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Federico Bizzarri Dipartimento di Elettronica e Informazione, Politecnico di Milano P.za Leonardo da Vinci 32, I-20133 Milano, Italy

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Presentazione sul tema: "Federico Bizzarri Dipartimento di Elettronica e Informazione, Politecnico di Milano P.za Leonardo da Vinci 32, I-20133 Milano, Italy"— Transcript della presentazione:

1 Federico Bizzarri Dipartimento di Elettronica e Informazione, Politecnico di Milano P.za Leonardo da Vinci 32, I Milano, Italy Cesena, 21 novembre 2012 Analisi numerica di circuiti analogico/digitali: determinazione della soluzione di regime e degli effetti dovuti al rumore

2 Cesena, 21 novembre 2012 Analisi numerica di circuiti analogico/digitali: determinazione della soluzione di regime e degli effetti dovuti al rumore

3 Cesena, 21 novembre A chi serve? – A chi ha a che fare con lanalisi o la sintesi (con la progettazione) di circuiti elettrici/elettronici che, a regime, presentano un comportamento periodico. A cosa serve? – Ad estendere a questi tipi di circuiti analisi che si basano sulla risoluzione del problema variazionale che descrive il sistema linearizzato attorno alla sua traiettoria (di regime) nello spazio di stato (matrice di transizione o matrice fondamentale o matrice di sensibilità rispetto alle condizioni iniziali). Quando serve? – Quando i circuiti in esame sono descritti da modelli che presentano discontinuità delle variabili elettriche o delle loro derivate. Analisi numerica di circuiti analogico/digitali: determinazione della soluzione di regime e degli effetti dovuti al rumore

4 Cesena, 21 novembre A cosa serve? – Ad estendere a questi tipi di circuiti analisi che si basano sulla risoluzione dellequazione variazionale che descrive il sistema linearizzato attorno alla sua traiettoria nello spazio di stato (matrice di transizione o matrice fondamentale o matrice di sensibilità rispetto alle condizioni iniziali). Metodi di shooting per il calcolo veloce della soluzione di regime Analisi di stabilità (moltiplicatori di Floquet) Analisi del rumore in oscillatori Funzioni di trasferimento tempo varianti … Quando serve? – Quando i circuiti in esame sono descritti da modelli che presentano discontinuità delle variabili elettriche o delle loro derivate. Un circuito analogico con interruttori Un circuito misto analogico-digitale Un circuito in parte descritto con un linguaggio behavioural Un circuito per cui la ALU del calcolatore che lo simula non è in grado di seguirne variazioni molto rapide … Analisi numerica di circuiti analogico/digitali: determinazione della soluzione di regime e degli effetti dovuti al rumore

5 Cesena, 21 novembre 2012 Sommario (cenni delle cose che serve sapere e che si usano abitualmente quando si lavora con circuiti analogici descritti da campi vettoriali smooth che ammettono una soluzione di regime periodica) Modified Nodal Analysis Analisi Steady State (matrice di sensibilità rispetto alle condizioni iniziali) Analisi di piccolo segnale periodica Teoria di Floquet Stabilità Rumore (di fase e rumore di ampiezza) negli oscillatori

6 Cesena, 21 novembre 2012 Sommario estensione ai circuiti misti analogico/digitali Sistemi dinamici ibridi (un cenno) Saltation matrix Derivazione nel caso switching Formulazione generale Un esempio semplice di applicazione Un esempio più complesso (Type-II 3-state PFD PLL) Il simulatore circuitale PAN

7 Cesena, 21 novembre 2012 Modified Nodal Analysis Analisi Steady State (matrice di sensibilità rispetto alle condizioni iniziali) Analisi di piccolo segnale periodica Teoria di Floquet Stabilità Rumore (di fase e rumore di ampiezza) negli oscillatori Sommario (cenni delle cose che serve sapere e che si usano abitualmente quando si lavora con circuiti analogici descritti da campi vettoriali smooth che ammettono una soluzione di regime periodica)

8 Cesena, 21 novembre 2012 Modified nodal analysis (MNA) 1.L'analisi nodale modificata permette, dato un circuito (non patologico) in generale dinamico descritto mediante equazioni topologiche (le leggi di Kirchhoff per le tensioni e le correnti) e le equazioni costitutive dei componenti che lo compongono, di formulare un modello in grado di descriverne il comportamento. 3.Il modello che lMNA fornisce per le reti dinamiche (in generale non lineari) è un insieme di equazioni algebriche e differenziali che costituiscono una DAE (differential algebraic equation). Si riduce ad un sistema di sole equazioni algebriche per le reti adinamiche (resistive). 2.Le incognite del modello fornito dallMNA sono i potenziali di nodo del circuito (espressi rispetto a un nodo di riferimento) e le correnti di lato di tutti quei componenti che non sono controllabili in tensione. 4.LMNA è fondamentale per poter descrivere in modo sistematico un circuito e analizzarne il comportamento mediante un simulatore.

9 Cesena, 21 novembre 2012 Modified nodal analysis (MNA) KCL KVL Nodo di riferimento KCL

10 Cesena, 21 novembre 2012 Modified nodal analysis (MNA)

11 Cesena, 21 novembre 2012 Modified nodal analysis (MNA) Il modello che lMNA fornisce è (in generale) un insieme di equazioni algebriche e differenziali che costituiscono una DAE (differential algebraic equation) ma … ci limiteremo al caso in cui esso sia semplicemente una ODE (ordinary differential equation). Questa ipotesi non fa perdere generalità agli argomenti che vedremo per due ragioni: 1.Sarebbe possibile ma più complicato lavorare direttamente su una DAE 2.Se si trascurano connessioni patologiche*, esiste sempre una opportuna trasformazione che utilizza trasferitori ideali di potenza e permette di ottenere, a partire dal circuito di partenza, un circuito identico ma modellabile mediante una ODE. * Maglie di soli induttori e generatori di tensione e tagli di soli condensatori e generatori di corrente

12 Cesena, 21 novembre 2012 Modified nodal analysis (MNA) In generale si prevede di aver a che fare con legami del tipo carica-tensione e flusso-corrente di tipo non lineare. In questo caso, come nel nostro esempio, condensatori e induttori sono lineari.

13 Cesena, 21 novembre 2012 Modified Nodal Analysis Analisi Steady State (matrice di sensibilità rispetto alle condizioni iniziali) Analisi di piccolo segnale periodica Teoria di Floquet Stabilità Rumore (di fase e rumore di ampiezza) negli oscillatori Sommario (cenni delle cose che serve sapere e che si usano abitualmente quando si lavora con circuiti analogici descritti da campi vettoriali smooth che ammettono una soluzione di regime periodica)

14 Analisi Steady-State (Shooting) L'analisi e la progettazione di circuiti elettronici, che prevedono a regime un funzionamento di tipo periodico, si avvalgono di metodi di simulazione numerici di tipo "steady-state. CIRCUITO ELETTRONICO SMOOTH In modo efficiente, cioè non si vuole fare una lunga simulazione del transitorio e poi ricavare la soluzione di regime ma si cerca direttamente la soluzione di regime! Cesena, 21 novembre 2012 Non è un capriccio: se progettiamo ad esempio un oscillatore ad alto Q, la simulazione della convergenza allorbita di regime può impiegare ore ed ore di simulazione!

15 Cesena, 21 novembre 2012 Ad esempio … Shooting (T= s)Analisi in transitorio (Oscillatore di Van der Pol)

16 Cesena, 21 novembre 2012 Come ottenere in modo efficiente la soluzione di regime? Assumiamo che il circuito sia autonomo e normalizziamo il tempo t rispetto al periodo incognito T ( = t/T) Il sistema diventa periodico di periodo 1. Sia la funzione di transizione di stato da 0 a. Impostiamo il problema trovare la soluzione periodica di regime come un problema al contorno cioè un Boundary Value Problem (BVP) Idea: posso provare a capire di quanto cambiare la condizione iniziale e il periodo affinché lorbita si chiuda? Dovrei capire quanto il punto finale è sensibile rispetto al punto iniziale e al periodo …

17 Cesena, 21 novembre 2012 Come ottenere in modo efficiente la soluzione di regime? Sia una opportuna condizione di fase che garantisce lunicità della soluzione del Boundary Value Problem (BVP) … è unequazione algebrica non lineare che dipende da … che riscriviamo come … … purtroppo il problema così definito ammette infinite soluzioni … … che scivolano in fase! Trovare la condizione iniziale e il periodo tali da far chiudere lorbita …

18 Cesena, 21 novembre 2012 Questo BVP che dipende da N 1 incognite è un sistema di N 1 equazioni algebriche non lineari che può essere risolto numericamente, ad esempio, con il metodo di Newton. Come ottenere in modo efficiente la soluzione di regime?

19 Cesena, 21 novembre 2012

20 Alla quarta iterazione: Alla decima iterazione: Allundicesima iterazione:

21 Come ottenere in modo efficiente la soluzione di regime? La La soluzione corrente è adeguata? END La SI La NO Sensibilità della traiettoria rispetto alle condizioni iniziali Cesena, 21 novembre 2012

22 22 Come ottenere in modo efficiente la soluzione di regime? Problema Linearizzato Sistema di ODE lineari e tempovarianti

23 Cesena, 21 novembre Se la matrice Jacobiana J f di f esiste allora il problema linearizzato può essere risolto in parallelo al problema non lineare originale e permette di calcolare la sensibilità della soluzione rispetto alle condizioni iniziali. Come ottenere in modo efficiente la soluzione di regime? … una volta trovata la soluzione periodica di regime …

24 Il sistema variazionale Operativamente la soluzione del sistema ODE e la matrice di sensibilità rispetto alle condizioni si ricavano in parallelo risolvendo un problema di tipo Forward Sensitivity Analysis (FSA) Se x s (t) è soluzione allora è possibile calcolare leffetto x s (t) sulla soluzione di una perturbazione x 0 delle condizioni iniziali come x s (t) = ( t, t 0 ) x 0 (t 0 ) Cesena, 21 novembre 2012

25 25 Matrice sensibilità rispetto alle condizioni iniziali - Proprietà - Proprietà di composizioneProprietà di mapping Cesena, 21 novembre 2012

26 Modified Nodal Analysis Analisi Steady State (matrice di sensibilità rispetto alle condizioni iniziali) Analisi di piccolo segnale periodica Teoria di Floquet Stabilità Rumore (di fase e rumore di ampiezza) negli oscillatori Sommario (cenni delle cose che serve sapere e che si usano abitualmente quando si lavora con circuiti analogici descritti da campi vettoriali smooth che ammettono una soluzione di regime periodica)

27 Cesena, 21 novembre 2012 Analisi del sistema linearizzato attorno allorbita di regime Una volta determinata lorbita di regime, è possibile utilizzare la linearizzazione del sistema originale attorno ad essa per determinare gli effetti dovuti a piccoli segnali periodici che la perturbino (periodic small signal analysis - PAC). ipotesi

28 Sistema di equazioni differenziali lineari tempo- varianti periodico del primo ordine (LTVP). Se e u(t) sono continue nellintervallo di definizione di t allora il problema ammette una sola soluzione. Lintegrale generale (linsieme di tutte le soluzioni k ) del sistema omogeneo associato al problema LTV è un sottospazio di dimensione N. Matrice fondamentale … … dal Teorema Liouville. Analisi del sistema linearizzato attorno allorbita di regime Cesena, 21 novembre 2012 È ancora una ancora matrice fondamentale.

29 Ammette unica soluzione Ammette unica soluzione (Formula di Lagrange) Matrice risolvente canonica o matrice di transizione Analisi del sistema linearizzato attorno allorbita di regime Cesena, 21 novembre 2012

30 Il calcolo della matrice di transizione risulta quindi fondamentale perché … … assumendo un ingresso periodico di piccolo segnale … … è lunico elemento che serve per calcolare come si riflette sullo stato del sistema … Analisi del sistema linearizzato attorno allorbita di regime Cesena, 21 novembre 2012

31 Vediamo un esempio con loscillatore di Van der Pol … Analisi del sistema linearizzato attorno allorbita di regime Cesena, 21 novembre 2012 (Attenzione: nello spazio di stato la traiettoria si interseca perché il sistema perturbato è non autononomo)

32 Analisi del sistema linearizzato attorno allorbita di regime Cesena, 21 novembre 2012 Traiettoria di grande segnale visualizzata su 3 periodi del sistema non perturbato ovvero 11 periodi della perturbazione. Traiettoria di piccolo segnale visualizzata su 3 periodi del sistema non perturbato ovvero 11 periodi della perturbazione.

33 Analisi del sistema linearizzato attorno allorbita di regime Cesena, 21 novembre 2012 Lo spettro del piccolo segnale presenta armoniche sottomultiple della fondamentale di grande segnale dato che la sua fondamentale è 1/3 di questultima.

34 Analisi del sistema linearizzato attorno allorbita di regime Cesena, 21 novembre 2012 In questo caso lo spettro del piccolo segnale ha la stessa fondamentale del grande segnale.

35 Cesena, 21 novembre 2012 Singole frequenze diverse in ingresso generano spettri diversi in uscita. Singole frequenze diverse in ingresso possono dare contributi su frequenze identiche in uscita.

36 Cesena, 21 novembre 2012 Cosa si può fare con la periodic small signal analysis 1.Stabilisco dove inserire una sorgente di piccolo segnale (come termine additivo di una delle ODE che descrivono il sistema) Calcolo leffetto di piccolo segnale di questa sorgente su tutte le variabili di stato che mi interessano ottenendo uno spettro opportuno per ciascuna di esse. Si stabilisce così una relazione tra una singola frequenza in ingresso e uno spettro in uscita. 2.Stabilisco dove inserire una sorgente di piccolo segnale (come termine additivo di una delle ODE che descrivono il sistema) Faccio una scansione per tanti valori della frequenza della sorgente in ingresso e per ciascun valore (come al punto 1.) ottengo uno spettro. Fisso un valore di riferimento in frequenza, identico per ciascuno spettro in uscita, e calcolo il valore dello spettro a quella frequenza. Costruisco un grafico e metto in ascissa le frequenze su cui ho eseguito la scansione in ingresso e in ordinata il valore estratto da ogni spettro alla medesima frequenza fissata. 3.Fisso un insieme di frequenze possibili in ingresso e un insieme di frequenze in uscita. Per ciascuna frequenza in uscita calcolo il contributo (se esiste) di ciascuna delle frequenze in ingresso. Costruisco un grafico e metto in ascissa le frequenze scelte in uscita e in ordinata i contributi ottenuti. In questo modo posso valutare, in una banda di interesse, leffetto di un rumore per sovrapposizione degli effetti in frequenza.

37 Cesena, 21 novembre 2012 Sommario (cenni delle cose che serve sapere e che si usano abitualmente quando si lavora con circuiti analogici descritti da campi vettoriali smooth che ammettono una soluzione di regime periodica) Modified Nodal Analysis Analisi Steady State (matrice di sensibilità rispetto alle condizioni iniziali) Analisi di piccolo segnale periodica Teoria di Floquet Stabilità Rumore (di fase e rumore di ampiezza) negli oscillatori

38 38 Matrice di transizione - Proprietà per sistemi lineari tempo varianti periodici - Cesena, 21 novembre 2012 Matrice di Monodromia Assumiamo che Esponenti di Floquet (per ipotesi N distinti) Moltiplicatori di Floquet Decomposizione Floquet (1883)

39 39 Matrice di transizione - Proprietà per sistemi lineari tempo varianti periodici - Cesena, 21 novembre 2012 è matrice fondamentale … Poiché la soluzione del sistema di equazioni lineari tempo varianti (periodico) è esprimibile come combinazione lineare delle colonne di una matrice fondamentale … Le costanti c i dipendono dalle condizioni iniziali del problema. Periodicità: un esponente nullo ( : un moltiplicatore unitario) Stabilità: altri esponenti con parte reale negativa (altri moltiplicatori nel cerchio unitario)

40 Cesena, 21 novembre 2012 Modified Nodal Analysis Analisi Steady State (matrice di sensibilità rispetto alle condizioni iniziali) Analisi di piccolo segnale periodica Teoria di Floquet Stabilità Rumore (di fase e rumore di ampiezza) negli oscillatori Sommario (cenni delle cose che serve sapere e che si usano abitualmente quando si lavora con circuiti analogici descritti da campi vettoriali smooth che ammettono una soluzione di regime periodica)

41 Cesena, 21 novembre 2012 L 0 : ciclo limite soluzione periodica del problema non lineare di partenza : (sezione di Poincaré) superficie localmente ortogonale ad L 0 P : Mappa di Poincaré associata a L 0 (punto fisso per la mappa) Definiamo un sistema di coordinate ( 1, 2, …, N-1 ) su per il quale il punto x 0 è lorigine. La stabilità del ciclo L 0 è identica a quella del punto x 0 per la mappa. Il punto x 0 è stabile se gli autovalori di A giacciono nel cerchio di raggio unitario Stabilità Si dimostra che gli N -1 autovalori di A sono gli N -1 autovalori non unitari di

42 Cesena, 21 novembre 2012 Ad esempio … Shooting (T= s) (Oscillatore di Van der Pol)

43 Cesena, 21 novembre 2012 Modified Nodal Analysis Analisi Steady State (matrice di sensibilità rispetto alle condizioni iniziali) Analisi di piccolo segnale periodica Teoria di Floquet Stabilità Rumore (di fase e rumore di ampiezza) negli oscillatori Sommario (cenni delle cose che serve sapere e che si usano abitualmente quando si lavora con circuiti analogici descritti da campi vettoriali smooth che ammettono una soluzione di regime periodica)

44 Cesena, 21 novembre 2012 Rumore di fase e rumore di ampiezza negli oscillatori In generale, come abbiamo già accennato, quando parliamo degli effetti di un rumore che ipotizziamo sufficientemente piccolo e additivo, pensiamo ad un disturbo che vada a sommarsi al segnale noiseless che ci interessa. ipotesi Più realisticamente è opportuno pensare che leffetto del rumore si rifletta sul segnale noiseless con due contributi distinti che ne deteriorano due caratteristiche: lampiezza e la fase. Amplitude deviation Phase deviation (o Phase Response) In generale il rumore di fase preoccupa molto di più i progettisti di quanto non faccia il rumore di ampiezza e cercheremo di capire qualitativamente perché.

45 Cesena, 21 novembre 2012 Rumore di fase e rumore di ampiezza negli oscillatori Una prima considerazione: se la soluzione perturbata è molto vicina a quella noiseless, cioè cè una piccola amplitude deviation, può comunque essere presente una phase deviation consistente!

46 Cesena, 21 novembre 2012 Rumore di fase e rumore di ampiezza negli oscillatori Inoltre, se il ciclo limite è stabile, potremmo perfino avere il caso in cui un piccolo disturbo che agisce tipo un ping produce un effetto in ampiezza che si attenua e svanisce e una perturbazione in fase che non si recupera mai più! Le linee blu sono isocrone: se parto da punti che stanno su una stessa isocrona arrivo sul ciclo nello stesso tempo *. Attenzione: le isocrone sono unapprossimazione della dinamica non lineare. In realtà dai punti rosso e verde si giunge allorbita in un tempo infinito altrimenti le traiettorie si intersecherebbero violando lunicità locale della soluzione.

47 Cesena, 21 novembre 2012 Rumore di fase e rumore di ampiezza negli oscillatori Se parto da isocrone diverse arrivo sullorbita in tempi diversi e poi rimango sfasato per sempre! Nota importante: recupero completamente la deviazione di ampiezza iniziale ma leffetto sulla fase è irreparabile!

48 … gli effetti sullampiezza del ciclo delle (piccole) perturbazioni (dovute a sorgenti di rumore) si attenuano quindi il rumore di ampiezza non è di grande interesse. Cesena, 21 novembre 2012 Rumore di fase e rumore di ampiezza negli oscillatori … il ping perturba porta la traiettoria lasciandola sulla stessa isocrona.

49 Rumore di fase e rumore di ampiezza negli oscillatori … gli effetti sulla fase del ciclo delle (piccole) perturbazioni (dovute a sorgenti di rumore) potrebbero non attenuarsi mai più!. Cesena, 21 novembre 2012 … il ping perturba porta la traiettoria non spostandola dallattrattore ma facendola scivolare sulle isocrone.

50 Cesena, 21 novembre 2012 Rumore di fase e rumore di ampiezza negli oscillatori E possibile scomporre gli effetti totali di rumore, ottenuti ad esempio mediante analisi periodiche di piccolo segnale, in contributi in fase e contributi in ampiezza? La risposta è sì e si deve passare attraverso una vecchia conoscenza: la matrice di transizione di stato. Nel contesto della teoria dei circuiti è stata proposta una teoria allinizio degli anni 2000 da Alper Demir et al. (e poi applicata/dettagliata da altri) che permette di scomporre questi contributi. Si basa su metodi di proiezione della perturbazione lungo un particolare vettore tempovariante e, in realtà, anche nei primi anni 2000 * non era del tutto nuova perché in altri contesti (oscillatori più in senso lato) è nota dal 1960 (Teorema di Malkin). Non entriamo in alcun tipo di dettaglio ma si afferma soltanto che per ottenere il rumore di fase è necessario calcolare landamento temporale (in un periodo) dellautofunzione sinistra (corrispondente al moltiplicatore unitario) della matrice di transizione. A. Demir, A. Mehrotra, J. Roychowdhury, Phase Noise in Oscillators: A Unified Theory and Numerical Methods for Characterization, IEEE Transactions on Circuits and Systems I: Fundamental Theory and Applications, vol. 47, No. 5, pp , May 2000.

51 Milano - 30 novembre 2011 … in conclusione … Matrice di transizione elemento chiave per Analisi steady state Analisi di piccolo segnale periodica Stabilità Rumore di fase Matrice di transizione e modello variazionale Deve esistere la matrice Jacobiana di f

52 Cesena, 21 novembre 2012 Cosa succede se … La caratteristica del resistore non lineare è diventata piecewise smooth e possiamo descrivere la dinamica del sistema facendo ricorso a 2 campi vettoriali: Levento x 1 =0 governa lo switching tra i due campi vettoriali e lo spazio di stato 2D è partizionato dalla superficie

53 Cesena, 21 novembre 2012 Cosa succede se … In corrispondenza della commutazione del campo vettoriale, lo stato del sistema è continuo ma lo Jacobiano del sistema presenta una discontinuità. Provo a fare una simulazione in transitorio cercando, durante levoluzione dello stati il passaggio per zero della variabile x 1 e regolando così la commutazione tra i due campi vettoriali

54 Cesena, 21 novembre 2012 Cosa succede se … Se prolunghiamo un po lanalisi in transitorio e riportiamo lorbita ottenuta sul piano di stato ci accorgiamo che cè convergenza verso un orbita periodica, come nel caso smooth. E possibile utilizzare il metodo di shooting per ricavare lorbita di regime in modo efficace e avere a disposizione il sistema variazionale che permetta tutte le considerazioni fatte per i sistemi smooth?

55 Cesena, 21 novembre 2012 Cosa succede se … Nel nostro caso, purtroppo lo Jacobiano del sistema non è definito … ma non proprio ovunque … Vale ovunque tranne che per x 1 =0 Allora provo ad applicare lalgoritmo di shooting e mi accorgo che …

56 Cesena, 21 novembre 2012 Cosa succede se … … converge … T= s … ma la matrice di monodromia è sbagliata!

57 Cesena, 21 novembre 2012 Cosa succede se … Il sistema switching con lo Jacobiano non definito a cavallo della discontinuità del campo vettoriale è tale da permettere al metodo di shooting (basato sul metodo di Newton) di convergere perché la discontinuità non è troppo accentuata In altre parole il metodo di Newton converge perché lessere iterativo gli permette di correggere non solo le condizioni iniziali ma anche piccoli errori dello Jacobiano. (Esistono versioni astute del metodo di Newton che non ricalcolano lo Jacobiano ad ogni iterazione ma solo quando si rendono conto che la convergenza è troppo lenta) Se vogliamo però estendere gli strumenti cha abbiamo visto ai casi in cui lo Jacobiano non è definito dobbiamo fare qualcosa di più …

58 Sistemi dinamici ibridi I sistemi dinamici ibridi sono costituiti da processi di evoluzione dinamica continui/discreti che interagiscono con processi logici o decisionali Sistemi dinamici a impatto Lo stato presenta discontinuità nel tempo Sistemi dinamici switching Campo vettoriale discontinuo ma stato continuo (sistemi di Filippov) (Sistemi con campo vettoriale continuo ma non differenziabile) Cesena, 21 novembre 2012

59 59 I sistemi dinamici ibridi sono costituiti da processi di evoluzione dinamica continui/discreti che interagiscono con processi logici o decisionali Processo di evoluzione dinamica Processo logico decisionale Cesena, 21 novembre 2012 Sistemi dinamici ibridi

60 Estensione per i sistemi ibridi della matrice di sensibilità rispetto alle condizioni iniziali Piecewise smooth Ordinary Differential Equations M. Di Bernardo, C. Budd, A. Champneys, and P. Kowalczyk, Piecewise-smooth Dynamical Systems, Theory and Applications. London: Springer-Verlag, Piecewise smooth Differential Algebraic Equations F. Bizzarri, A. Brambilla, G. Storti Gajani, Steady State Computation and Noise Analysis of Analog Mixed Signal Circuits, IEEE Transactions on Circuits and Systems I: Fundamental Theory and Applications, vol. 59, No. 3, pp , March Cesena, 21 novembre 2012 Sistemi dinamici ibridi

61 Saltation Matrix Regione 1 – Campo vettoriale f 1 Regione 2 – Campo vettoriale f 2 Switching Manifold IC non perturbata IC perturbata in t 1 t 0 in t Primo obiettivo al primordine. Secondo obiettivo al primordine. 61Cesena, 21 novembre 2012

62 Saltation Matrix 62 Il punto viola approssimato da unespansione centrata nel punto blue approssimato da unespansione centrata nel punto blue Il punto rosso approssimato da unespasione centrata nel punto verde Cesena, 21 novembre 2012

63 Saltation Matrix 63 Consideriamo adesso la linearizzazione del manifold prima nel punto rosso … e poi nel punto verde … Cesena, 21 novembre 2012

64 Saltation Matrix 64Cesena, 21 novembre 2012

65 Saltation Matrix 65 Saltation matrix S Cesena, 21 novembre 2012

66 Saltation Matrix switching e manifold tempo-variante 66Cesena, 21 novembre 2012

67 67 Saltation Matrix impatto e manifold tempo-variante Jacobiano della funzione di mapping Cesena, 21 novembre 2012

68 68 Saltation Matrix Il caso completo (switching, impatto e manifold tempo-variante) Cesena, 21 novembre 2012

69 69 Un oscillatore switching misto analogico digitale F. Bizzarri, A. Brambilla, G. Storti Gajani, Extension of the variational equation to analog/digital circuits: Numerical and experimental validation, International Journal of Circuit Theory and Applications, (published online) oct. 2012, DOI: /cta Cesena, 21 novembre 2012

70 70 Un oscillatore switching misto analogico digitale Cesena, 21 novembre 2012

71 71 Un oscillatore switching misto analogico digitale Simulazioni numeriche Loscillatore è stato simulato numericamente con un metodo di shooting per determinarne lorbita di regime e il corrispondente andamento temporale dellautofunzione v 1. Traiettoria di regime Stato continuo ma non derivabile Autofunzione v 1 (t) Cesena, 21 novembre 2012

72 72 Un oscillatore switching misto analogico digitale Misure sperimentali Loscillatore è stato realizzato su breadboard ed è stato iniettato rumore bianco mediante un generatore di funzioni connesso come un generatore di tensione in serie ad R4. Le misure sono state effettuate ai capi di C1. Total noise simulato Total noise misurato Phase noise Demir Total noise misurato Total noise Spectre Cesena, 21 novembre 2012

73 73 Type-II 3-state PFD PLL: un esempio più complesso F. Bizzarri, A. Brambilla, G. Storti Gajani, Periodic small signal analysis of a wide class of type-II phase locked loops through an exhaustive variational model, IEEE Transactions on Circuits and Systems I: Fundamental Theory and Applications, vol. 59, No. 10, pp , October Un PLL (Phase-Locked Loop o Phase Lock Loop) è un sistema di controllo che genera un segnale in uscita la cui fase ha un relazione ben precisa con quella di un segnale di riferimento in ingresso. Un PLL è un circuito elettronico composto da (composizione minima) un oscillatore a frequenza variabile controllabile tipicamente in tensione VCO (Voltage Controlled Oscillator) un rivelatore di fase PD (Phase Detector) Il rivelatore di fase PD confronta la fase del segnale di riferimento in ingresso con la fase del segnale generato dal VCO e aggiusta la frequenza di funzionamento di questultimo in modo da mantenere le due fasi agganciate. Il segnale in uscita dal PD viene utilizzato quindi per controllare loscillatore nellanello di retroazione. Cesena, 21 novembre 2012

74 74 Type-II 3-state PFD PLL: un esempio più complesso Dal momento che la frequenza è la derivata della fase rispetto al tempo, se un PLL è in grado di agganciare due segnali in fase automaticamente li aggancia anche in frequenza. Cesena, 21 novembre 2012 Le tipiche applicazioni di un PLL sono quindi frequency synthesizer (può generare un segnale in uscita che ha una frequenza multipla di quella del segnale di riferimento) demodulation (è in grado di fare il tracking di una frequenza in ingresso e quindi demodulare eventuali contenuti informativi modulati in essa) Esistono diversi approcci per la simulazione di un PLL che spesso si rifanno alla definizione di macro-modelli in grado di cogliere le caratteristiche salienti del funzionamento del circuito ma che perdono totalmente (o quasi) il legame con la tecnologia dei componenti reali (transistor) che vengono utilizzati per realizzare il PLL.

75 Cesena, 21 novembre Type-II 3-state PFD PLL: un esempio più complesso DigitalAnalog CP: Charge Pump (pompa di carica). Converte luscita logica del PFD in un segnale analogico in grado di controllare il VCO. LPF: Low Pass Filter (filtro passa basso). Serve per ridurre il ripple in uscita dalla CP dovuto al fatto che è pilotata da segnali con fronti molto bruschi. ID: Integer Divider (divisore intero). Fa sì che il PFD analizzi la posizione relativa tra i due segnali ingresso e uscita al PLL ogni N ID cicli del VCO. Unarchitettura mista analogica digitale

76 Cesena, 21 novembre Type-II 3-state PFD PLL: un esempio più complesso Unarchitettura mista analogica digitale Ipotesi: un segnale positivo in uscita da CP accelera il VCO (viceversa uno negativo) Stato S1 : U=0 e D=1 il VCO viene decelerato Stato S3 : U=1 e D=0 il VCO viene accelerato Stato S2 : U=0 e D=0 il VCO mantiene la frequenza imposta dal segnale in uscita dal LPF PFD viene modellato come una macchina a stati Fronte di salita del segnale di riferimento Fronte di salita del segnale generato dal VCO Quanto il PLL è in aggancio il PFD si trova in S2

77 DigitalAnalog Dinamica della parte analogicaDinamica della parte digitale con il divisore intero di frequenza. Assumiamo N ID =1. Type-II 3-state PFD PLL: un esempio più complesso Cesena, 21 novembre 2012

78 Sistema variazionale associato al modello della PLL Questo blocco esprime la sensibilità delle x F rispetto alle x V ed è nullo … il modello variazionale è errato! Il modello variazionale così ottenuto non risente della parte digitale del circuito … come possiamo inserirla? Type-II 3-state PFD PLL: un esempio più complesso Cesena, 21 novembre 2012

79 s REF (t, ) = s REF (2 f REF t+ ) Type-II 3-state PFD PLL: un esempio più complesso Cesena, 21 novembre 2012

80 s REF (t, ) = s REF (2 f REF t+ ) La frequenza di lavoro del VCO è controllata da una combinazione lineare delle variabili di stato x F di LPF f VCO = f VCO ( T x F ) f VCO ( T x F ) = N ID f REF Type-II 3-state PFD PLL: un esempio più complesso Cesena, 21 novembre 2012

81 s REF (t, ) = s REF (2 f REF t+ ) La frequenza di lavoro del VCO è controllata da una combinazione lineare delle variabili di stato x F di LPF f VCO = f VCO ( T x F ) f VCO ( T x F ) = f REF La macchina digitale sia sensibile ai passaggi per lo zero di s REF e s VCO e definiamo quindi due superfici luogo delle commutazioni del PFD h REF (x F, x V,, t) s REF (t, ) = 0 h VCO (x F, x V,, t) s VCO (x V ) = 0 Type-II 3-state PFD PLL: un esempio più complesso Cesena, 21 novembre 2012

82 Type-II 3-state PFD PLL: un esempio più complesso Cesena, 21 novembre 2012

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84 Una volta specificati i manifold h REF (x F, x V,, t) s REF (t, ) = 0 h VCO (x F, x V,, t) s VCO (x V ) = 0 possiamo calcolare facilmente le Saltation Matrices in P 1, P 2, P 3 e P 4. Type-II 3-state PFD PLL: un esempio più complesso Cesena, 21 novembre 2012

85 Type-II 3-state PFD PLL: un esempio più complesso Cesena, 21 novembre 2012

86 Type-II 3-state PFD PLL Cesena, 21 novembre 2012

87 Type-II 3-state PFD PLL Cesena, 21 novembre 2012

88 Type-II 3-state PFD PLL Cosa accade lungo lorbita che si proietta in C 0 ? … lungo questorbita la pompa di carica non si accende mai e quindi I(U, D) = 0 … … sembra quindi che il campo vettoriale non abbia discontinuità e si possa utilizzare il modello variazionale presentato prima che origina la seguente matrice di transizione: Cesena, 21 novembre 2012

89 Type-II 3-state PFD PLL Questa matrice è tuttavia sbagliata perché considera la PLL come se fosse in anello aperto. P 0 è il punto in cui collassano P 1 e P 2 oppure P 3 e P 4 si può verificare facilmente che se P 1 P 2 e P 3 P 4 allora S(P 1 ) S(P 2 ) = S(P 3 ) S(P 4 ) = S PLL S PLL dipende da istante in cui la traiettoria passa per P 0 espressione dei manifold di switch dal campo vettoriale S PLL dipende Cesena, 21 novembre 2012

90 Risultati numerici (MATLAB ) Identifico un modello semplificato equivalente ignorando tutti i parassiti e facendo un fitting della caratteristica driving point Voltage Controlled Linear Capacitor Caratteristica polinomiale di ordine 7 Cesena, 21 novembre 2012

91 Risultati numerici (MATLAB ) Cesena, 21 novembre 2012

92 Risultati numerici (MATLAB ) Sweep Analysis: variando x F1 per trovare f VCO ( x F1 )= 122·20 MHz Se x F1 = x F2 il filtro è in equilibrio Simulazione VCO isolato da t 0 = 0 fino a trovare listante t * in cui x V1 passa per 0 con derivata negativa Scelgo * tale che s REF ( t *, * ) = 0 con derivata negativa In t * VCO e segnale di riferimento sono sincroni e quindi per tutto T REF la pompa di carica rimane spenta Cesena, 21 novembre 2012

93 Risultati numerici (ambiente MATLAB ) Da t 0 a t * la pompa di carica non interviene e quindi uso il modello variazionale della PLL in anello aperto … Cesena, 21 novembre 2012

94 Risultati numerici (ambiente MATLAB ) In t * inserisco la Saltation Matrix S PLL che simula leffetto dellinserimento del PFD e della CP. Lascia inalterata la traiettoria di regime ma corregge opportunamente la matrice di transizione che può essere così usata nella PAC e PNOISE. Cesena, 21 novembre 2012

95 Risultati numerici (MATLAB ) In t * inserisco usando la Saltation Matrix SPLL che simula leffetto dellinserimento del PFD e della CP. Lascia inalterata la traiettoria di regime ma corregge opportunamente la matrice di transizione che può essere così usata nella PAC e PNOISE. Cesena, 21 novembre 2012

96 Risultati numerici (MATLAB ) Inietto una corrente (piccolo segnale periodico) su C0 e misuro leffetto su x F1. PAC estesa con Saltation Matrix Risultati ottenuti con una AMS Transient Analysis con simulatore circuitale Spettro di x F1 in dB Normalizzato rispetto alla perturbazione Cesena, 21 novembre 2012

97 Risultati numerici (MATLAB ) Inietto una corrente (piccolo segnale periodico su C0 e misuro leffetto su x V1. Spettro di x V1 in dB Normalizzato rispetto alla perturbazione PAC estesa con Saltation Matrix Risultati ottenuti con una AMS Transient Analysis con simulatore circuitale VCO in anello aperto Cesena, 21 novembre 2012

98 Risultati numerici (MATLAB ) Dal modello lineare della PLL x F1 (t) Cesena, 21 novembre 2012

99 PAN: a general purpose circuit simulator Cesena, 21 novembre E un simulatore circuitale SPICE like scaricabile, usabile e con tanti esempi da provare … senza manuale (per ora!). E un concorrente reale dei maggiori simulatori industriali (ELDO di Mentor Graphics e SPECTRE di Cadence) e, tra le molte cose che è in grado di fare, contiene metodi numerici basati sulluso della Saltation Matrix. Tutto ciò che vi ho fatto vedere non appare allutente come un incubo matematico ma è del tutto nascosto … anche la definizione dei manifold!

100 Risultati numerici (simulatore circuitale PAN) Cesena, 21 novembre 2012

101 ground electrical gnd ; Analyses parameters parameters N=48 FVCO=53M FREF=FVCO/N PERIOD=1/FREF TSTOP=80u VDD=2.5 Tran0 tran tstop=TSTOP+2*PERIOD tmax=0.01/FVCO tmin=100f uic=1 cmin=0 method=2 order=6 Sh shooting fund=FREF solver=4 method=2 order=6 floquet=yes restart=no tmax=0.1m/FREF cmin=0 eabstol=0.1m fft=no fftharms=1024 annotate=3 + 0x20 PnX pnoise onodes=["x"] annotate=3 harms=140 refh=N freq=[1M,500k,100k,10k,1k,100] ; Reset PFD vres_n res_n gnd vsource t=0 v=0 t=PERIOD v=0 t=PERIOD+10p v=VDD t=2*TSTOP v=VDD ; Reset divider vres_c res_c gnd vsource t=0 v=0 t=10/FVCO v=0 t=10/FVCO+10p v=VDD t=2*TSTOP v=VDD ; Reference signal vin ref gnd vsource v1=0 v2=VDD td=1n tr=1n tf=1n width=PERIOD/2 period=PERIOD ; Division factor vn n gnd vsource vdc=N/2 xn n gnd a2d dignet="pd.HalfN" ; Interface to the digital phase detector. The phase detector is described with Verilog x1 ref gnd a2d dignet="pd.ref" vl= 0.40*VDD vh=0.60*VDD x2 x gnd a2d dignet="pd.fb" vl=-0.01*VDD+VDD/2 vh=0.01*VDD+VDD/2 x3 res_n gnd a2d dignet="pd.res_n" vl= 0.40*VDD vh=0.60*VDD x4 res_c gnd a2d dignet="pd.res_c" vl= 0.40*VDD vh=0.60*VDD x5 up gnd d2a dignet="pd.up" vl=0 vh=VDD x6 down gnd d2a dignet="pd.down" vl=0 vh=VDD ; Charge pump i1 ww gnd up gnd vccs func=v(up) > VDD/2 ? -IP : 0 i2 ww gnd down gnd vccs func=v(down) > VDD/2 ? IP*1.2 : 0 vpump ww w vsource ; Output filter parameters C0=10pF C1=100pF R1=50K IP=15uA c1 w gnd capacitor c=C0 icon=0 r1 w rc resistor r=R1 c2 rc gnd capacitor c=C1 icon=0 ipac w gnd isource pacmag=1 ; Vco xlim tune gnd w vcvs func=min(VDD,max(0,VDD/2-v(w))) osc x vdd gnd tune VCO Vdd vdd gnd vsource vdc=VDD model MP mos2 type=p kp=80u vt0=-0.5 lambda=10m model MN mos2 type=n kp=200u vt0= 0.5 lambda=10m subckt VCO x1 vdd gnd tune globalnets=no In1 x1 x2 vdd gnd tune INV IC=1 In2 x2 x3 vdd gnd tune INV In3 x3 x1 vdd gnd tune INV Pn x2 gnd port noise=10*log10(1.66e-20*1M^2)+30 r=1M ends subckt INV in out vdd gnd vc globalnets=no parameters IC=0 DELTA_C=8pF C0=20pF K=3 Mp out in vdd vdd MP w=100u l=1u Mn out in gnd gnd MN w=40u l=1u Cp out z1 capacitor c=C0 ic=IC Xcp1 z2 gnd z1 vc ccvs gain1=1 Xcp out vc z2 vccs func=DELTA_C/C0*atan(K*v(vc))*v(z2) ends ;verilog_include " Ndiv.v" verilog_include "Ndiv.v Risultati numerici (simulatore circuitale PAN) ; Vco xlim tune gnd w vcvs func=min(VDD,max(0,VDD/2-v(w))) osc x vdd gnd tune VCO Vdd vdd gnd vsource vdc=VDD model MP mos2 type=p kp=80u vt0=-0.5 lambda=10m model MN mos2 type=n kp=200u vt0= 0.5 lambda=10m subckt VCO x1 vdd gnd tune globalnets=no In1 x1 x2 vdd gnd tune INV IC=1 In2 x2 x3 vdd gnd tune INV In3 x3 x1 vdd gnd tune INV Pn x2 gnd port noise=10*log10(1.66e-20*1M^2)+30 r=1M ends subckt INV in out vdd gnd vc globalnets=no parameters IC=0 DELTA_C=8pF C0=20pF K=3 Mp out in vdd vdd MP w=100u l=1u Mn out in gnd gnd MN w=40u l=1u Cp out z1 capacitor c=C0 ic=IC Xcp1 z2 gnd z1 vc ccvs gain1=1 Xcp out vc z2 vccs func=DELTA_C/C0*atan(K*v(vc))*v(z2) ends Cesena, 21 novembre 2012

102 ground electrical gnd ; Analyses parameters parameters N=48 FVCO=53M FREF=FVCO/N PERIOD=1/FREF TSTOP=80u VDD=2.5 Tran0 tran tstop=TSTOP+2*PERIOD tmax=0.01/FVCO tmin=100f uic=1 cmin=0 method=2 order=6 Sh shooting fund=FREF solver=4 method=2 order=6 floquet=yes restart=no tmax=0.1m/FREF cmin=0 eabstol=0.1m fft=no fftharms=1024 annotate=3 + 0x20 PnX pnoise onodes=["x"] annotate=3 harms=140 refh=N freq=[1M,500k,100k,10k,1k,100] ; Reset PFD vres_n res_n gnd vsource t=0 v=0 t=PERIOD v=0 t=PERIOD+10p v=VDD t=2*TSTOP v=VDD ; Reset divider vres_c res_c gnd vsource t=0 v=0 t=10/FVCO v=0 t=10/FVCO+10p v=VDD t=2*TSTOP v=VDD ; Reference signal vin ref gnd vsource v1=0 v2=VDD td=1n tr=1n tf=1n width=PERIOD/2 period=PERIOD ; Division factor vn n gnd vsource vdc=N/2 xn n gnd a2d dignet="pd.HalfN" ; Interface to the digital phase detector. The phase detector is described with Verilog x1 ref gnd a2d dignet="pd.ref" vl= 0.40*VDD vh=0.60*VDD x2 x gnd a2d dignet="pd.fb" vl=-0.01*VDD+VDD/2 vh=0.01*VDD+VDD/2 x3 res_n gnd a2d dignet="pd.res_n" vl= 0.40*VDD vh=0.60*VDD x4 res_c gnd a2d dignet="pd.res_c" vl= 0.40*VDD vh=0.60*VDD x5 up gnd d2a dignet="pd.up" vl=0 vh=VDD x6 down gnd d2a dignet="pd.down" vl=0 vh=VDD ; Charge pump i1 ww gnd up gnd vccs func=v(up) > VDD/2 ? -IP : 0 i2 ww gnd down gnd vccs func=v(down) > VDD/2 ? IP*1.2 : 0 vpump ww w vsource ; Output filter parameters C0=10pF C1=100pF R1=50K IP=15uA c1 w gnd capacitor c=C0 icon=0 r1 w rc resistor r=R1 c2 rc gnd capacitor c=C1 icon=0 ipac w gnd isource pacmag=1 ; Vco xlim tune gnd w vcvs func=min(VDD,max(0,VDD/2-v(w))) osc x vdd gnd tune VCO Vdd vdd gnd vsource vdc=VDD model MP mos2 type=p kp=80u vt0=-0.5 lambda=10m model MN mos2 type=n kp=200u vt0= 0.5 lambda=10m subckt VCO x1 vdd gnd tune globalnets=no In1 x1 x2 vdd gnd tune INV IC=1 In2 x2 x3 vdd gnd tune INV In3 x3 x1 vdd gnd tune INV Pn x2 gnd port noise=10*log10(1.66e-20*1M^2)+30 r=1M ends subckt INV in out vdd gnd vc globalnets=no parameters IC=0 DELTA_C=8pF C0=20pF K=3 Mp out in vdd vdd MP w=100u l=1u Mn out in gnd gnd MN w=40u l=1u Cp out z1 capacitor c=C0 ic=IC Xcp1 z2 gnd z1 vc ccvs gain1=1 Xcp out vc z2 vccs func=DELTA_C/C0*atan(K*v(vc))*v(z2) ends ;verilog_include " Ndiv.v" verilog_include "Ndiv.v Risultati numerici (simulatore circuitale PAN) ; Charge pump i1 ww gnd up gnd vccs func=v(up) > VDD/2 ? -IP : 0 i2 ww gnd down gnd vccs func=v(down) > VDD/2 ? IP*1.2 : 0 vpump ww w vsource ; Output filter parameters C0=10pF C1=100pF R1=50K IP=15uA c1 w gnd capacitor c=C0 icon=0 r1 w rc resistor r=R1 c2 rc gnd capacitor c=C1 icon=0 ipac w gnd isource pacmag=1 Cesena, 21 novembre 2012

103 ground electrical gnd ; Analyses parameters parameters N=48 FVCO=53M FREF=FVCO/N PERIOD=1/FREF TSTOP=80u VDD=2.5 Tran0 tran tstop=TSTOP+2*PERIOD tmax=0.01/FVCO tmin=100f uic=1 cmin=0 method=2 order=6 Sh shooting fund=FREF solver=4 method=2 order=6 floquet=yes restart=no tmax=0.1m/FREF cmin=0 eabstol=0.1m fft=no fftharms=1024 annotate=3 + 0x20 PnX pnoise onodes=["x"] annotate=3 harms=140 refh=N freq=[1M,500k,100k,10k,1k,100] ; Reset PFD vres_n res_n gnd vsource t=0 v=0 t=PERIOD v=0 t=PERIOD+10p v=VDD t=2*TSTOP v=VDD ; Reset divider vres_c res_c gnd vsource t=0 v=0 t=10/FVCO v=0 t=10/FVCO+10p v=VDD t=2*TSTOP v=VDD ; Reference signal vin ref gnd vsource v1=0 v2=VDD td=1n tr=1n tf=1n width=PERIOD/2 period=PERIOD ; Division factor vn n gnd vsource vdc=N/2 xn n gnd a2d dignet="pd.HalfN" ; Interface to the digital phase detector. The phase detector is described with Verilog x1 ref gnd a2d dignet="pd.ref" vl= 0.40*VDD vh=0.60*VDD x2 x gnd a2d dignet="pd.fb" vl=-0.01*VDD+VDD/2 vh=0.01*VDD+VDD/2 x3 res_n gnd a2d dignet="pd.res_n" vl= 0.40*VDD vh=0.60*VDD x4 res_c gnd a2d dignet="pd.res_c" vl= 0.40*VDD vh=0.60*VDD x5 up gnd d2a dignet="pd.up" vl=0 vh=VDD x6 down gnd d2a dignet="pd.down" vl=0 vh=VDD ; Charge pump i1 ww gnd up gnd vccs func=v(up) > VDD/2 ? -IP : 0 i2 ww gnd down gnd vccs func=v(down) > VDD/2 ? IP*1.2 : 0 vpump ww w vsource ; Output filter parameters C0=10pF C1=100pF R1=50K IP=15uA c1 w gnd capacitor c=C0 icon=0 r1 w rc resistor r=R1 c2 rc gnd capacitor c=C1 icon=0 ipac w gnd isource pacmag=1 ; Vco xlim tune gnd w vcvs func=min(VDD,max(0,VDD/2-v(w))) osc x vdd gnd tune VCO Vdd vdd gnd vsource vdc=VDD model MP mos2 type=p kp=80u vt0=-0.5 lambda=10m model MN mos2 type=n kp=200u vt0= 0.5 lambda=10m subckt VCO x1 vdd gnd tune globalnets=no In1 x1 x2 vdd gnd tune INV IC=1 In2 x2 x3 vdd gnd tune INV In3 x3 x1 vdd gnd tune INV Pn x2 gnd port noise=10*log10(1.66e-20*1M^2)+30 r=1M ends subckt INV in out vdd gnd vc globalnets=no parameters IC=0 DELTA_C=8pF C0=20pF K=3 Mp out in vdd vdd MP w=100u l=1u Mn out in gnd gnd MN w=40u l=1u Cp out z1 capacitor c=C0 ic=IC Xcp1 z2 gnd z1 vc ccvs gain1=1 Xcp out vc z2 vccs func=DELTA_C/C0*atan(K*v(vc))*v(z2) ends ;verilog_include " Ndiv.v" verilog_include "Ndiv.v Risultati numerici (simulatore circuitale PAN) ; verilog_include " Ndiv.v" verilog_include "Ndiv.v ; Interface to the digital phase detector. The phase detector is described with Verilog x1 ref gnd a2d dignet="pd.ref" vl= 0.40*VDD vh=0.60*VDD x2 x gnd a2d dignet="pd.fb" vl=-0.01*VDD+VDD/2 vh=0.01*VDD+VDD/2 x3 res_n gnd a2d dignet="pd.res_n" vl= 0.40*VDD vh=0.60*VDD x4 res_c gnd a2d dignet="pd.res_c" vl= 0.40*VDD vh=0.60*VDD x5 up gnd d2a dignet="pd.up" vl=0 vh=VDD x6 down gnd d2a dignet="pd.down" vl=0 vh=VDD ; Analyses parameters parameters N=48 FVCO=53M FREF=FVCO/N PERIOD=1/FREF TSTOP=80u VDD=2.5 Tran0 tran tstop=TSTOP+2*PERIOD tmax=0.01/FVCO tmin=100f uic=1 cmin=0 method=2 order=6 Sh shooting fund=FREF solver=4 method=2 order=6 floquet=yes restart=no tmax=0.1m/FREF cmin=0 eabstol=0.1m fft=no fftharms=1024 annotate=3 + 0x20 PnX pnoise onodes=["x"] annotate=3 harms=140 refh=N freq=[1M,500k,100k,10k,1k,100] Cesena, 21 novembre 2012

104 ground electrical gnd ; Analyses parameters parameters N=48 FVCO=53M FREF=FVCO/N PERIOD=1/FREF TSTOP=80u VDD=2.5 Tran0 tran tstop=TSTOP+2*PERIOD tmax=0.01/FVCO tmin=100f uic=1 cmin=0 method=2 order=6 Sh shooting fund=FREF solver=4 method=2 order=6 floquet=yes restart=no tmax=0.1m/FREF cmin=0 eabstol=0.1m fft=no fftharms=1024 annotate=3 + 0x20 PnX pnoise onodes=["x"] annotate=3 harms=140 refh=N freq=[1M,500k,100k,10k,1k,100] ; Reset PFD vres_n res_n gnd vsource t=0 v=0 t=PERIOD v=0 t=PERIOD+10p v=VDD t=2*TSTOP v=VDD ; Reset divider vres_c res_c gnd vsource t=0 v=0 t=10/FVCO v=0 t=10/FVCO+10p v=VDD t=2*TSTOP v=VDD ; Reference signal vin ref gnd vsource v1=0 v2=VDD td=1n tr=1n tf=1n width=PERIOD/2 period=PERIOD ; Division factor vn n gnd vsource vdc=N/2 xn n gnd a2d dignet="pd.HalfN" ; Interface to the digital phase detector. The phase detector is described with Verilog x1 ref gnd a2d dignet="pd.ref" vl= 0.40*VDD vh=0.60*VDD x2 x gnd a2d dignet="pd.fb" vl=-0.01*VDD+VDD/2 vh=0.01*VDD+VDD/2 x3 res_n gnd a2d dignet="pd.res_n" vl= 0.40*VDD vh=0.60*VDD x4 res_c gnd a2d dignet="pd.res_c" vl= 0.40*VDD vh=0.60*VDD x5 up gnd d2a dignet="pd.up" vl=0 vh=VDD x6 down gnd d2a dignet="pd.down" vl=0 vh=VDD ; Charge pump i1 ww gnd up gnd vccs func=v(up) > VDD/2 ? -IP : 0 i2 ww gnd down gnd vccs func=v(down) > VDD/2 ? IP*1.2 : 0 vpump ww w vsource ; Output filter parameters C0=10pF C1=100pF R1=50K IP=15uA c1 w gnd capacitor c=C0 icon=0 r1 w rc resistor r=R1 c2 rc gnd capacitor c=C1 icon=0 ipac w gnd isource pacmag=1 ; Vco xlim tune gnd w vcvs func=min(VDD,max(0,VDD/2-v(w))) osc x vdd gnd tune VCO Vdd vdd gnd vsource vdc=VDD model MP mos2 type=p kp=80u vt0=-0.5 lambda=10m model MN mos2 type=n kp=200u vt0= 0.5 lambda=10m subckt VCO x1 vdd gnd tune globalnets=no In1 x1 x2 vdd gnd tune INV IC=1 In2 x2 x3 vdd gnd tune INV In3 x3 x1 vdd gnd tune INV Pn x2 gnd port noise=10*log10(1.66e-20*1M^2)+30 r=1M ends subckt INV in out vdd gnd vc globalnets=no parameters IC=0 DELTA_C=8pF C0=20pF K=3 Mp out in vdd vdd MP w=100u l=1u Mn out in gnd gnd MN w=40u l=1u Cp out z1 capacitor c=C0 ic=IC Xcp1 z2 gnd z1 vc ccvs gain1=1 Xcp out vc z2 vccs func=DELTA_C/C0*atan(K*v(vc))*v(z2) ends ;verilog_include " Ndiv.v" verilog_include "Ndiv.v Risultati numerici (simulatore circuitale PAN) ; verilog_include " Ndiv.v" verilog_include "Ndiv.v `timescale 10ps/1ps `delay_mode_path module pd (up, down); output up, down; reg res_n; reg res_c; reg up, down; reg reset; reg ref, fb, fbx; reg [15:0] Count; reg [15:0] HalfN; initial begin reset = 0; up = 0; down = 0; res_c = 0; res_n = 0; fb = 0; fbx = 0; end fb or !res_c) begin if( !res_c ) Count = 0; else begin Count = Count + 1; if(Count >= HalfN || HalfN == 0) begin Count = 0; fbx = !fbx; end ref or posedge reset or !res_n) begin if (reset | !res_n) up = 0; else up = 1; end fbx or posedge reset or !res_n) begin if (reset | !res_n) down = 0; else down = 1; end or down) begin if (up & down) begin #2 reset = 1; #2 reset = 0; end (!res_n) reset = !res_n; endmodule Cesena, 21 novembre 2012

105 Risultati numerici (simulatore circuitale PAN) Soluzione di regime (steady-state) ottenuta con rapporto divisione N ID = 1. Notare il mismatch U e D sintomo di un mismatch inserito sulla CP. I moltiplicatori di Floquet più significativi. PSS esteso con Saltation Matrices Cesena, 21 novembre 2012

106 Conclusioni Cesena, 21 novembre 2012

107 References F. Bizzarri, A. Brambilla, G. Storti Gajani, Steady State Computation and Noise Analysis of Analog Mixed Signal Circuits, IEEE Transactions on Circuits and Systems-I forthcoming. F. Bizzarri, A. Brambilla, G. Storti Gajani, "Periodic Small Signal Analysis Of A Wide Class of Type-II Phase Locked Loops Through an Exhaustive Variational Model, IEEE Transactions on Circuits and Systems-I, under revision. F. Bizzarri, A. Brambilla, G. Storti Gajani, Extension of the variational equation to analog/digital circuits: Numerical and experimental validation, International Journal of Circuit Theory and Applications, (published online) oct. 2012,DOI: /cta F. Bizzarri, A. Brambilla, G. Storti Gajani, "Phase Noise Simulation in Analog Mixed Signal Circuits: An Application to Pulse Energy Oscillators", IEEE Transactions on Circuits and Systems-II: Express Briefs, vol. 58, No. 3, pp , March F. Bizzarri, A. Brambilla, G. Storti Gajani, "Noise in a Phase-Quadrature Pulsed Energy Restore Oscillator, in Proceedings of the European Conference on Circuit Theory and Design (ECCTD'11),Linköping, Sweden, August 29-31, 2011, pp F. Bizzarri, X. Wei, "Phase Noise Analysis of a Mechanical Autonomous Impact Oscillator with a MEMS Resonator, in Proceedings of the European Conference on Circuit Theory and Design (ECCTD'11),Linköping, Sweden, August 29-31, 2011, pp Cesena, 21 novembre 2012


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