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26-04.-14 1 Matematica Generale Matematica Generale Derivate A cura di Beatrice Venturi.

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Presentazione sul tema: "26-04.-14 1 Matematica Generale Matematica Generale Derivate A cura di Beatrice Venturi."— Transcript della presentazione:

1 26-04.-14 1 Matematica Generale Matematica Generale Derivate A cura di Beatrice Venturi

2 26-04.-142 1. INTRODUZIONE AL CONCETTO DI DERIVATA Problema: determinare la tangente in un generico punto ad una curva data. Tale problema venne risolto dai greci in modo elementare nel caso della circonferenza.

3 26-04.-143 Circonferenza e retta tangente

4 26-04.-144 1. INTRODUZIONE AL CONCETTO DI DERIVATA Per determinare la tangente in un punto abbiamo bisogno di conoscere la sua inclinazione, cioè il suo coefficiente angolare. Dati due punti:

5 26-04.-145 INTRODUZIONE AL CONCETTO DI DERIVATA Consideriamo variazione delle ascisse variazione delle ordinate

6 26-04.-146 INTRODUZIONE AL CONCETTO DI DERIVATA Inclinazione o coefficiente angolare di una retta ( è la tangente trigonometrica allangolo ) Tasso o saggio di accrescimento della variabile y rispetto alla variabile x

7 26-04.-147 Definizione di derivata

8 26-04.-148 Definizione di funzione derivabile Data una funzione f(x) definita in un intervallo I=(a,b) si dice che è derivabile in I se esiste ed è finito il limite del rapporto incrementale x I.

9 26-04.-149 Retta tangente Data una funzione f(x) definita in un intervallo I=(a,b), lequazione della retta tangente alla curva f(x) nel punto di ascissa x 0 è: y=f(x 0 )+f(x 0 )(x- x 0 )

10 26-04.-1410 Retta Tangente

11 26-04.-1411 Definizione della derivata prima In tutti i punti in cui fa f(x) è derivabile risulta definita una nuove funzione che si indica con f(x) oppure con D 1 f(x). La funzione f(x) assume i valori della derivata della funzione f(x) calcolata per lo stesso valore della x. f(x) si chiama derivata prima della funzione f(x).

12 26-04.-1412 Definizione della derivata seconda Si chiama derivata seconda della funzione f(x) la derivata prima della funzione f(x). In tutti i punti in cui fa f(x) è derivabile due volte risulta definita la derivata seconda che si indica con f(x) oppure con D 2 f(x).

13 26-04.-1413 Relazione tra derivabilità e continuità Una funzione f( x) derivabile in un punto x è anche continua nello stesso punto. derivabilità continuità Se una funzione f( x) è continua in un punto x NON è detto che sia anche derivabile.

14 26-04.-1414 Relazione tra derivabilità e continuità Contro esempio: y=|x| valutato nellorigine.

15 26-04.-1415 Punto angoloso

16 26-04.-1416 Punto angoloso Data una funzione f(x) definita in un intervallo I = (a,b), sia x I

17 26-04.-1417 Punto con tangente verticale o flesso verticale

18 26-04.-1418 Punto con tangente verticale o flesso verticale Data una funzione f(x) definita in un intervallo I = (a,b), sia x I

19 26-04.-1419 Cuspide

20 26-04.-1420 Cuspide Data una funzione f(x) definita in un intervallo I = (a,b), sia x I

21 26-04.-1421 Regole di derivazione Se f(x) e g(x) sono derivabili in (a,b) allora valgono le seguenti regole:

22 26-04.-1422 Regole di derivazione Addizione e sottrazione:

23 26-04.-1423 Regole di derivazione Prodotto:

24 26-04.-1424 Regole di derivazione Rapporto : nei punti in cui g(x) 0

25 26-04.-1425 Regole di derivazione Logaritmo :

26 26-04.-1426 Regole di derivazione Esponenziale:

27 26-04.-1427 Regole di derivazione Potenza (1) :

28 26-04.-1428 Regole di derivazione Potenza (2):

29 26-04.-1429 Regole di derivazione Prodotto per una costante:

30 26-04.-1430 Regole di derivazione Funzione inversa: Se y=f(x) è una funzione crescente (decrescente) e derivabile nellintervallo (a,b) allora è dotata di inversa e, in tutti i punti in cui è f(x) 0, anche la sua funzione inversa f -1 (y) è derivabile e si ha:

31 26-04.-1431 Regole di derivazione Funzione composta: Una funzione y=f[g(x)] composta per mezzo di due funzioni derivabili è anchessa derivabile e si ha che la sua derivata è data da:

32 26-04.-1432 Derivate notevoli Funzione potenza: x R e n N

33 26-04.-1433 Derivate notevoli Funzione esponenziale: x R e a>0

34 26-04.-1434 Derivate notevoli Funzione logaritmica: x>0 e a>0

35 26-04.-1435 Derivate notevoli Funzione radice: x 0 e n N

36 26-04.-1436 Derivate notevoli Funzione iperbole: x R \{0}


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