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G. Amodeo, C. Gaibisso Programmazione di Calcolatori Lezione III Cenni di Teoria Ingenua degli Insiemi Programmazione di Calcolatori: Cenni di Teoria.

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2 G. Amodeo, C. Gaibisso Programmazione di Calcolatori Lezione III Cenni di Teoria Ingenua degli Insiemi Programmazione di Calcolatori: Cenni di Teoria Ingenua degli Insiemi 1

3 G. Amodeo, C. Gaibisso Gli insiemi Programmazione di Calcolatori: Cenni di Teoria Ingenua degli Insiemi2 una collezione di oggetti distinti detti elementi Insieme: Lunedì Martedì Mercoledì Giovedì Venerdì Sabato Domenica Esempio: i giorni della settimana

4 G. Amodeo, C. Gaibisso Gli insiemi Programmazione di Calcolatori: Cenni di Teoria Ingenua degli Insiemi3 Esempio: i numeri interi positivi minori o uguali a

5 G. Amodeo, C. Gaibisso Notazione Programmazione di Calcolatori: Cenni di Teoria Ingenua degli Insiemi A Appartenenza: se a è un elemento di A, scriveremo se a non è un elemento di A, scriveremo Esempio:

6 G. Amodeo, C. Gaibisso Definizione di un insieme Programmazione di Calcolatori: Cenni di Teoria Ingenua degli Insiemi5 Modalità di definizione di un insieme: intensionale estensionale descrizione della caratteristica posseduta da tutti e soli gli elementi dellinsieme Definizione intensionale: I giorni della settimana I numeri interi positivi minori o uguali a 10 Esempio:

7 G. Amodeo, C. Gaibisso Definizione di un insieme Programmazione di Calcolatori: Cenni di Teoria Ingenua degli Insiemi6 elenco di tutti e soli gli elementi dellinsieme Definizione estensionale: i numeri interi positivi minori o uguali a 10 Esempio: i giorni della settimana

8 G. Amodeo, C. Gaibisso Intensionale vs Estensionale Programmazione di Calcolatori: Cenni di Teoria Ingenua degli Insiemi7 Esempio: intensionale ? estensionale … … … estensionale intensionale { x | x = i 3 +4 i 2 -2 i+6, i N, 1 i 100}

9 G. Amodeo, C. Gaibisso Intensionale vs Estensionale Programmazione di Calcolatori: Cenni di Teoria Ingenua degli Insiemi8

10 G. Amodeo, C. Gaibisso Sottinsieme Programmazione di Calcolatori: Cenni di Teoria Ingenua degli Insiemi9 Sottinsieme: A è un sottoinsieme di B se e solo se ogni elemento di A è anche elemento di B Festivi Feriali Lunedì Martedì Mercoledì Giovedì Venerdì Sabato Domenica Giorni della Settimana (GdS) Esempio:

11 G. Amodeo, C. Gaibisso Prodotto cartesiano Programmazione di Calcolatori: Cenni di Teoria Ingenua degli Insiemi10 Prodotto Cartesiano: il prodotto cartesiano di A e B è linsieme di tutte le coppie il cui primo elemento è un elemento di A e il cui secondo elemento è un elemento di B

12 G. Amodeo, C. Gaibisso Prodotto cartesiano Programmazione di Calcolatori: Cenni di Teoria Ingenua degli Insiemi Numeri Decimali II IV I III Numeri Romani (1, I) (1, II) (1, III) (1, IV) (2, I) (2, II) (2, III) (2, IV) (3, I) (3, II) (3, III) (3, IV) Numeri Decimali x Numeri Romani Esempio:

13 G. Amodeo, C. Gaibisso Prodotto cartesiano Programmazione di Calcolatori: Cenni di Teoria Ingenua degli Insiemi12 Esempio:

14 G. Amodeo, C. Gaibisso Relazioni binarie Programmazione di Calcolatori: Cenni di Teoria Ingenua degli Insiemi13 è un sottoinsieme del prodotto cartesiano di A per B Relazione binaria R tra A e B:

15 G. Amodeo, C. Gaibisso Relazioni binarie Programmazione di Calcolatori: Cenni di Teoria Ingenua degli Insiemi Numeri Decimali II IV I III Numeri Romani (1, I) (1, II) (1, III) (1, IV) (2, I) (2, II) (2, III) (2, IV) (3, I) (3, II) (3, III) (3, IV) Numeri Decimali x Numeri Romani Maggiori Uguali di Esempio:

16 G. Amodeo, C. Gaibisso Relazioni binarie Programmazione di Calcolatori: Cenni di Teoria Ingenua degli Insiemi15 Esempio:

17 G. Amodeo, C. Gaibisso Funzioni Programmazione di Calcolatori: Cenni di Teoria Ingenua degli Insiemi16 Funzione: una funzione f definita su A e a valori in B è una relazione binaria che associa ad ogni elemento a di A uno e un solo elemento b di B f AxB t.c. a A (a,b) f e se (a,b) e (a, b) f b=b

18 G. Amodeo, C. Gaibisso Funzioni Programmazione di Calcolatori: Cenni di Teoria Ingenua degli Insiemi17 (1, I) (1, II) (1, III) (1, IV) (2, I) (2, II) (2, III) (2, IV) (3, I)(3, II) (3, III) (3, IV) Numeri Decimali x Numeri Romani Conversione Esempio: Numeri Decimali II IV I III Numeri Romani

19 G. Amodeo, C. Gaibisso Funzioni Programmazione di Calcolatori: Cenni di Teoria Ingenua degli Insiemi18 Esempio:

20 G. Amodeo, C. Gaibisso Funzioni Programmazione di Calcolatori: Cenni di Teoria Ingenua degli Insiemi19 E una funzione? (1, I) (1, II) (1, III) (1, IV) (2, I) (2, II) (2, III) (2, IV) (3, I) (3, II) (3, III) (3, IV) Numeri Decimali x Numeri Romani Conversione NO

21 G. Amodeo, C. Gaibisso Funzioni Programmazione di Calcolatori: Cenni di Teoria Ingenua degli Insiemi20 E una funzione? NO

22 G. Amodeo, C. Gaibisso Nome, dominio, codominio, immagine Programmazione di Calcolatori: Cenni di Teoria Ingenua degli Insiemi21 Notazione:Dominio Codominio Immagine di f: Nome

23 G. Amodeo, C. Gaibisso Nome, dominio, codominio, immagine Programmazione di Calcolatori: Cenni di Teoria Ingenua degli Insiemi22 (1, I) (1, II) (1, III) (1, IV) (2, I) (2, II) (2, III) (2, IV) (3, I)(3, II) (3, III) (3, IV) Numeri Decimali x Numeri Romani Conversione Esempio: Numeri Decimali II I IV III Numeri Romani Codominio Immagine Dominio Nome

24 G. Amodeo, C. Gaibisso Definizione di una funzione Programmazione di Calcolatori: Cenni di Teoria Ingenua degli Insiemi23 1.Signature o arietà: nome dominio codominio 2.Legge che associa ad ogni elemento del dominio un elemento del codominio

25 G. Amodeo, C. Gaibisso Definizione di una funzione Programmazione di Calcolatori: Cenni di Teoria Ingenua degli Insiemi24 1.Signature o arietà: Nome:quadrato Dominio:N Codominio:N 2.Legge che associa ad ogni elemento del dominio un elemento del codominio:quadrato(x) = x*x Esempio:funzione che associa ad ogni numero naturale il suo quadrato

26 G. Amodeo, C. Gaibisso Funzioni iniettive Programmazione di Calcolatori: Cenni di Teoria Ingenua degli Insiemi25 Funzione iniettiva: f : A B è iniettiva se e solo se associa valori diversi ad argomenti diversi f : A B e iniettiva se a, a A, se f(a)=f(a), allora a = a o più formalmente

27 G. Amodeo, C. Gaibisso Funzioni iniettive? Programmazione di Calcolatori: Cenni di Teoria Ingenua degli Insiemi26 SI NO

28 G. Amodeo, C. Gaibisso Funzioni iniettive? Programmazione di Calcolatori: Cenni di Teoria Ingenua degli Insiemi27 La funzione identità f(x)=x La funzione f : N N definita da f(x)=2x+1 La funzione g : N N definita da g(x)=x 2 La funzione g : Z N definita da g(x)=|x| SI NO

29 G. Amodeo, C. Gaibisso Funzioni suriettive Programmazione di Calcolatori: Cenni di Teoria Ingenua degli Insiemi28 Funzione suriettiva: f : A B è surgettiva se e solo se Im(f) = B f : A B è suriettiva se e solo se b B, a A, t.c. f(a)=b o analogamente

30 G. Amodeo, C. Gaibisso Funzioni suriettive? Programmazione di Calcolatori: Cenni di Teoria Ingenua degli Insiemi29 SI NO SI

31 G. Amodeo, C. Gaibisso Funzioni suriettive? Programmazione di Calcolatori: Cenni di Teoria Ingenua degli Insiemi30 La funzione identità La funzione f : N N definita da f(x)=2x+1 La funzione g : N N definita da g(x)=x 2 La funzione g : Z N definita da g(x)=|x| SI NO SI

32 G. Amodeo, C. Gaibisso Funzioni biiettive Programmazione di Calcolatori: Cenni di Teoria Ingenua degli Insiemi31 Funzione biiettiva: f : A B è biettiva se e solo se è iniettiva e suriettiva SI NO

33 G. Amodeo, C. Gaibisso Equipotenza tra insiemi Programmazione di Calcolatori: Cenni di Teoria Ingenua degli Insiemi32 A è equipotente a B (A B) se e solo se f : A B biettiva Esempio: N {x | x = i 3, i N} N pari N dispari


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