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CORSO DI MATEMATICA – CURVE E SUPERFICI Prof. Corrado Falcolini Stud. Cantalupo Valeria – Ceraudo Daniele A.A. 2009-2010 STUDIO E RIPRODUZIONE DEL JEFFERSON.

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1 CORSO DI MATEMATICA – CURVE E SUPERFICI Prof. Corrado Falcolini Stud. Cantalupo Valeria – Ceraudo Daniele A.A STUDIO E RIPRODUZIONE DEL JEFFERSON MEMORIAL E CONFRONTO COL PANTHEON

2 TEMA :Jefferson Memorial di Pope Il Thomas Jefferson Memorial è un monumento costruito in onore di Thomas Jefferson, terzo presidente degli Stati Uniti, e sorge a Washington. Ledificio, in stile neoclassico, fu progettato dallarchitetto americano John Russel Pope, e inaugurato nel E composto da un podio di marmo a gradoni circolari, con un colonnato ancora circolare di ordine ionico, ed è sormontato da una cupola. Pope in questo modo intendeva rifarsi sia al Pantheon di Roma, sia alledificio della Rotunda, progettato dallo stesso Pope per lUniversità della Virginia, anchesso sul modello del Pantheon romano. Ledificio è situato nel West Potomac Park, sulle sponde del Tidal Bain, un invaso artificiale creato con le acque del fiume Potomac. Linterno racchide unenorme statua di bronzo di Thomas Jefferson, alta 5,8 metri.

3 OBIETTIVO : riprodurre il volume che costituisce il Thomas Jefferson Memorial e confrontarlo con il volume che costituisce il Pantheon di Roma, per evidenziare le effettive somiglianze e le differenze rispetto alledificio di Pope.

4 PROCEDIMENTO : COSTRUZIONE DEL VOLUME PER PEZZI La riproduzione delledificio è avvenuta mediante la scomposizione del volume in ELEMENTI BASE, che ci ha permesso di ricostruire passo dopo passo il monumento. Dopo la definizione di tutti i singoli elementi, tramite il comando Show abbiamo assemblato i vari pezzi, ottenendo in questo modo lintero edificio. cupola Copertura colonnato timpano Cilindro sala interna colonnato le 2 basi pianta circolare del colonnato le scale dingresso

5 Immaginando un percorso che parte dalle scale dingresso fino ad arrivare al colonnato circolare con la sua cupola, gli elementi-base che compongono ledificio sono i seguenti : 1)LE SCALE D INGRESSO 2) I DUE BLOCCHI LATERALI (che fiancheggiano le scale dingresso) 3) LE DUE BASI (quella circolare del colonnato – quella rettangolare dingresso) 4) LE VARIE PEDANE (pedana1 – pedana2 – pedana3) 5) LA PIANTA CIRCOLARE DEL COLONNATO

6 9) IL TIMPANO D INGRESSO 10) LA COPERTURA DEL COLONNATO (costituita da 6 cilindri, quindi 6 coperture sovrapposte, di diametro sempre più piccolo fino ad arrivare alla cupola) 11) LA CUPOLA 8) LENTRATA E LA SUA COPERTURA 7) IL CILINDRO DELLA SALA INTERNA 6) IL COLONNATO CIRCOLARE E LE COLONNE D ENTRATA

7 LE SCALE D INGRESSO Le scale dingresso sono state create utilizzando i comandi : -TABLE ( che prevede laggiunta di una variabile k) - CUBOID( che si disegna scrivendo le coordinate dei vertici opposti, in questa forma : Cuboid [{xmin, ymin,zmin}, {xmax, ymax, zmax}] ). scale = Show [ Table [ Graphics3D [{ White, Cuboid [{14.5,-7.8,1- k* },{14.5 +K*0.17, 7.8, 1-k* }] }, PlotRange -> {{-19,21}, {-20, 20}, {-1,20}} ], {k, 0, 9 }], Axes ->True scale2 = Show [ Table [ Graphics3D [{ White, Cuboid [{16.3,-9.8- k*0.17,0.038-K* },{17.3,K* 0.17, k*0.17, K* } ] }, PlotRange -> {{-19,21}, {-20, 20}, {-1,20}} ], {k, 0, 4 }], Axes ->True 1

8 I DUE BLOCCHI LATERALI Per i due blocchi laterali è stato usato solamente il comando CUBOID, variando per il blocco2 solamente la ymin e la ymax. blocco1 = Show [ Graphics3D [{White, Cuboid [ {16.03, 10.48, -0.5}, {14.5, 7.8, 1.6}] }, PlotRange -> {-20, 20}, {-20,20}, {-1,20}}], Axes -> True] blocco2 = Show [ Graphics3D [{White, Cuboid [ {16.03, , -0.5}, {14.5,- 7.8, 1.6}] }, PlotRange -> {-20, 20}, {-20,20}, {-1,20}}], Axes -> True] 2

9 LE DUE BASI (circolare e rettangolare) -La base circolare del colonnato è stata realizzata mediante il comandoCILINDER,che si scrive nella forma : Cylinder [ { x1,y1,z1}, {x2,y2,z2}, r ], dove r rappresenta il raggio del cilindro. base = Graphics3D [ { RGBcolor [1,1,1], Cylinder [{ [0,0,-0.5}, {0,0,1}}, 14] }, PlotRange -> {{-20,20}, {-20,20}, {-1,20} }, Axes-> True ] -La base rettangolare dingresso invece è stata realizzata mediante il comando CUBOID. base2 = Show [Graphics3D [White, Cuboid [{7, ,- 0.5}], {14.5, 10.48,1}] ], PlotRange -> {{-20,20}, {20,20}, {-1,20}}], Axes -> True ] 3

10 LE VARIE PEDANE -La prima pedana è stata realizzata mediante il comando CUBOID, facendo variare di poco zmin e zmax per ottenere unaltezza minima. pedana = Show [ Graphics3D [{White, Cuboid [{3, -3, }, {10, 3, 2.5}] }, PlotRange->{{-20, 20}, {- 20,20}, {0,20}}] ] -La pedana2 è stata realizzata mediante una Table ed il comando CUBOID, facendo variare il parametro k sulla y sulla z e sulla x per ottenere tanti gradini diversi sia in lunghezza sia in altezza,sia in larghezza(man mano che si sale più stretti). pedana2 = Show[ Table[ Graphics3D [{White, Cuboid[{7, -4- k*0.17, 2.5-k* – }, {10+k*0.17, 4+ k*0.17, 2.5- k* }]}, PlotRange-> {{-19,19},{-20,20},{0,20} }], {k,0,6}], Axes ->True] 4

11 LE VARIE PEDANE La pedana3 è stata realizzata sempre mediante una Table ed il comando CUBOID, facendo però variare k questa volta da 7 a 13. pedana3 = Show [ Table [ Graphics3D [ { White, Cuboid [ { 7,-4.3 – k*0.17, 2.5 – k* }, { k*0.17, k*0.17, 2.5 – k* }] }, PlotRange-> {{-19,19},{-20,20}, {0,20} }], {k,7,13} ],Axes->True]

12 LA PIANTA CIRCOLARE DEL COLONNATO La pianta del colonnato è circolare ed è costituita da tanti cilindri via via più piccoli sovrapposti luno allaltro. Per questo, per disegnarla sono stati usati : -una Table (con la variabile k presente solo sulla z, per ottenere le diverse altezze) -il comando Cylinder col raggio variabile a seconda di k. pianta = Show [ Table[ Graphics3D [ {RGBColor [1,1,1], Cylinder [{ {0,0, 1+k*0.3}, {0,0,1.3+k*0.3}}, 10- k/2] }, PlotRange-> {{-20,20}, {-20,20}, {0,20}}], {k,0,4} ] ] 5

13 IL COLONNATO CIRCOLARE E LE COLONNE D ENTRATA Sia per il colonnato circolare che per le colonne dentrata, i passaggi sono stati questi : -definizione della funzione cilindro, di parametri r (il raggio del cilindro), u (la coordinata della circonferenza) e v (laltezza del cilindro) e della forma : cilindro[ r_] [u_, v_] := {r* Cos[u], r*Sin[u], v} - visualizzazione del GRAFICO del cilindro, di raggio 0.2, con u che varia da 0 a 2Pi e v che varia da 1.5 a 4.5 ParametricPlot3D [cilindro[0.2] [u, v], { u, 0,2Pi}, {v,1.5, 4.5}, PlotRange -> {{-10,10}, {-10,10}, {0,10}} ] coordinate del punto generico del cilindro 6

14 IL COLONNATO CIRCOLARE E LE COLONNE D ENTRATA - definizione di colonne, ottenute con la funzione Table e con una traslazione di vettore {6.95, k, 0 }, con k che varia tra -2.5 e 2.5 : colonne = ParametricPlot3D [Table [cilindro[0.16] [u,v] + {6.95,k,0}, {k,-2.5,2.5}], {u,0,2Pi}, {v,1.5,4.5}, PlotRange ->{{-10,10}, {-10,10},{0,10}}, PlotStyle->{White}]

15 IL COLONNATO CIRCOLARE E LE COLONNE D ENTRATA A questo punto è stato realizzato il colonnato, utilizzando : -la funzione cilindro definita in precedenza -una traslazione : {Cos[a], Sin[a], } -la funzione Table, di parametro a (langolo di rotazione), che varia tra 7/36 Pi e 65/36 Pi, con passo pari a 1/18Pi colonnato = ParametricPlot3D [Table[cilindro[0.2] [u,v] +7.2{Cos[a], Sin[a], },{a, 7/36Pi, 65/36 Pi, 1/18 Pi}], {u,0,2Pi}, {v,0, 4.5}, PlotRange-> {{- 10,10}, {-10,10},{0, 20} }, PlotStyle ->{White} ]

16 IL COLONNATO CIRCOLARE E LE COLONNE D ENTRATA Infine sono state realizzate le colonne dentrata (colonne1 e colonne2), utilizzando: -la funzione cilindro(di parametri u e v) -la traslazione di vettore {9.5, k, 0} per colonne1 e di vettore {8.7,k,0} per colonne2 -la funzione Table, con il parametro k che varia tra -3.4 e 3.6, con passo pari a 0.95 colonne1 = ParametricPlot3D [Table [cilindro[0.2][u,v] + {9.5, k, 0}, {k, -3.4, 3.6, 0.95}],{u, 0,2Pi}, {v,2.5,7}, PlotRange -> {{-10,10}, {10, 10}, {{0,10} }, PlotStyle ->{White}] colonne2 = ParametricPlot3D [Table [cilindro[0.2][u,v] + {8.7, k, 0}, {k, -3.4, 3.6, 0.95}],{u, 0,2Pi}, {v,2.5,7}, PlotRange -> {{-10,10}, {10, 10}, {{0,10} }, PlotStyle ->{White}]

17 IL CILINDRO DELLA SALA INTERNA La sala interna ha la forma di un cilindro, per questo è stato usato semplicemente il comandoCylinder, con un raggio del cilindro pari a 5.5 sala interna = Graphics3D [RGBColor [1,1,1],Cylinder [{ {0,0,2.5}, {0,0,7}},5.5] }, PlotRange ->{ {-20, 20}, {-20,20}, {0,20} }, Axes ->True] 7

18 LENTRATA E LA SUA COPERTURA (copertura1 e copertura2) -Lentrata è un semplice parallelepipedo, quindi per disegnarla è stato usato il comando Cuboid entrata = Show [ Graphics3D [ { White, Cuboid [ {3.8, -3.5, 2.5}, {8, 3.5, 7 }] }, PlotRange -> { -20,20},{- 20,20}, {0,20} } ]] -Anche la sua copertura è un parallelepipedo, quindi si ricorre ancora al comando Cuboid, con un altezza però molto più piccola. Lo stesso procedimento è stato applicato anche per la copertura2, cambiando solo i parametri del comando Cuboid copertura1 = Show [ Graphics3D [ { White, Cuboid [ {6.2, -3.5, 7}, {9.7, 3.5, 8 }] }, PlotRange -> { -20,20},{-20,20}, {0,20} } ]] 8

19 IL TIMPANO D INGRESSO Il timpano dingresso è stato realizzato mediante il comando Polygon, che prevede di specificare le coordinate dei punti che definiscono le varie facce del poligono (nel nostro caso 3, essendo 2 facce inclinate ed una dritta). timpano = Show [ Graphics3D [White, { Polygon [ { {10.1, -3.9, 8.4}, {10.1, 0, 9.6}, {10.1, 3.9, 8.4}} ]}, {Polygon [ {{10.1, -3.9, 8.4}, {5, -3.9,8.4}, {5, 0, 9.6 }}] }, Polygon [{ {10.1, 3.9, 8.4}, {5, 3.9, 8.4}, {5, 0, 9.6}, {10.1, 0, 9.6}} ] }, PlotRange ->{{-19,21},{-20,20}, {-1, 20} }} ], Axes -> True ] 9

20 LA COPERTURA DEL COLONNATO La copertura del colonnato è formata da 6 cilindri sovrapposti, sempre più piccoli man mano che si sale in altezza, fino ad arrivare allultimo cilindro. Perciò per tutte e 6 le coperture sovrapposte è stato utilizzato il comando Cylinder, facendo variare di volta in volta i parametri, compreso il raggio. copertura2 = Graphics3D [{RGBColor [1,1,1], Cylinder [{ {0, 0, 7}, {0,0, 8}}, 7.4] }, PlotRange -> {{-20,20}, {- 20,20}, {0, 20} }, Axes -> True ] copertura3 = Graphics3D [{RGBColor [1,1,1], Cylinder [{ {0, 0, 8}, {0,0, 8.4}}, 7.8] }, PlotRange -> {{-20,20}, {-20,20}, {0, 20} }, Axes -> True ] 10

21 LA COPERTURA DEL COLONNATO copertura5 = Graphics3D [{RGBColor [1,1,1], Cylinder [{ {0, 0, 8.4}, {0,0, 8.8}}, 7.4] }, PlotRange -> {{-20,20}, {-20,20}, {0, 20} }, Axes -> True ] copertura6 = Graphics3D [{RGBColor [1,1,1], Cylinder [{ {0, 0, 8.8}, {0,0, 9.6}}, 5.6] }, PlotRange -> {{-20,20}, {-20,20}, {0, 20} }, Axes -> True ]

22 LA COPERTURA DEL COLONNATO copertura7 = Graphics3D [{RGBColor [1,1,1], Cylinder [{ {0, 0, 9.6}, {0,0, 10}}, 5] }, PlotRange -> {{-20,20}, {-20,20}, {0, 20} }, Axes -> True ] copertura8 = Show[Table [Graphics3D [{RGBColor [1,1,1], Cylinder [{ {0, 0, 10 + k*0.2}, {0,0, k*0.2}}, 5- k/3] }, PlotRange -> {{-20,20}, {-20,20}, {0, 20} } ],{k, 0, 3} ] ] Infine, dovendo visualizzare tutti i cilindri sovrapposti luno sullaltro, è stato utilizzato il comando Table nella copertura8, facendo variare la z ed il raggio del cilindro rispetto al parametro k.

23 LA CUPOLA cupola= ParametricPlot3D [ {u 4.7 Cos[v], u 4.7 Sin[v], 3.9 u^3 } + { 0, 0,12.7}, {u, -0.8, 0}, {v, 0,2Pi}, PlotRange -> { {-20,20}, {-20, 20}, {0, 20} }, PlotStyle -> { White} ] 11 Per la cupola siamo partiti da una funzione cubica che gira intorno ad un asse, con il parametro u (che sta ad indicare di quanto si deve allargare la curva man mano che scende), ed una traslazione in altezza: +{0, 0,12.7}.

24 Infine, abbiamo ottenuto lintero edificio col comando Show, visualizzando insieme tutti gli elementi-base che compongono il nostro volume.

25 Per le colonne, il colonnato e la cupola abbiamo aggiunto lopzioneMesh -> None per visualizzare le superfici lisce ( cioè senza linee di costruzione). colonne1 = ParametricPlot3D [Table [cilindro[0.2][u,v] + {9.5, k, 0}, {k, -3.4, 3.6, 0.95}],{u, 0,2Pi}, {v,2.5,7}, PlotRange -> {{-10,10}, {10, 10}, {{0,10} }, PlotStyle - >{White}, Mesh -> None] colonnato = ParametricPlot3D [Table[cilindro[0.2] [u,v] +7.2{Cos[a], Sin[a], },{a, 7/36Pi, 65/36 Pi, 1/18 Pi}], {u,0,2Pi}, {v,0, 4.5}, PlotRange-> {{-10,10}, {- 10,10},{0, 20} }, PlotStyle - >{White}, Mesh-> None ] cupola= ParametricPlot3D [ {u 4.7 Cos[v], u 4.7 Sin[v], 3.9 u^3 } + { 0, 0,12.7}, {u, -0.8, 0}, {v, 0,2Pi}, PlotRange -> { {-20,20}, {- 20, 20}, {0, 20} }, PlotStyle - > { White}, Mesh-> None ]

26 In questo modo abbiamo ottenuto un aspetto diverso del volume finale.

27 CONFRONTO COL PANTHEON Per il Pantheon il procedimento è stato lo stesso per tutti i singoli elementi che costituiscono il volume. Le principali differenze stanno : -nella mancanza delle colonne tutto intorno al cilindro della sala interna -nella cupola e nel timpano, molto più schiacciati ( soprattutto la cupola,perché i fattori che moltiplicano le variabili sono molto più grandi ( 27.8 e 16 rispetto a 4.7 e 3.9) cupola = ParametricPlot3D [ {u 27.8 Cos[v], u 27.8 Sin[v], 16 u^3 + {-10, 0, 48}, {u, - 0.8, 0}, {v, 0, 2Pi}, PlotRange ->{{-70, 70}, {-50,50}, {0,60} }, PlotStyle-> {White}, Mesh-> None ] -rapporto fattori Jefferson : 1,2 (cupola molto meno schiacciata) -rapporto fattori Pantheon : 1,73 (cupola molto più schiacciata)

28 CONFRONTO COL PANTHEON Il volume finale del Pantheon è questo:

29 Infine, per visualizzare entrambi i volumi senza asse di riferimento è stato usato il comando : Boxed -> False.

30 BIBLIOGRAFIA -Bedford, Steven McLeod, John Russell Pope: Architect of Empire, Rizzoli International Publications, New York, Goode, James M. The Outdoor Sculpture of Washington D.C., Smithsonian Institute Press, Washington D.C., http://it.wikipedia.org/wiki/Jefferson_Memorial -http://sketchup.google.com


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