeratorenumeratore denominatoredenominatore N1N1 x 2 N2N2 x -1 N3N3 x 1 D1D1 x>0 D2D2 x

23 23 N1N1 x 2 N2N2 x -1 D2D2 x D1D1 x>0 N3N3 x 1 Tracciamo un diagramma evidenziando con linea continua gli intervalli dellinsieme dei numeri reali in cui ciascun fattore è positivo e con linea discontinua il resto. Gli estremi (capisaldi) saranno indicati con un cerchietto pieno se inclusi, vuoto se esclusi. x In ciascun intervallo determiniamo il prodotto dei segni.

24 24 N1N1 N2N2 D1D1 D2D2 x 2 x -1 x x>0 N3N3 x 1 x Se la disequazione richiede che lespressione sia 0, come in questo caso, prendiamo gli intervalli positivi inclusi i capisaldi con pallino pieno. La nostra soluzione è quindi: S= x R -1 x <0 V 1 x 2 S : [-1;0) [1;2]

25 25 Proviamo a rappresentare graficamente la relazione y=f(x) e determiniamo la soluzione La disequazione fratta che Abbiamo risolto corrisponde al seguente sistema: (x-2)(1-x²) x(x²+2) y 0 y= S= x R -1 x <0 V 1 x 2

26 26 N1N1 N2N2 D1D1 D2D2 x 2 x -1 x x>0 N3N3 x 1 x Se la disequazione richiede che lespressione sia < 0, prendiamo gli intervalli negativi esclusi gli estremi. In questo caso la soluzione è: S= x R x 2 S : (- ;-1) (0;1) (2;+ )

27 27 |x| = -x se x<0 x se x 0 Disequazioni con moduli Il modulo o valore assoluto di un numero reale x è definito come… |9| = 9 |-9| = 9

28 28 Disequazioni con moduli |x-5| = x-5 se x-5 0 Il modulo o valore assoluto di una espressione è uguale allargomento se largomento è 0, opposto dellargomento se largomento è < 0 |x-5| = -(x-5) se x-5<0 |4| = 4 se x=9: |-9|= -(-9)=9 se x=-4:

29 29 Disequazioni con moduli La soluzione di una disequazione contenente moduli corrisponde alla soluzione di due sistemi che contemplano i due casi: x-5 0 x-5 < 2 Si considerano i due sistemi seguenti: per esempio se: |x-5| < 2 x-5 < 0 -(x-5) < 2 x 5 x < 7 x < 5 x > 3 La soluzione è lunione delle due: S2: 3< x <5 S1: 5 x <7 3 < x < 7

30 30 Rappresentiamo la disequazione y=|x-5|-2 sul piano cartesiano e cerchiamo di individuare i punti della linea che ricadono nel semipiano y<0 : y=|x-5|-2 y <0 Se nella disequazione |x-5|<2 portiamo tutti i termini al primo membro, la disequazione diventa |x-5|-2<0. La disequazione corrisponde al seguente sistema: y=|x-5|-2 y <0 3 < x < 7 37 La parte della linea che ricade al di sotto dellasse x è compresa tra 3 e 7, estremi esclusi

31 31 Disequazioni con moduli 2x-3 0 2x-3 5 consideriamo i due sistemi: altro esempio: |2x-3| 5 2x-3 < 0 -(2x-3) 5 x 3/2 x 4 x < 3/2 -2x 2 La soluzione è lunione delle due soluzioni parziali: x -1 x 4 (- ;-1] [4;+ ) | | 4 0 | - + Sulla linea dei numeri:

32 32 Disequazioni letterali consideriamo la disequazione letterale: a(x-3) 2 Per risolverla, non conoscendo il valore e il segno di a, occorre considerare tutti i casi possibili. Non ci sono regole precise ma si deve operare con il criterio più opportuno, caso per caso a(x-3) 2ax-3a 2ax 3a+2 Prima di dividere per a, dobbiamo valutare cosa succede se a=0, a 0

33 33 Disequazioni letterali ax 3a+2 Per a=0, la disequazione risulta evidentemente impossibile. se a=0 0 x Se invece di il verso della disequazione fosse oppure < la disequazione sarebbe verificata per ogni x reale.

34 34 Disequazioni letterali ax 3a+2 Se a<0 ricordiamo che dividendo per un numero negativo la disequazione cambia verso. se a>0 3a+2 a x se a<0 3a+2 a x

35 35 Proviamo a rappresentare sul piano cartesiano la retta y=ax-3a-2 al variare di a. La disequazione ax 3a+2 corrisponde al seguente sistema: y=ax-3a-2 y 0 a=0: impossibile a=1 a=2 a=3 a=-1 a=-2 a=-3 Disequazioni letterali 3a+2 a a>0: x 3a+2 a a<0: x

36 36 Disequazioni letterali consideriamo la disequazione letterale fratta: Possiamo esplicitare la x al denominatore e risolverla come una comune disequazione fratta Consideriamo i tre casi a=0, a 0 (x-a) (x²+ax) 0 (x - a) x(x+a) 0 è verificata x>0 R se a=0 x x² 0

37 37 y= y 0 x x² x x² 0 a=0 Equivale al sistema x>0 R la soluzione è

38 38 Ricordiamo che i fattori a denominatore non vanno posti =0 Consideriamo ora il caso in cui a>0 oppure a<0 : In entrambi i casi, cerchiamo in quale intervallo ciascun fattore risulta 0 numeratorenumeratore denominatoredenominatore (x - a) x(x+a) 0 N1N1 x-a 0x a D1D1 x>0 D2D2 x+a>0 x > -a

39 39 D1D1 x> x a 0 -a N1N1 x a Se a>0 nella linea dei numeri reali è a destra dello zero e –a è a sinistra S= x R -a< x<0 V x a S : (-a;0) [a;+ ) (x - a) x(x+a) 0 D2D2 x>- a Ricerchiamo con il metodo grafico gli intervalli in cui il prodotto dei fattori è 0: Se a>0 la soluzione è ovvero

40 40 D1D1 x> x -a 0 a N1N1 x a Se a<0 nella linea dei numeri reali è a sinistra dello zero e –a è a destra S= x R a x -a S : [a;0) (-a;+ ) (x - a) x(x+a) 0 D2D2 x>- a Ricerchiamo con il metodo grafico gli intervalli in cui il prodotto dei fattori è 0: Se a<0 la soluzione è ovvero

41 41 Sintetizziamo le diverse soluzioni (x - a) x(x+a) 0 S= x R x>0 se a=0 S : (0;+ ) S= x R -a< x<0 V x a S : (-a;0) [a;+ ) se a>0 se a<0 S= x R a x -a S : [a;0) (-a;+ ) Abbiamo già visto la soluzione grafica per a=0; vediamo ora la soluzione grafica al variare di a 0

42 42 (x - a) x(x+a) 0 a = 2> asintoto verticale _ + _ + S= x R - a

43 43 (x - a) x(x+a) 0 a = -3< asintoto verticale + __ + S= x R a x -a S : [a;0) (-a;+ )

44 44 FFFiFiFinFinFineFine Prof. Vincenzo Calamia Liceo Classico Alcamo


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