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Lezione n° 20: 19-20 Maggio 2009 Problema del Massimo Flusso: - Formulazione Matematica - Algoritmo del grafo ausiliario Anno accademico 2008/2009 Prof.

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1 Lezione n° 20: Maggio 2009 Problema del Massimo Flusso: - Formulazione Matematica - Algoritmo del grafo ausiliario Anno accademico 2008/2009 Prof. Cerulli – Dott.ssa Gentili Lezioni di Ricerca Operativa Corso di Laurea in Informatica ed Informatica Applicata Università di Salerno

2 2 Il Problema del Massimo Flusso Nodo sorgente: s Nodo destinazione: t Capacità: u ij

3 3 Il Problema del Massimo Flusso Nodo sorgente fornisce flusso f Nodo destinazione assorbe flusso -f Tutti gli altri nodi sono nodi di transito Voglio spedire dalla sorgente la massima quantità di flusso fino al pozzo senza violare i vincoli di capacità

4 4 Il Problema del Massimo Flusso: esempio

5 5 Il Problema del Massimo Flusso: esempio 3,10 3,15 3,4 1, ,6 1,

6 6 Il Problema del Massimo Flusso: Formulazione Parametri di input: - Grafo orientato G=(V,A) - Nodo sorgente s - Nodo destinazione t Variabili decisionali

7 7 Problema del Massimo Flusso FORMULAZIONE

8 8 Il Problema del massimo flusso: concetti fondamentali ts flusso massimo su questo grafo è pari a 6 corrispondente allarco del cammino con capacità minima 9 ts Riesco ad individuare un taglio sul grafo

9 9 Il Problema del massimo flusso: concetti fondamentali ho individuato un taglio: cioè una partizione dei nodi in due insiemi tali V 1 e V 2 tali che: - Il nodo sorgente appartiene a V 1 - Il nodo pozzo appartiene a V 2 - V 1 V 2 = V - V 1 V 2 = Ø estendiamo questo concetto di taglio ad un grafo più complesso

10 10 Taglio e archi di un taglio Taglio 3: V 1 ={1,4,5} V 2 = {2,3,6} archi del taglio ={(1,2) (4,3) (5,3) (5,6)} Taglio 1: V 1 ={1,2,3} V 2 = {4,5,6} archi del taglio ={(1,4) (2,4) (2,5) (3,6)} Taglio 2: V 1 ={1,3,5} V 2 = {2,4,6} archi del taglio ={(1,2) (1,4) (3,6) (5,6)}

11 11 Capacità di un Taglio Dato il taglio (V 1, V 2 ) la capacità del taglio è la somma delle capacità degli archi del taglio

12 12 Capacità di un Taglio Taglio 3: V 1 ={1,4,5} V 2 = {2,3,6} archi del taglio ={(1,2) (4,3) (5,3) (5,6)} Capacità = = Taglio 2: V 1 ={1,3,5} V 2 = {2,4,6} archi del taglio ={(1,2) (1,4) (3,6) (5,6)} Capacità = = 35 Taglio 1: V 1 ={1,2,3} V 2 = {4,5,6} archi del taglio ={(1,4) (2,4) (2,5) (3,6)} Capacità = =27

13 13 Relazione tra il massimo flusso e la capacità di un taglio La capacità di un taglio mi fornisce un limite superiore al valore di flusso che posso spedire dalla sorgente al pozzo Mi interessa il taglio di capacità minima se riuscissi ad individuare tutti i tagli del grafo quello di capacità minima mi individuerebbe la strozzatura della rete la capacità del taglio minimo mi individua il massimo flusso (relazione di dualità) metodo per testare lottimalità di una soluzione

14 14 Grafo ausiliario e Capacità residua 2;5 1 1;3 2;4 1;4 s t s t Grafo ausiliario

15 15 Grafo ausiliario e Capacità residua Dato un grafo G=(V,A) ed un flusso ammissibile X, il grafo ausiliario G=(V,A) è tale che: 1. se x ij 0 esiste in G larco (j,i) con capacità pari a x ij Tutti gli algoritmi risolutivi del problema utilizzano il grafo ausiliario (o rete residua) per decidere come spedire il flusso sulla rete

16 16 Grafo ausiliario e Cammino aumentante s t 2 3 Potrei spedire flusso da s a t tramite cammini Spedisco 4 unità di flusso tramite il cammino P2 : s – 2 – t f = 1 +4 = s t Spedisco 1 unità di flusso tramite il cammino P1 : s – 2 – 3 – t f = 1

17 17 Grafo ausiliario e Cammino aumentante s t 3 5 Spedisco 3 unità di flusso tramite il cammino P3 : s – 3 – t f = 5 +3 = s t Il flusso che ho individuato è ottimo?

18 18 Grafo ausiliario e Cammino aumentante s t Il flusso che ho individuato è ottimo? Se riuscissi ad individuare un taglio con capacità uguale al flusso che ho individuato potrei dire che è ottimo V 1 = {s} V 2 = {2,3,t} Archi del taglio: (s,2) (s,3) Capacità = 5 + 3= s t 2 3

19 19 Cammino aumentante s t 3 5 Cammino : s – 3 – t Individuato sul grafo ausiliario 2 1 Cammino aumentante Capacità del Cammino aumentante: = min{u ij : (i,j) appartiene al cammino }

20 20 1.Dato un grafo G=(V,A,u): 1.1 definisci un flusso iniziale X ammissibile, in particolare il flusso nullo: x ij =0 per ogni i e per ogni j 1.2 f=0 2.Costruisci il grafo ausiliario G(X) 3. Cerca in G(X) un cammino aumentante p dalla sorgente al pozzo 3.1 Se non esiste alcun cammino allora STOP: il flusso corrente è massimo 4. Sia =min{u ij : (i,j) appartiene a p } 5. Aggiorna il flusso: 5.1 f=f+ 5.2 x ij = x ij + se (i,j) appartiene ad A 5.3 x ij = x ij - se (j,i) non appartiene ad A 6. Torna al passo 2 Lalgoritmo del grafo ausiliario (1/3)

21 21 Lalgoritmo del grafo ausiliario (2/3) Nota: Questo algoritmo è generico: ce almeno un passo che non è univocamente interpretabile Il passo 3: Cerca in G(X) un qualsiasi cammino orientato p dalla sorgente al pozzo Può essere realizzato in diversi modi che influenzano la complessità computazionale dellalgoritmo: - posso cercare un cammino a caso - posso cercare un cammino con il numero minimo di archi (shortest augmenting path algorithm ) - posso cercare un cammino con una capacità almeno pari ad una quantità fissata di volta in volta (capacity scaling algorithm)

22 Lalgoritmo del grafo ausiliario (3/3)


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