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3. Il funzionamento di una stella tipo: il Sole. Il Sole Partendo dalle quantità osservabili disponibili: Distanza Terra-Sole: Flusso misurato sulla Terra.

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Presentazione sul tema: "3. Il funzionamento di una stella tipo: il Sole. Il Sole Partendo dalle quantità osservabili disponibili: Distanza Terra-Sole: Flusso misurato sulla Terra."— Transcript della presentazione:

1 3. Il funzionamento di una stella tipo: il Sole

2 Il Sole Partendo dalle quantità osservabili disponibili: Distanza Terra-Sole: Flusso misurato sulla Terra Morfologia, spettro E dalle stime di alcuni parametri disponibili: Età (reperti geologici sulla Terra) ricaveremo: Luminosità L, Raggio R, T e, Massa M, Pressione P c, Temperatura T c E dedurremo: Che la riserva di energia è lenergia termonucleare, e capiremo che cosa mantiene le reazioni nucleari controllate, prevenendo cioè una reazione esplosiva.

3 Il flusso di energia solare sulla terra, cioè la quantità di energia solare che incide, al di fuori dellatmosfera perpendicolarmente su una unità di area, per unità di tempo, è chiamata costante solare, e vale: f = 1.36 x 10 6 erg sec -1 cm -2 La Terra dista dal Sole 1 Unità Astronomica (AU): r = 1 AU = 1.5 x cm Quindi la Luminosità del Sole L vale: L = 3.90 x erg sec -1 Come abbiamo fatto questo conto: f = energia per unità di area per unità di tempo r = distanza Terra-Sole S = superficie totale di una sfera di raggio r L = f x S = (1.36 x 10 6 ) x 4 (1.5 x ) 2 r S = 4 r 2 Luminosità del Sole

4 Calcoliamo il raggio R del Sole La dimensione angolare del Sole visto dalla terra è 32 arcmin. Alla distanza r di 1AU = cm, questo implica R cm r

5 Dati L e il raggio R, ricaviamo la Temperatura effettiva T e attesa Intensità specifica della radiazione emessa da un corpo nero alla temperatura T secondo legge di radiazione di Planck: B (T) = (2 h c 2 / 5 ) / (e hc/ kT - 1 ) Legge di Stefan-Boltzman per il flusso superficiale: f = T e 4 (erg cm -2 s -1 ) Allora possamo scrivere: f x S ( superficie del Sole) = L La superficie del Sole è S = 4 R 2 e abbiamo calcolato che il raggio del Sole è: R cm T e 4 x 4 R 2 = L T e = (L / 4 R 2 ) 1/4 = °K Temperatura effettiva Temperatura superficiale che il Sole avrebbe se fosse un vero corpo nero che irradia la luminosità effettivamente osservata (diversa da T m interna)

6 Possiamo verificare il valore di temperatura ricavato T=5 800 °K paragonando lo spettro della luce solare con quello teorico di un corpo nero a questa temperarura Notiamo che: Picco di emissione nella banda ottica, intorno al giallo Ok Buon matching delle curve dallIR allUV Ci sono tuttavia delle discrepanze. E ci sono bande di assorbimento Questi fatti suggeriscono che il Sole non è un corpo nero perfetto e quindi gli strati superficiali non sono in perfetto equilibrio con il campo di radiazione. La temperatura stimata caratterizza quindi solo gli strati superficiali.

7 Se la temperatura del Sole non è uniforme, allinterno cè più caldo o più freddo ? Perché il bordo del Sole appare meno luminoso ? Filtro Bassa Temperatura Alta Temperatura Un fatto: Il bordo del Sole appare meno luminoso Cè un flusso di energia che esce dal Sole. In base a semplici considerazioni termodinamiche, il calore fluisce da regioni calde a regioni fredde. Ci aspettiamo quindi che il sole sia più caldo al suo interno r r Dato un certo cammino ottico r, guardando il centro del Sole losservazione si addentra in regioni più calde rispetto a quando si guard lungo il bordo. Questa è una evidenza sperimentale che il Sole deve essere più caldo negli strati interni

8 Un altro fatto: Lo spettro del Sole presenta righe di assorbimento + + E anche questa una conseguenza del fatto che il Sole al suo interno è più caldo ?

9 Implicazioni della presenza di righe di assorbimento nello spettro del Sole. In effetti, assumendo che linterno del Sole si trovi a una temperatuta superiore a quella degli strati esterni, le righe di assorbimento sono una naturale conseguenza. Superficie del Sole T alta T bassa direzione dei fotoni Flusso medio di fotoni dalle regioni più calde a quelle più fredde. Energia E1E1 E2E2 Un atomo può assorbire un fotone di frequenza opportuna = (E 2 –E 1 )/h La deeccitazione collisionale: v prevale sulla eccitazione collisionale: Infatti: T bassa pochi urti rispetto al nr di fotoni proventienti dallinterno a T alta Ma la deeccitazione radiativa: + + non può bilanciare lassorbimento: la maggior parte dei fotoni verrà ri-emessa in altre direzioni. (Per esempio, NON ci saranno fotoni che entrano dal freddo Universo nel Sole). Negli strati esterni prevale un fenomeno netto di assorbimento.

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11 E quindi ragionevole assumere che allinterno del Sole ci sia una temperatura T >> 6000 °K Come possiamo ragionare per individuare quale è la riserva primaria di energia nel Sole ? 1.Analisi geologiche basate sulla osservazione di decadimenti radioattivi, indicano una età della terra Terra > 3.8 x 10 9 anni 2. Il Sole ha una luminosità L = 3.9 x erg s -1 3.Per ottenere un tempo di vita del Sole >> 3.8 x 10 9 anni = 1.2 x s dobbiamo invocare una riserva di energia E tot >> L x 5 x erg

12 Una riserva di energia che è stata storicamente presa in considerazione è lenergia gravitazionale. Una sfera di gas autogravitante tende a comprimersi per sua stessa gravità Comprimendosi aumentano e la pressione e la temperatura negli strati più interni Lagitazione termica rallenta il collasso gravitazionale (argomento di Kelvin- Helmholtz). Lentamente la sfera perde energia sottoforma di radiazione Perdendo energia la sfera è forzata a contrarsi ulteriormente. Può lenergia gravitazionale essere la riserva totale richiesta E tot ?

13 Ci serve un dato essenziale: la massa del Sole M la ricaveremo eguagliando forza centripeta F=ma (a=v 2 /r) e forza gravitazionale: m v 2 /r = G m M / r 2 M = rv 2 /G r = 1 A.U. = 1.5 x cm v = 2 r / P con P = 3.16 x 10 7 sec (1 anno) v = 2.98 x 10 6 cm/sec da cui risulta: M = rv 2 /G = 2 x gm r m M

14 Facciamo una stima della riserva di energia gravitazionale nel Sole. Lenergia gravitazionale E grav di una sfera di massa M e raggio R dipende dalla distribuzione di massa allinterno della sfera, ma è comunque dellordine di E grav = G M 2 / R nel caso del Sole (M = 1.99 x gm R = 6.96 x cm) si ha: E grav = G M 2 / R = 3.8 x erg (G=6.67 x ) NON è sufficiente! Con questa riserva di energia, il Sole durerebbe soltanto un tempo = E grav / L = (3.8 x ) / (3.9 x ) s 30 x 10 6 anni Per capire quale è la vera riserva di energia del Sole dobbiamo capire quale è la sua composizione interna. Come possiamo ragionare ?

15 Purtroppo gli strati esterni del Sole che possono essere studiati nella loro composizione, grazie allosservazione di righe dassorbimento, corrispondono solo allo 0.1% del raggio del Sole (fotosfera). Ma a noi serve capire quali sono le condizioni fisiche del Sole negli strati più interni

16 Proviamo a calcolare la densità del Sole: Conosciamo la massa: M = 2 x g Conosciamo il raggio R = 6.96 x cm (4/3) R 3 = 1.41 x cm 3 La densità media è: (M / (4/3) R 3 ) = 2 / 1.41 = 1.4 g cm -3 In media il Sole è poco più denso dellacqua. Ma di che materiale è fatto ? (In effetti un calcolo preciso indica che allinterno la densità è circa 100 volte più alta) Per rispondere a questa domanda, vediamo di stimare la pressione P e la temperatura T allinterno, e verifichiamo se ci non le condizioni di sopravvivenza di atomi e molecole.

17 Stima della pressione P Prima considerazione: il Sole non sembra contrarsi né espandersi. Per rimanere statico dal punto di vista meccanico occorre che tutte le forze interne siano in equilibrio. Consideriamo una quantità di massa per unità di area contenuta in una colonna di altezza r = (R - r). Il campo gravitazionale medio g sentito da questa colonna sarà: g = f x G M / R 2 (dove f tiene conto che r < R ) La quantità di massa per unità di area disponibile è dellordine di: M / 4 R 2 Quindi la quantità di massa per unità di area nella colonna sarà: = fx M / 4 R 2 (dove f tiene conto che r < R ) Quindi la pressione centrale P sarà data da: P = g (M / R 2 ) (G M / R 2 ) = G M 2 / R 4 P = 19 x (G M 2 / R 4 ) Formula esatta 2.1 x gm cm -1 sec -2 (dyne cm -2 ) 10 9 atmosfere!

18 m p = 1.67 x gm m e = 9.11 x gm r 1 = (h/2 ) 2 /m e e 2 h = 6.63 x erg s e = 4.80 x e.s.u. r 1 = 5.3 x cm + Consideriamo lelemento più semplice, lidrogeno neutro nel suo stato fondamentale, e consideriamo un cubetto di dimensioni pari al doppio del raggio di Bohr r 1 della prima orbita: 2 r 1 La densità media di materia in questo cubetto sarà (m p + m e )/(2r 1 ) 3 m p /(2r 1 ) 3 = (1.67 x ) / (1.19 x ) = 1.4 gm cm -3 Questo è il valore di densità media allinterno del Sole che avevamo calcolato prima ! Questo che suggerisce che il Sole sia costituito da un fluido di Idrogeno atomico impacchettato a una densità media di un (atomo)/(volume di un atomo).

19 Ma avevamo anche ricavato, in base ad altre considerazioni, che allinterno del Sole deve esistere una pressione enorme dovuta al peso: P = 19 x (G M 2 / R 4 ) = 2.1 x gm cm -1 sec -2 (dyne cm -2 ) (pari a circa 10 9 atmosfere !!) Ma quale meccanismo bilancia questa pressione ? In un fluido di Idrogeno atomico, sebbene compresso e impacchettato a una densità media pari a un (atomo)/(volume di un atomo), gli atomi possono in linea di principio scorrere tranquillamente luno sullaltro senza necessariamente esercitare alcuna pressione. E proprio così ? o dobbiamo invocare una sorta di pressione da fluido incompressibile per bilanciare il peso della materia sovrastante ? E se la risposta è che NON è sufficiente, quale è la causa fisica di pressione interna così elevata da bilanciare la pressione dovuta al peso ?

20 Fluido incompressibile ? Possiamo trovare la risposta facendo la seguente considerazione: P = 19 x (G M 2 / R 4 ) = 2.1 x gm cm -1 sec -2 (dyne cm -2 ) Se Idrogeno alla stato atomico neutro esiste allinterno del Sole, P è la forza per unità di area esercitata sulla shell dellorbitale atomico dalla pressione interna. + 2 r 1 P=2.1 x dyne cm -2 + F = e 2 /r 1 2 (forza di legame) 2 r 1 P = e 2 /4r 1 4 = 7.2 x dyne cm -2 (Forza per unità di area = pressione equivalente) Dobbiamo chiederci: siamo sicuri che, sottoposto a questa forza, il legame elettronico non si rompa e che quindi lIdrogeno possa non sopravvivere nello stato atomico ?

21 Quindi, la materia allinterno del Sole deve essere costituita da un fluido di nuclei di Idrogeno (protoni) ed da elettroni liberi. Il fluido è elettricamente neutro. Questo stato della materia si chiama plasma. Nel Sole, la distanza media (r 1 5 x cm) delle particelle del plasma, alla densità media che abbiamo calcolato (1.4 gm cm -3 ), è elevata rispetto alle dimensioni delle particelle stesse (nucleo cm). In altre parole, il plasma allinterno del Sole si comporta come un gas perfetto Ed è studiando le proprietà di questo gas perfetto che potremo capire quale è la sorgente di energia che genera lenorme pressione interna del Sole.

22 Sfruttando le nostre conoscenze sui gas perfetti, proviamo adesso a calcolare la temperatura allinterno del Sole. In un gas perfetto, la pressione è associata alla agitazione termica delle particelle che lo compongono. In particolare, dato un numero n di particelle per unità di volume di una data specie, la legge dei gas perfetti dice che a una data temperatura T queste particelle contribuiscono alla pressione totale con un termine dato da: P = n k T Quanto vale n allinterno del Sole ? Con una densità centrale c 100x1.4 gm cm -3 (dovuta principalmente a protoni) si ha n = c / m p cm -3 Dato il valore di pressione ricavato in precedenza, P 2.x dyne cm -2 si ha: T = P /nk 1.5 x 10 7 °K (k = 1.38 x erg °K -1 ) 15 milioni di gradi Kelvin !! (da paragonare ai 6000 °K della temperatura di corpo nero degli strati superficiali)

23 Avere ricavato questo valore T = 15 x 10 6 °K per la temperatura allinterno del Sole, ci dice immediatamente quale è la fonte di energia interna: Fusione nucleare Lelevata energia termica consente ai protoni di superare la barriera Coulombiana (repulsiva) e di portarsi a distanze così piccole ( cm) da sentire leffetto (attrattivo) della interazione nucleare forte (che agisce appunto a corto range).

24 energia r potenziale nucleare (attrattivo) Potenziale Coulombiano repulsivo ½ m v 2 barriera classica energia r Agitazione termica: Distribuzione di probabilità di v : exp(-mv 2 /2kT) (Maxwelliana) Effetto tunnel

25 Quindi lidea è che, una volta superata la barriera Coulombiana (grazie alla forte agitazione termica dovuta alla elevata temperatura T), i nuclei di Idrogeno possano avvicinarsi fino a distanze ( cm) tali da sentire la forza di legame dovuta allinterazione nucleare forte. Delle 4 Forze Fondamentali della Natura, linterazione nucleare forte è quella che tiene insieme le particelle che costituiscono un dato nucleo atomico. Senza linterazione nucleare forte……. He X

26 Nucleo di He stabile In questa sede non entriamo nel dettaglio del fenomeno fisico per cui da 4 protoni si possono ottenere 2 protoni e 2 neutroni, ma ci limitiamo a riflettere sul fatto che il fatto di essere cadute nella buca di potenziale dellinterazione forte lega le 4 particelle.

27 Quando una particella invece viene intrappolata nella buca di potenziale di una forza attrattiva, la sua energia totale diminuisce (lenergia di legame è negativa e infatti, in un sistema legato, dobbiamo supplire energia per rompere il legame) E0E0 E0E0 E Quando una particella interagisce con un potenziale dovuto a una forza repulsiva, la sua energia totale NON cambia, ma cè solo uno scambio fra energia potenziale ed energia cinetica. Quindi lenergia totale di un nucleo di He a riposo è inferiore alla energia a riposo delle particelle che lo compongono e poiché E = mc 2, il nucleo di He presenta un difetto di massa rispetto alla massa totale delle particelle che lo compongono. Quindi, nel fondere 4 nuclei di H per formare un nucleo di He (4H He) si libera una quantità di energia pari al difetto di massa

28 La fusione nucleare nel Sole In questa sede non entreremo nei dettagli del fenomeno di fusione nucleare 4H He fenomeno che certamente è più complesso di quanto abbiamo esemplificato invocando semplicemente linterazione nucleare forte. (Per esempio, si rifletta sul fatto che in questa reazione, da 4 protoni otteniamo 1 nucleo composto da 2 protoni e 2 neutroni, cosa che richiede lintervento di unaltra delle quattro forze fondamentali, linterazione nucleare debole) Vediamo invece di stimare le implicazioni energetiche: In questa reazione nucleare si ottiene un nucleo (il nucleo di He) di massa m = 3.97 x m p A questo difetto di massa: m = 4 x m p – 3.97 x m p corrisponde una liberazione di energia: E = m c 2 = 0.03 m p c 2 per ogni 4 nuclei di H fusi in He

29 Assumiamo una composizione iniziale del Sole prevalentemente di H, per esempio per il 70% della massa totale. Otteniamo un numero totale di nuclei di H (protoni) disponibile pari a: N = 0.7 x M / m p = 0.7 x (2 x )/(1.67 x ) 8 x Se ogni 4 nuclei di H possiamo ottenere 1 nucleo di He, questo corrisponde a una riserva totale teorica di energia pari a: E tot = (N/4) x 0.03 m p c 2 = 9 x erg Considerato che la luminosità del Sole è pari a: L = 3.9 x erg s -1 si ottiene un tempo di vita dellordine di: = T tot / L 2 x s 7 x anni Con un calcolo più accurato, tenendo conto che solo nel nucleo centrale (pari a circa il 13% di H disponibile) ci sono le condizioni di temperatura e pressione per linnesco della reazione nucleare 4H He, si ottiene: 13% x 7 x = 9 x 10 9 anni E questa infatti è stima attuale del tempo totale di vita di una stella di 1 M

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