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Progetto lauree scientifiche Unità 4 numeri complessi e poligoni regolari A cura di Maurizio Dini e Paola Gario Dipartimento di Matematica F. Enriques.

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1 Progetto lauree scientifiche Unità 4 numeri complessi e poligoni regolari A cura di Maurizio Dini e Paola Gario Dipartimento di Matematica F. Enriques Università degli Studi di Milano

2 Lequazione z n = 1 Quante soluzioni ha lequazione z 4 = 1? Quattro??? ma chi crede di essere costui? in R ne ha 2 ma in C ne ha addirittura 4! sono Gauss, il Principe della matematica! Cerchiamo i numeri complessi = (cos + i sen ) tali che 4 = 1

3 Le soluzioni dellequazione z 4 = 1 4 = 1, in forma trigonometrica, si scrive 4 (cos 4 + i sen 4 ) = 1(cos 0 + i sen 0) due numeri complessi sono uguali se hanno......stessi modulo e argomento! = 1 e = (k /2 ) e quindi: = 1 e 4 = 0 + 2k cioè Facendo variare k, si otterranno coppie (, ) che daranno le soluzioni dellequazione

4 le soluzioni dellequazione z 4 = 1 Inseriamo i dati ottenuti in una tabella... U 5 (0,i) 15 U 4 (1,0) 14 U 3 (0,-i) 13 U 2 (-1,0) 12 U 1 (0,i) 11 U 0 (1,0) 10 U k (a,b) k U0U0 U1U1 U2U2 U3U3 U4U4 U5U5

5 Le 5 soluzioni dellequazione z 5 = 1 In questo caso abbiamo In questo caso abbiamo una sola soluzione reale!

6 Le radici n-esime dellunità ovvero le n soluzioni dellequazione z n = 1 ovvero le n radici del polinomio z n - 1 Questo lho fatto io! n si trovano sulla circonferenza unitaria e la dividono in n archi uguali. Dunque sono i vertici di un n-gono regolare inscritto nella circonferenza unitaria. Bingo!

7 radici dellunità e poligoni regolari Utilizziamo il metodo delle radici dellunità per costruire con R&C il pentagono regolare Il MIO metodo può funzionare a meraviglia! OK Gauss, le tue radici dellunità sono i vertici di un poligono regolare. Ma il MIO PROBLEMA è: Ma il MIO PROBLEMA è: costruire i vertici con R&C !!! !

8 radici dellunità e costruzioni con R&C OH = cos Per costruire con R&C il punto sulla circonferenza unitaria che rappresenta il numero complesso = cos + i sen costruiremo il punto H, sua proiezione sullasse reale, ovvero il segmento OH, essendo OH = cos. Vi sarà utile ricordare che: Figura

9 Radici quinte dellunità e costruzione del pentagono regolare In questo caso, è n= 5 e Si vuole costruire il punto sulla circonferenza unitaria che corrisponde alla radice sua proiezione sullasse reale, cioè costruiamo il segmento: A tale scopo costruiamo il punto H,

10 Lequazione z 5 = 1 della divisione del cerchio 0 = 1 è lunica soluzione reale dellequazione z = 0 che, dunque, si scompone in: 1 è unaltra soluzione che soddisfa la condizione: Inoltre sappiamo che : Ora tocca a voi!

11 dal numero alla costruzione Per concludere, si tratterà di costruire il punto H tale che: Avete ottenuto il numero che dà il vertice U 1 del pentagono: Se avessi fatto i compiti questo numero lavrei già costruito!

12 ... la parola a Gauss TEOREMA del Principe della Matematica (Disquisitiones Arithmetices del 1801) Sia p un numero primo diverso da 2. Il p-gono regolare è costruibile con R&C se e solo se p è un numero (primo) della forma: 2 2 k + 1 Invece il p h -gono regolare (h > 1), può essere costruito con R&C, se e solo se: p = 2

13 numeri primi e poligoni regolari primi di Fermat I numeri primi della forma 2 2 k + 1 si chiamanoprimi di Fermat Li ho inventati io! Credevo che fossero tutti primi ma Eulero... mi ha smentito! = 3 Altri primi di Fermat non ne sono stati trovati... per ora... Infatti non è primo perché è divisibile per 641… = = = 257 sono primi

14 la questione non è del tutto risolta! Quali sono i poligoni regolari, in particolare i poligoni con un numero primo di lati, che si possono costruire con R&C ? Bel Principe della matematica dei miei stivali! Volevo una risposta conclusiva alla domanda...!... e Gauss ti ha risposto tirando in ballo i miei primi 2 2 k + 1 di cui si sa ben poco!... provate voi a fare di meglio!

15 una lunga storia non ancora conclusa Euclide (circa 300 a. C.) nel 1990 usando 1000 computer, F 9 = è stato completamente fattorizzato Cartesio ( ) Fermat ( ) Eulero ( )Gauss ( )


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