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Onde Elastiche Taiwan data : 20/09/1999 tempo : 17:47:19.0 GMT latitudine : 23.78 ° longitudine : 121.09 ° profondità : 33 km magnitudo : 6.5 Mb.

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1 Onde Elastiche Taiwan data : 20/09/1999 tempo : 17:47:19.0 GMT latitudine : ° longitudine : ° profondità : 33 km magnitudo : 6.5 Mb

2 Foreword Equazioni del moto Descrizione della sorgente sismica Teoria che leghi la descrizione della sorgente e le equazioni del moto Ipotesi: Sovrapposizione lineare del moto Il moto sismico può essere determinato unicamente dalla combinazione delle proprietà della sorgente e del mezzo di propagazione

3 Propagazione delle onde sismiche Ingredienti: Sforzo, deformazione Legge di Hooke (comportamento elastico) Equazione del moto Ipotesi semplificative: gli spostamenti associati alla propagazione delle onde sono di piccola entità Il comportamento meccanico delle rocce è di tipo elastico (ritorno alla posizione di equilibrio una volta rimossa la sollecitazione esterna)

4 corpo elastico e isotropo Tensore gradiente di spostamento Regime di elasticità lineare Spostamento di P in P Spostamento di Q in Q

5 Tensore delle deformazioni infinitesime Per ogni coppia di indici i,j rotazione rigida deformazione infinitesima Il tensore delle deformazioni è simmetrico Leffetto di una deformazione infinitesima su di un elemento linea dx i è quello di cambiare la posizione relativa dei suoi estremi di una quantità pari a ij dx j

6 Definizione di Sforzo n t n t Forze di superficieForze agenti tra particelle adiacenti Forze di volume f(x,t) Forze tra particelle non adiacenti (es. forza gravitazionale) Forze dovute allapplicazione di un processo fisico esterno al corpo stesso (es. effetto di un magnete sulle particelle di ferro)

7 Tensore degli Sforzi Volume infinitesimo j direzione della componente di sforzo i direzione della normale alla superficie considerata La condizione di elasticità lineare equivale a supporre il cubetto in uno stato prossimo allequilibrio di conseguenza il momento associato agli sforzi agenti sul cubetto deve essere nullo: Il tensore degli sforzi è un tensore simmetrico Qualunque forza applicata su di una generica superficie può essere scritta come combinazione lineare delle componenti del tensore degli sforzi

8 Legge di Hooke elasti co plastico rottura Legge di Hooke Relazione Costutiva Un corpo che obbedisce alla relazione costitutiva è lineare e elastico Per un materiale omogeneo e isotropo: in termini di deformazione in termini di spostamento

9 Equazioni del moto Cerchiamo una relazione tra accelerazione, forze di volume e sforzi agenti su di un volume V racchiuso da una superficie S. Bilancio delle forze agenti sul volume V Teorema della divergenza Bilancio delle forze scritto per componenti Equazione del moto

10 Equazione donda Legge di Hooke Equazione del moto

11 Teorema di Lamè soddisfa la condizione:Se il campo di spostamento E se le forze di volume e i valori iniziali di u evengono espressi in termini di potenziali di Helmotz Con nulli Allora esistono due potenziali e per u con le seguenti proprietà: Onda P Onda S

12 Il teorema del Betti non coinvolge condizioni iniziali per. È dunque valido anche se le quantità vengono valutate in un tempo t 1 =t e le quantità vengono valutate in un tempo t 2 =τ-t Teorema di Reciprocità (Betti) condizioni al bordo su S condizioni iniziali t= 0 generalmente diverse Il teorema di reciprocità stabilisce una relazione tra una coppia di soluzioni per lo spostamento generate da diverse forze applicate

13 se esiste un tempo τ 0 in cui sono ovunque nulli attraverso il volume V e quindi allora : Integriamo il Betti in un intervallo temporale (o,τ) Il termine di accelerazione si riduce ad un termine che dipende solo dal valore iniziale e finale del sistema Campo di spostamento in condizione di passato quiescente

14 Funzione di Green per lelastodinamica Il campo di spostamento generato da una sorgente impulsiva unidirezionale è la funzione di Green per lelastodinamica. Reciprocità Se le condizioni al bordo sono indipendenti dal tempo, il tempo origine può essere traslato: Se G soddisfa condizioni al bordo omogenee su S, sfruttando il teorema di Betti è possibile dimostrare che: Impulso unitario applicato in direzione G in (x,t;ξ,τ) la i-esima componente dello spostamento generato La funzione di Green è un tensore che dipende sia dalle coordinate sia della sorgente sia del ricevitore, e soddisfa lequazione:

15 Teorema di Rappresentazione Il teorema di rappresentazione è uno strumento che consente di sintetizzare lo spostamento generato da sorgenti realistiche a partire dallo spostamento generato dalla sorgente più semplice: un impulso unidirezionale, localizzato nello spazio e nel tempo Campo di spostamento in condizione di passato quiescente

16 Teorema di Rappresentazione Continuità delle trazioni sulla superficie Σ Assenza di forze di volume Σ è scelta in modo tale che G sia continua su di essa assieme a tutte le sue derivate Piano di faglia Superficie terrestre Se lo scorrimento avviene su Σ, il campo di spostamento è discontinuo e lequazione del moto non viene soddisfatta allinterno di S. Tuttavia è soddisfatta allinterno della superficie

17 Campo donda generato da una sorgente puntiforme con simmetria sferica Se la sorgente si estende su di un volume V: Tempo di ritardo Equazione di Poisson

18 Soluzione per la funzione di Green per lelastodinamica in un mezzo omogeneo illimitato e isotropo Teorema di rappresentazione Troviamo i due potenziali per la forza tali che: Usiamo la soluzione dellequazione di Poisson per costruire i potenziali

19 Il secondo passo per trovare lo spostamento è quello di risolvere lequazione donda per i potenziali di Lamè La soluzione è data da:

20 La funzione di Green per lo spostamento dovuta ad una forza di volume X 0 (t) nella direzione x 1 è dunque: Introducendo i coseni direttori: Far-Field onde P Far-Field onde S Termine di near field

21 Proprietà del campo far-field onda P Si attenua come r -1 Ha una forma donda che dipende dalla combinazione spazio- temporale t-r/α, si propaga con una velocità pari ad α La forma donda è proporzionale alla forza applicata al tempo di ritardo La direzione dello spostamento u P in x è parallela alla direzione γ dalla sorgente. Il campo donda far-field per londa P è longitudinale: il moto delle particelle ha la stessa direzione del verso di propagazione

22 Proprietà del campo far-field onda S Si attenua come r -1 Ha una forma donda che dipende dalla combinazione spazio- temporale t-r/β, si propaga con una velocità pari ad β La forma donda è proporzionale alla forza applicata al tempo di ritardo La direzione dello spostamento u S in x è perpendicolare alla direzione γ dalla sorgente. Il campo donda far-field per londa S è trasversale: il moto delle particelle è normale alla direzione di propagazione


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