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Statistica economica (6 CFU) Corso di Laurea in Economia e Commercio a.a. 2012-2013 Docente: Lucia Buzzigoli Lezione 6 1.

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1 Statistica economica (6 CFU) Corso di Laurea in Economia e Commercio a.a Docente: Lucia Buzzigoli Lezione 6 1

2 Proprietà acov e acorr di un p.s. stazionario 0 = 2 0 =1 | k | 0 | k |1 k = -k ρ k =ρ -k 2

3 AUTOCORRELAZIONE PARZIALE Nel contesto delle serie storiche, parte della correlazione tra Y t e Y t+k puo essere dovuta alla correlazione che tali variabili hanno con Y t+1, Y t+2, …, Y t+k-1. Un modo per tener conto di ciò è considerare la funzione di autocorrelazione parziale, che misura l'autocorrelazione tra Y t e Y t+k, al netto delle variabili intermedie. Utile per la fase di identificazione dei modelli ARMA. 3

4 Correlogramma parziale: grafico di P k per k = 0,1,2,… 4

5 White Noise È il più semplice p.s. stazionario È costituito da una sequenza di variabili casuali incorrelate a media nulla e varianza costante Viene indicato con a t WN(0, a 2 ), dove E(a t ) = 0 Var(a t 2 )=E(a t 2 ) = a 2 E(a t a t-k ) = 0 per k 0 5

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7 Invertibilità Un p.s. {Y t } è invertibile se con t WN Proprietà importante: -a fini previsivi -per garantire corrispondenza biunivoca tra p.s. e funzione di autocovarianza (o di autocorrelazione) 7

8 Processo stocastico stazionario k e ρ k in modo univoco E vero il contrario? (Data una funzione di autocovarianza, è unico il p.s. stazionario che la possiede?) NO Si può dimostrare che esistono più p.s. stazionari con la stessa funzione di autocovarianza. Uno solo, però, è invertibile. 8

9 Ergodicità Dato che nelle applicazioni si dispone, per ogni t, di una singola realizzazione della v.c. y t, il processo inferenziale presenterebbe complicazioni insuperabili se non venisse imposta, oltre alla stazionarietà, anche unaltra restrizione sulle caratteristiche del processo: lergodicità. Lergodicità si definisce rispetto ad un parametro (es. la media) 9

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11 STIMA DEI MOMENTI DI UN P.S. STAZIONARIO MEDIA stimatore corretto e consistente 11

12 AUTOCOVARIANZA stimatore distorto, asintoticamente corretto e consistente VARIANZA AUTOCORRELAZIONE 12

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14 Teorema di Wold Teorema fondamentale per passare dal concetto di p.s. ai modelli che sono in grado di catturarne le caratteristiche Consente di derivare la classe dei processi ARMA Ogni p.s. stazionario (in senso debole) X t può essere scomposto nella somma di due componenti incorrelate, una deterministica e una stocastica, riconducibile a una sequenza infinita di variabili causali incorrelate (processo lineare) 14

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16 V t è una componente deterministica, nel senso che è prevedibile senza errore Z t è una componente stocastica, nel senso che è possibile solo fare affermazioni probabilistiche sul suo futuro. Z t si dice processo lineare è possibile scrivere Z t utilizzando un polinomio di ordine infinito in B: Z t = (B)a t Non è possibile fare inferenza sugli infiniti parametri j di Z t (ci vorrebbero serie di lunghezza infinita), è quindi necessario approssimare Z t con una parametrizzazione più parsimoniosa 16


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