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C. Gaibisso Programmazione di calcolatori Lezione IV Esistono problemi non risolvibili? Programmazione di Calcolatori: Esistono problemi non risolvibili?

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Presentazione sul tema: "C. Gaibisso Programmazione di calcolatori Lezione IV Esistono problemi non risolvibili? Programmazione di Calcolatori: Esistono problemi non risolvibili?"— Transcript della presentazione:

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2 C. Gaibisso Programmazione di calcolatori Lezione IV Esistono problemi non risolvibili? Programmazione di Calcolatori: Esistono problemi non risolvibili? 1

3 C. Gaibisso Problemi & funzioni Programmazione di Calcolatori: Esistono problemi non risolvibili?2 estrarre linformazione implicita a cui siamo interessati dallinformazione esplicita in nostro possesso calcolare una delle funzioni che realizza tale estrazione Risolvere un problema:

4 C. Gaibisso Problemi risolvibili e funzioni calcolabili Programmazione di Calcolatori: Esistono problemi non risolvibili?3 Funzioni calcolabili: una funzione è calcolabile se esiste un algoritmo che la calcola Problemi risolvibili: un problema è risolvibile se esiste un algoritmo che lo risolve

5 C. Gaibisso Esempio Programmazione di Calcolatori: Esistono problemi non risolvibili?4 Funzione: f : N x N N Start Stop N1, N2 N1 > N2 si N1 no N2 Problema: Qual è il massimo tra due numeri interi?

6 C. Gaibisso Esempio Programmazione di Calcolatori: Esistono problemi non risolvibili?5 Informazione esplicita Informazione implicita 0, 00 1, 01 0, 11 …. 158, … , ….

7 C. Gaibisso Idea Programmazione di Calcolatori: Esistono problemi non risolvibili?6 1.contiamo gli algoritmi 2.contiamo le funzioni 3.se il numero delle funzioni dovesse risultare maggiore del numero degli algoritmi allora esisterebbe almeno una funzione non calcolabile, e, di conseguenza, almeno un problema non risolvibile

8 C. Gaibisso Equipotenza e numerabilità Programmazione di Calcolatori: Esistono problemi non risolvibili?7 Linsieme dei numeri pari N pari è numerabile: infatti la funzione f: N pari N definita da f(n) = n/2 è biunivoca Insiemi equipotenti: A e B sono equipotenti, A B, se e solo se esiste una funzione biunivoca f : A B Insiemi numerabili: A è numerabile se e solo A B N

9 C. Gaibisso Equipotenza e numerabilità Programmazione di Calcolatori: Esistono problemi non risolvibili?8 Ovviamente: se A è numerabile e B A allora B è numerabile più informalmente qualsiasi sottoinsieme di un insieme numerabile è numerabile

10 C. Gaibisso Insiemi numerabili Enumerazione: Programmazione di Calcolatori: Esistono problemi non risolvibili?9 N Elementi di A 0a0a0 1a1a1 2a2a2 …. nanan …

11 C. Gaibisso Quanti sono gli algoritmi? Programmazione di Calcolatori: Esistono problemi non risolvibili?10 Nozione intuitiva di algoritmo è una sequenza finita di istruzioni ogni istruzione è costruita a partire da un alfabeto di dimensione finita ogni istruzione nella sequenza è codificata con una quantità finita di informazione deve esistere un agente di calcolo C capace di eseguire le istruzioni dellalgoritmo C deve avere capacità di memorizzazione …..

12 C. Gaibisso Quanti sono gli algoritmi? Programmazione di Calcolatori: Esistono problemi non risolvibili?11 Linsieme S delle stringhe di lunghezza finita costruite a partire da un alfabeto di dimensione finita è numerabile 1.definisco un ordinamento tra i caratteri dellalfabeto (in modo analogo a quanto avviene per i caratteri dellalfabeto della lingua italiana) 2.enumero tutte le stringhe di lunghezza finita costruite a partire dallalfabeto in ordine di lunghezza crescente 3.enumero le stringhe di eguale lunghezza in ordine lessicografico

13 C. Gaibisso Esempio Programmazione di Calcolatori: Esistono problemi non risolvibili?12 N Elementi di S 0a 1b 2c 3aa 4ab 5ac 6ba 7bb ……. 39aaaa …… Alfabeto {a, b, c}

14 C. Gaibisso Quanti sono gli algoritmi? Programmazione di Calcolatori: Esistono problemi non risolvibili?13 Linsieme A degli algoritmi costruiti a partire dallo stesso alfabeto è numerabile ovvio in quanto A S

15 C. Gaibisso Quante sono le funzioni? Programmazione di Calcolatori: Esistono problemi non risolvibili?14 Linsieme delle funzioni F 0,1 { f | f : N {0,1}} F non è numerabile F 0,1 B, con B insieme delle stringhe binarie di lunghezza infinita funzionef(0) = 1f(1)=0f(2)=1f(3)=1…f(n)=0… stringa1011…0…

16 C. Gaibisso Quante sono le funzioni? Programmazione di Calcolatori: Esistono problemi non risolvibili?15 Linsieme B delle stringhe binarie di lunghezza inifinita non è numerabile se così non fosse potrei enumerare linsieme di tali stringhe dimostreremo che esiste almeno una stringa mancante da qualsiasi enumerazione

17 C. Gaibisso Quante sono le funzioni? Programmazione di Calcolatori: Esistono problemi non risolvibili?16 N Elementi di B … … … … … … … … … … ….. 1.consideriamo una qualsiasi enumerazione … 4.in quanto tale, dovrebbe comparire nella enumera- zione 2.consideriamone la diagonale 3.complementiamo tale diagonale, ottenendo una nuova stringa binaria di lunghezza infinita

18 C. Gaibisso Quante sono le funzioni? Programmazione di Calcolatori: Esistono problemi non risolvibili?17 7.di conseguenza possiamo affermare che non esistono enumerazioni per B N Elementi di B … … … … … … … … … … … … 5.supponiamo compaia nella posizione i-esima, la 3 a per esempio 6.per costruzione, se la 3 a cifra nella diagonale complemen- tata è 1 (risp., 0) il bit alla intersezione della 3 a colonna e della 3 a riga nella enume- razione è 0 (risp., 1) da cui lassurdo

19 C. Gaibisso Concludendo Programmazione di Calcolatori: Esistono problemi non risolvibili?18 se linsieme delle stringhe binarie di lunghezza finita ( B ) non è numerabile allora linsieme delle funzioni da N in {0, 1} ( F 0,1 ) non è numerabile linsieme degli algoritmi ( A ) numerabile se linsieme delle funzioni da N in {0, 1} ( F 0,1 ) non è numerabile allora linsieme delle funzioni ( F ) non è numerabile

20 C. Gaibisso Concludendo Programmazione di Calcolatori: Esistono problemi non risolvibili?19 se linsieme degli algoritmi ( A ) è nume- rabile e linsieme delle funzioni ( F ) non è numerabile allora esiste almeno una funzione non calcolabile se esiste almeno una funzione non calcolabile allora esiste almeno un problema non risolvibile


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