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Grafi. giugno 2002ASD - Grafi2 Definizioni/1 Struttura dati per la rappresentazione di relazioni binarie G=(V,E), |V|=n, |E|=m V: insieme di Vertici o.

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1 Grafi

2 giugno 2002ASD - Grafi2 Definizioni/1 Struttura dati per la rappresentazione di relazioni binarie G=(V,E), |V|=n, |E|=m V: insieme di Vertici o Nodi E={{v i, v j }: v i, v j V} : insieme di Spigoli –{v i, v j } = {v j, v i } Grafo semplice o non orientato E={(v i, v j ): v i, v j V} : insieme di Archi –(v i, v j ) (v j, v i ) Grafo diretto o orientato spesso i termini spigolo ed arco vengono usati come sinonimi

3 giugno 2002ASD - Grafi3 Esempi Relazioni di parentela –Alberi genealogici Relazioni tra classi nei linguaggi OO Grafo del Web Assetti societari Reti di trasporto

4 giugno 2002ASD - Grafi4 Definizioni/2 Multigrafo: E è un multinsieme Pseudografo: E contiene anche coppie (v i, v i ) cappi Circuito in un grafo: v 1, v 2,….., v k : (v i, v i+1 ) E, v 1 = v k (senza archi ripetuti) Ciclo in un grafo: Circuito con v i v j, per i j Grafo pesato: valore reale w k associato ad ogni arco e k

5 giugno 2002ASD - Grafi5 Definizioni/3 K n : Grafo semplice in cui sono presenti tutti gli archi. –numero di archi in K n : G=(V,E) sottografo di G=(V,E) se e solo se V V ed E E grado(v): # di archi incidenti in v (v i, v j ) E: v i adiacente a v j

6 giugno 2002ASD - Grafi6 Esempi di grafi: (a-d) grafi semplici; (c) un grafo completo K4; (e) un multigrafo; (f) uno pseudografo; (g) un circuito in un grafo orientato; (h) un ciclo nel grafo orientato

7 giugno 2002ASD - Grafi7 Rappresentazioni Lista di adiacenza: ogni vertice è associato con la lista dei vertici adiacenti. Lista di adiacenza può essere una tabella o una lista concatenata Matrice di adiacenza: a ih =1 se (v i, v h ) E, a ih =0 altrimenti Matrice di Incidenza: a ih =1 se v i e h, a ih =0 altrimenti

8 giugno 2002ASD - Grafi8 Rappresentazioni di grafi. Un grafo (a) rappresentato con una lista di adiacenze (b-c),

9 giugno 2002ASD - Grafi9 Rappresentazioni di grafi. Un grafo (a) rappresentato come una matrice di adiacenze (d) e come una matrice dincidenza (e)

10 giugno 2002ASD - Grafi10 Vantaggi e Svantaggi Lista di adiacenza: memoria O(m) Vantaggi: permette di scorrere i nodi adiacenti a v in O(grado(v)) Svantaggi: inserimenti e cancellazioni su liste concatenate in O(grado(v)) Matrice di adiacenza: memoria O(n 2 ) Vantaggi: Inserimenti e cancellazioni in O(1) Svantaggi: permette di scorrere i nodi adiacenti a v in O(n) D.: matrice di incidenza ?

11 giugno 2002ASD - Grafi11 Visita di un Grafo Obiettivo: visitare una sola volta tutti i nodi del grafo. –Es.: visitare un porzione del grafo del Web Difficoltà: –Presenza di cicli: marcare i nodi visitati –Presenza di nodi isolati: la visita termina quando sono state considerate tutte le componenti isolate del grafo

12 giugno 2002ASD - Grafi12 Visita in profondità - DFS La visita procede da tutti gli archi uscenti da un nodo. Se tutti i nodi adiacenti sono stati visitati allora si torna al nodo predecessore. Una volta tornati al nodo di partenza si prosegue da un nodo qualsiasi non visitato. I nodi vengono rinumerati secondo lordine di visita.

13 giugno 2002ASD - Grafi13 Esempio di applicazione dellalgoritmo depthFirstSearch ad un grafo

14 giugno 2002ASD - Grafi14 Lalgoritmo depthFirstSearch applicato ad un grafo orientato

15 giugno 2002ASD - Grafi15 Implementazione della DFS/1 I nodi sono inizialmente marcati con 0, i=1. Assumi la visita sia arrivata ad un nodo v. La visita prosegue da un nodo u adiacente a v se marcato 0. Se nessun nodo adiacente marcato 0 è disponibile torna al nodo da cui si è raggiunto v oppure termina se v è il nodo iniziale. Ogni volta che un nodo mai visitato è raggiunto, questo viene marcato con i++ Viene marcato sia lnizio che la fine della visita di un nodo v, risp. num(v) e fin(v)

16 giugno 2002ASD - Grafi16 Implementazione della DFS/2 depthFirstSearch() { for (tutti i vertici v) num(v)=fin(v)=0; // Vedi slide succ. edges = null; i=j=1; // per aggiornare num(v) e fin(v) while ( )//main loop DFS(v); }

17 giugno 2002ASD - Grafi17 Implementazione della DFS/3 DFS(v) { num(v)=i++; //prima visita di v for ( ) if (num(u) == 0) { DFS(u); } fin(v)=j++; // ultima visita di v }

18 giugno 2002ASD - Grafi18 implementazione della DFS/4 limplementazione iterativa della DFS utilizza una pila per memorizzare gli archi uscenti da un nodo visitato ad ogni passo si estrae larco sulla cima della pila la visita prosegue dal nodo adiacente se marcato 0

19 giugno 2002ASD - Grafi19 Proprietà della DFS lalgoritmo DFS visita lintera componente del grafo raggiungibile dal nodo di partenza se collezioniamo gli archi (edges) che portano alla scoperta di nuovi nodi, otteniamo una collezione di alberi che coprono lintero grafo –dipende dal fatto che un arco viene seguito solo se il nodo adiacente non è mai stato raggiunto. gli archi seguiti connettono un nodo con marca inferiore ad un nodo con marca superiore (forward edges) gli archi che non vengono seguiti al contrario connettono nodi con marca superiore a nodi con marca inferiore (back edges)

20 giugno 2002ASD - Grafi20 Complessità della DFS O(n) per inizializzare marcatura dei nodi Test degli archi uscenti da un nodo v: –O(grado(v)) nella rappresentazione con lista di adiacenza. –O(n) nella rappresentazione con matrice di adiacenza. Ogni arco viene testato al più due volte, una volta per ogni estremo Complessivamente O(n + m), O(n 2 ) (grafo denso)

21 giugno 2002ASD - Grafi21 Visita in ampiezza - BFS La visita in ampiezza fa uso di una coda per memorizzare tutti gli archi incidenti nel nodo v visitato che portano ad un nodo marcato 0 I nodi raggiungibili marcati 0 vengono quindi marcati La visita procede dallarco (v,u) in testa alla coda

22 giugno 2002ASD - Grafi22 implementazione della BFS breadthFirstSearch() { for (tutti i vertici v) num(v)=0; edges = null; i = 1; while ( ) { num(v) = i++; enqueue(v); while ( ) { v = dequeue();

23 giugno 2002ASD - Grafi23 implementazione della BFS/2 for( ) if (num(u) == 0) { num(u) = i++; enqueue(u); } }

24 giugno 2002ASD - Grafi24 Un esempio di applicazione dellalgoritmo breadthFirstSearch ad un grafo

25 giugno 2002ASD - Grafi25 Applicazione dellalgoritmo breadthFirstSearch ad un grafo orientato

26 giugno 2002ASD - Grafi26 Ordinamento Topologico/1 Grafi diretti aciclici (DAG) possono rappresentare ordinamenti parziali. Ordinamento parziale: Ogni elemento i è rappresentato da un nodo v i i

27 giugno 2002ASD - Grafi27 Ordinamento parziale Possono esistere coppie tra le quali non è definito alcun ordine –Es.: classi sorelle in linuaggi OO Modellano molte situazioni di interesse pratico –Ereditarietà tra classi Java –Vincoli di precedenza in progetti complessi

28 giugno 2002ASD - Grafi28 Ordinamento Topologico/2 Determinare un ordinamento dei vertici v p(1), v p(2),….., v p(n) tale che se esiste un cammino da v p(i) a v p(j) allora p(i)>p(j). Lordinamento topologico secondo la relazione < è ottenuto considerando la sequenza in ordine inverso Per determinare lordinamento topologico occorre che ogni nodo nellordine sia seguito da tutti i suoi predecessori. Un vertice pozzo è un vertice che non ha archi uscenti. In un DAG esiste sempre tale vertice. Perché?

29 giugno 2002ASD - Grafi29 Ordinamento Topologico/3 TopologicalSort() { for i = 1 to n { num(v)=i; }

30 giugno 2002ASD - Grafi30 Ordinamento topologico: g,e,b,f,d,c,a

31 giugno 2002ASD - Grafi31 Ordinamento Topologico/4 In pratica un ordinamento topologico si ottiene se nella sequenza ogni nodo è seguito dai suoi predecessori. Si esegue una DFS e si ordinano i vertici secondo il valore fin(v). Il valore fin(v) è inferiore a quello dei suoi predecessori. Lordinamento topologico si ottiene dalla sequenza ordinata secondo fin(v) scandita in ordine inverso. Come si dimostra?

32 giugno 2002ASD - Grafi32 Ordinamento Topologico/5 TS(v) num(v)=i++; per tutti i vertici u adiacenti a v if (num(u) == 0) TS(u); else if (fin(u)==0) errore; // identificato un ciclo /* dopo avere esaminato tutti i predecessori, assegna a v un numero maggiore di quelli assegnati a qualsiasi predecessore */ fin(v) = j++;

33 giugno 2002ASD - Grafi33 Ordinamento Topologico/6 topologicalSorting(digraph) per tutti i vertici v num(v)= fin(v) = 0; i = j = 1; while (esiste v tale che num(v) == 0) TS (v); Visualizza vertici in ordine inverso secondo fin(v);

34 giugno 2002ASD - Grafi34 Connettività in Grafi diretti Due nodi u,v sono connessi in un grafo orientato se esiste un cammino diretto che collega u a v. Un grafo diretto è fortemente connesso se per ogni coppia u,v, esiste un cammino da u a v e da v ad u. Un grafo è debolmente connesso se ogni coppia di nodi è connessa da un cammino quando gli archi orientati si sostituiscono con gli archi non orientati.

35 giugno 2002ASD - Grafi35 Componenti fortemente connesse - SCC/1 Un grafo diretto può essere decomposto in componenti fortemente connesse, V 1, V 2,…, V k, tale che – – u connesso a v e v connesso ad u –V j è un insieme massimale G T =(V, E T ) E T :

36 giugno 2002ASD - Grafi36 SCC / 2 Strongly ConnectedComponent(G) Esegui DFS(G) per calcolare fin(v) per ogni vertice v; Calcola G T ; Calcola DFS(G T ) considerando i nodi nel Main Loop in ordine decrescente di fin(v) ; Output ogni albero di DFS(G T ) come una componente fortemente connessa separata Complessità: O(m+nlog n). DFS più ordinamento in ordine decrescente rispetto a fin.

37 giugno 2002ASD - Grafi37 Esempio di esecuzione dellalgoritmo per SCC num/fin 5/4 G 1/5 c 6/8 d 8/6 ab 4/22/3 g 3/1 h 7/7 ef 5 GTGT 4 c 1 d 2 ab 86 g 7 h 3 ef SCC: {a,b,e} {c,d} {f,g} {h} num Radici Alberi DFS: b, c, g, h

38 giugno 2002ASD - Grafi38 Il Problema dei Cammini Minimi G=(V,E) è un grafo pesato sugli archi d(u,v), (u,v) E: peso sullarco (u,v) Cammino dal nodo s al nodo t: v 1, v 2,….., v k : (v i, v i+1 ) E, v 1 = s, v k =t Lunghezza del cammino: Il cammino di lunghezza minima non contiene cicli ……se le distanze sugli archi sono positive. Come si dimostra?

39 giugno 2002ASD - Grafi39 Il problema dei Cammini Minimi/2 Determinare il cammino di lunghezza minima –dal nodo s al nodo t –dal nodo s a tutti gli altri nodi V (SSSP) –tra tutte le coppie di nodi del grafo (APSP) Numerose applicazioni: reti stradali, reti di comunicazione, scheduling di progetti, progetto di circuiti,….

40 giugno 2002ASD - Grafi40 Single Source Shortest Paths/1 Consideriamo un grafo pesato con pesi non negativi. Determinare il cammino minimo da un nodo s a tutti i nodi V del grafo Ogni sottocammino di un cammino minimo è esso stesso un cammino minimo. Ex: s,…,i,…j,…,v: cammino minimo da s a v i,…,j è un cammino minimo da i a j. Come si dimostra?

41 giugno 2002ASD - Grafi41 Single Source Shortest Paths/2 La collezione dei cammini minimi da s a tutti i nodi V può essere sempre posta nella forma di un albero. Come si dimostra? Algoritmi per SSSP mantengono ad ogni istante delle etichette sui nodi. Etichette rappresentano delle approssimazioni delle distanze dalla sorgente. Vi sono algoritmi che ad ogni passo fissano alcune etichette ai loro valori finali, ex Dijkstra. Altri algoritmi, ex: Bellmann & Ford, possono modificare tutte le etichette lungo lintera esecuzione dellalgoritmo.

42 giugno 2002ASD - Grafi42 Dijkstra/1 1.Due insiemi di nodi Q ed R. 2.Inizialmente Q= {}, R={1,..,n} 3. 4.Ad ogni passo estrai il nodo v in R con min dist(v) ed inserisci v in Q 5.Per ogni u adiacente a v aggiorna la distanza da s ad u attraverso nodi in Q:

43 giugno 2002ASD - Grafi43 Unesecuzione di DijkstraAlgorithm

44 giugno 2002ASD - Grafi44 Dijkstra/2 Ad ogni passo si determina la distanza minima di un nodo v in R. Il nodo viene inserito in Q. Dijkstra termina in n passi. Ad ogni passo occorre determinare il nodo v in R con minimo valore dist(v), O(log n) usando un heap per la coda di priorità. Occorre poi eseguire il rilassamento per ogni adiacente u di v, O(grado(u)) vertici, ed eventualmente aggiornare la priorità. Complessivamente O(m log n) Complessità di Dijkstra O((n + m )log n).

45 giugno 2002ASD - Grafi45 Dijkstra/3 Correttezza: Dimostrare che dist(v) è la distanza minima d(v) da s a v quando v è incluso in Q. Per assurdo, considera il primo nodo v inserito in Q per cui dist(v) > d(v) Esiste un cammino da s a v alternativo più breve che contiene almeno un nodo in R. Sia v il primo nodo in R sul cammino da s a v. v è connesso ad s con un cammino formato di soli nodi in Q, con dist(v) < dist(v). Una contraddizione poiché v sarebbe stato selezionato in luogo di v.

46 giugno 2002ASD - Grafi46 Dijkstra/4 DijkstraAlg(grafo digraph, vertice source) for tutti i vertici v dist(v)= ; dist(source)=0; R = tutti i vertici; while (R!=0) v = vertice in R con minimo dist(v); for tutti i vertici u in R adiacenti a v if dist(u) > dist(v) + d(v,u) dist(u) = dist(v) + d(v,u); pred(u) = v;

47 giugno 2002ASD - Grafi47 Dijkstra/5 La collezione dei pred(u) forma lalbero dei cammini minimi con sorgente s. Si può risolvere il problema APSP eseguento n volte Dijkstra a partire da n sorgenti. Complessità:O(n (m +n) log n).

48 giugno 2002ASD - Grafi48 Minimo Albero Ricoprente – MST Si desidera selezionare un sottografo di un grafo che mantenga la connettività tra tutti i nodi al minore costo possibile. Ex: selezionare un sottoinsieme di tratte aeree che permettono di raggiungere tutte le destinazioni con costo minimo. Assumiamo un grafo semplice e pesi non negativi d(u,v) sugli archi. La rete ottima è un albero. Perché?

49 giugno 2002ASD - Grafi49 a b h cd g e f i A Graph and its MST

50 giugno 2002ASD - Grafi50 MST / 2 Strategie Greedy: procedi attraverso una sequenza di scelte ottime locali. –in generale portano alla soluzione ottima solo in casi particolari. Per il MST, consideriamo algoritmi che mantengono la seguente proprietà: P1. Ad ogni passo linsieme degli archi selezionati è un sottoinsieme del MST finale. Ad ogni passo un nuovo arco viene aggiunto alla soluzione mantenendo P1

51 giugno 2002ASD - Grafi51 MST / 3 Definiamo un arco safe se può essere aggiunto ad un MST mantenendo P1 Il generico algoritmo Greedy: Algorithm_MST(G,d) A={} while A non è uno Spanning Tree trova un arco (u,v) safe per A; Inserisci (u,v) in A; return A Diversi algoritmi differiscono per la strategia di ricerca di un arco safe. Questo algoritmo ha n-1 iterazioni

52 giugno 2002ASD - Grafi52 archi safe un taglio (S, V\S) è una partizione dei vertici negli insiemi S e V\S un arco (u,v) attraversa il taglio se u S e v V\S (o viceversa) un taglio rispetta un insieme di archi A se nessun arco di A attraversa il taglio larco (u,v) di peso minimo che attraversa il taglio è safe per A –è ok un qualsiasi taglio che rispetti A dimostrazione?

53 giugno 2002ASD - Grafi53 Algoritmo di Boruvka Linsieme A forma un insieme di componenti connesse Safe: Determina larco di costo minimo che connette due componenti connesse in A. I pesi degli archi vengono memorizzati in una coda di priorità. Ad ogni passo si estrae il minimo e si eliminano anche tutti gli archi tra due componenti che vengono unite. Complessità?

54 giugno 2002ASD - Grafi54 a b h c d g e f i a b h cd g e f i Esecuzione dellAlgoritmo di Boruvka La numerazione indica lordine di selezione degli archi del MST

55 giugno 2002ASD - Grafi55 Algoritmo di Kruskal Ordina gli archi secondo peso crescente Safe: Determina larco di peso minimo che non determina cicli in A. Complessità: –Ordinamento degli archi in O(m log m). –Verifica m volte se si ha un ciclo. Determinare lesistenza di un ciclo può essere svolto in O(log n) –In totale O(m log m) = O(m log n) Lesecuzione è identica allalgoritmo di Boruvska

56 giugno 2002ASD - Grafi56 Algoritmo di Prim / 1 Linsieme A forma ad ogni passo una singola componente connessa Inizialmente A contiene {u,v} tale che (u,v) è larco di costo minimo. Ad ogni passo si inserisce in A larco di costo minimo che attraversa il taglio indotto da A.

57 giugno 2002ASD - Grafi57 Algoritmo di Prim /2 Limplementazione di Prim è simile a Dijkstra con Q=A. Un Heap R memorizza il peso minimo di un arco che connette un nodo di R ad un nodo di A. Ad ogni passo un nodo v di minima priorità è inserito in A (e rimosso dallHeap R) Per tutti i nodi u in R adiacenti a v si aggiorna la priorità di u se d(v,u) è minore della priorità corrente di u. Complessità: O(m log n) per laggiornamento della priorità che può essere svolto m volte.

58 giugno 2002ASD - Grafi58 Algoritmo di Prim / 3 PrimAlg(grafo graph, vertice s) A = {s}; R = tutti i vertici/s; for tutti i vertici v rank(v)=min{d(s,v), }; while R!=0 estrai vertice v in R con minimo rank(v)=d(r,v) ; A = A v; pred(u) = v; for tutti i vertici u in R adiacenti ad v if rank(u)>d(v,u) rank(u) = d(v,u);

59 giugno 2002ASD - Grafi59 a b h c d g e f i a b h cd g e f i Esecuzione dellAlgoritmo di Prim La numerazione indica lordine di selezione degli archi del MST


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