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Lo studio delle coniche nel tempo IV secolo a.C.: Menecmo fu il primo matematico a individuare le curve che si potevano ottenere dalla sezione di una.

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Presentazione sul tema: "Lo studio delle coniche nel tempo IV secolo a.C.: Menecmo fu il primo matematico a individuare le curve che si potevano ottenere dalla sezione di una."— Transcript della presentazione:

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2 Lo studio delle coniche nel tempo IV secolo a.C.: Menecmo fu il primo matematico a individuare le curve che si potevano ottenere dalla sezione di una superficie conica con un piano, scoprì le sezioni coniche mentre cercava di risolvere il problema della duplicazione del cubo(*); Menecmo, maestro di Alessandro Magno, commentò con la celebre frase non esiste una via regale per lo studio della geometria la richiesta del re di trovare una scorciatoia per affrontare lo studio della matematica. III secolo a.C.: Apollonio detto Il Grande Geometra, scrisse il trattato Coniche che rimpiazzava i precedenti manuali (dovuti ad Aristeo ed Euclide) sullo stesso argomento. Apollonio, per la prima volta, dimostrò che da un unico cono era possibile ottenere tutte le varietà di sezioni coniche semplicemente variando il piano di inclinazione. Descartes ( ), secondo Boyer,fornisce una base geometrica alle operazioni algebriche. Sostanzialmente però ha permesso lidentificazione di una conica con una equazione algebrica di secondo grado in due incognite. ___________ (*) Il problema della duplicazione del cubo o problema di Delo è uno dei problemi classici dellantichità: si tratta di trovare (con riga e compasso) il lato di un cubo che abbia il volume doppio rispetto a quello del cubo dato. Mappa

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6 Linee che possono ottenersi come intersezione di un piano con una superficie conica rotonda a due falde. Coniche Mappa

7 Fine Mappa Clicca sui quadratini

8 La parabola si ottiene sezionando un cono con un piano inclinato rispetto allasse di rotazione del cono di un angolo uguale a quello della retta generatrice del cono. Mappa

9 Parabola β= a Iperbole β< a Mappa

10 Parabola La parabola si può definire come il luogo dei punti equidistanti da un punto, detto fuoco, e da una retta, detta direttrice. I punti P 1,P 2, P 3,….. P 1,P 2, P 3 hanno ugual distanza dal punto F e dalla retta d. La retta passante per F e perpendicolare alla direttrice è asse di simmetria per la parabola. Il punto V dellasse di simmetria, equidistante da F e da d, viene chiamato vertice della parabola. =semiangolo di apertura della superficie conica =angolo tra il piano e lasse della superficie conica Mappa

11 Costruzione di una parabola (con riga e compasso) Costruiamo la parabola di fuoco F e direttrice d. Indichiamo con H il piede della perpendicolare di F su d. Il punto medio del segmento FH è il vertice della parabola. Tracciamo una retta m parallela a d e indichiamo con r la sua distanza da d. La circonferenza di centro F e raggio r interseca la retta m in due punti che appartengono alla nostra parabola. d direttriceH V m r Tracciamo altre rette parallele ad m (con distanza da d maggiore di VH) e ripetendo la costruzione precedente, otteniamo tutti i punti della parabola. Mappa F Congiungendo i punti trovati disegnamo la parabola.

12 Equazione Per determinare lequazione della parabola di fuoco F e direttrice d,d, fissiamo un riferimento avente l asse x coincidente con la parallela alla retta d condotta per il punto medio della distanza di F da d e l asse y coincidente con la perpendicolare condotta da F alla direttrice. Indicando con P(x,y) il generico punto della parabola dovrà essere: PH = FP d k F F(0,k) d: y=-k P H k Elevando al quadrato e semplificando si ottiene: Se si ponelequazione diventa Quando sulla parabola si opera una traslazione lequazione si trasforma in: N.B.: il valore di a resta invariato. Mappa

13 Parabola con asse parallelo allasse y: Equazione dellasse Con Coordinate del vertice Coordinate del fuoco Equazione della direttrice Mappa

14 Problemi Mappa 1) Retta esterna alla parabola 2) Retta secante una parabola 3) Retta tangente una parabola Dal sistema equazione della parabola equazione della retta Ricaviamo lequazione di 2° grado : ax 2 +(b-m)x+c-q=o il cui discriminante indichiamo con. Se <0 allora si verifica il caso 1) Se >0 allora si verifica il caso 2) Se =0 allora si verifica il caso 3)

15 Curiosità Per le leggi di riflessione della luce, i raggi uscenti da una sorgente luminosa posta nel fuoco di una parabola vengono da questa riflessi sotto forma di un fascio di raggi paralleli e, viceversa, un fascio di raggi paralleli (per esempio quelli provenienti da una sorgente infinitamente lontana) che colpiscono una parabola danno luogo a un fascio di raggi riflessi che convergono nel fuoco di questa. Nella realtà, invece di una parabola, si utilizza un paraboloide rotondo che corrisponde alla superficie ottenuta facendo ruotare di un giro una parabola attorno al proprio asse. Antenna per le comunicazioni spaziali Mappa

16 LA CIRCONFERENZA DA UNA SEZIONE CONICA La circonferenza si ottiene sezionando un cono con un piano perpendicolare allasse di rotazione del cono. Mappa

17 Circonferenza β= 90° Ellisse β> a Mappa

18 Luogo dei punti del piano equidistanti da un punto dato detto centro. La distanza si dice raggio. Vogliamo ora determinare lequazione della circonferenza nel piano cartesiano di centro C(, ) e raggio r dati. Circonferenza Mappa

19 Imponiamo che la distanza di un punto P(x,y) da C(, ) sia uguale al raggio r. r Ricordando la formula che dà la distanza fra due punti, avremo Sviluppando i calcoli Otteniamo quindi lequazione della circonferenza di centro (, ) e raggio r x y C( ) P(x,y) O Mappa

20 Esempio Trovare lequazione della circonferenza di centro C(2,1) e raggio 2. (x-2) 2 +(y-1) 2 =2 2 Svolgendo i calcoli otteniamo lequazione cercata Viceversa, data una equazione del tipo è possibile affermare che essa rappresenta lequazione di una circonferenza? Detto r il raggio, e C( ) le coordinate del centro, dovrà essere Mappa

21 Pertanto sarà Dallultima relazione, deduciamo che avremo una circonferenza solamente se il radicando è positivo. In tal caso sarà: Mappa

22 Per determinare lintersezione di una retta con una circonferenza, mettiamo a sistema lequazione della retta con quella della circonferenza. Se il sistema ha due soluzioni, la retta sarà secante, se ne ha una sarà tangente, altrimenti sarà esterna. Esempio Trovare lintersezione della retta di equazione y=x+3 con la circonferenza x 2 +y 2 +4x-4y+7=0 Impostiamo il sistema y=x+3 x 2 +y 2 +4x-4y+7=0 che fornisce i punti A(-2,1);B(-1,2) In questo caso la retta risulta secante. y -2 C 2 x O A B Mappa Proff. Cornacchia - De Fino

23 Per determinare lintersezione di due circonferenze, mettiamo a sistema le loro equazioni. Esempio Trovare lintersezione delle circonferenze C 1 : x 2 +y 2 +4x-4y+7=0 e C 2 : x 2 +y 2 -5=0 Impostiamo il sistema x 2 +y 2 +4x-4y+7=0 x 2 +y 2 -5=0 Per risolvere questo sistema, sottraiamo le due equazioni. Ci riduciamo così al sistema equivalente x 2 +y 2 +4x-4y+7=0 4x-4y+12=0 Che equivale a trovare lintersezione di una circonferenza con una retta. Tale retta è detta asse radicale delle due circonferenze. Nel nostro caso le circonferenze sono secanti y x O C1C1 C2C2 Mappa

24 Per tre punti dati e non allineati, passa sempre una ed una sola circonferenza. Esempio Trovare lequazione della circonferenza passante per i punti A(-3,3); B(1,-1); C(1;3). Imponiamo che la circonferenza x 2 +y 2 +ax+by+c=0 passi per i punti dati (-3) a(-3)+3b+c=0 passaggio per A 1 2 +(-1) 2 +a-b+c=0 passaggio per B a+3b+c=0 passaggio per C Risolvendo: a=2 b=-2 c=-6 Dunque la circonferenza cercata ha equazione x 2 +y 2 +2x-2y-6=0. Ha centro in D(-1,1) e raggio x y O A B C D Mappa Proff. Cornacchia - De Fino

25 Lellisse si ottiene sezionando un cono con un piano inclinato rispetto allasse di rotazione del cono di un angolo maggiore di quello della retta generatrice del cono. Mappa

26 Circonferenza β= 90° Ellisse β> a

27 Ellisse Luogo dei punti del piano per i quali è costante la somma delle distanze da due punti fissi detti fuochi. F1F1 F2F2 Vogliamo ora determinare lequazione dellellisse nel piano cartesiano avente fuochi nei punti F 1 (-c,0) e F 2 (c,0) e tale che la somma costante delle distanze dai fuochi valga 2a. Osserviamo che se i due fuochi coincidono, otteniamo una circonferenza Mappa

28 In un triangolo, la somma di due lati è maggiore del terzo. Se P è un punto dellellisse, deve essere PF 1 +PF 2 >F 1 F 2, dunque 2a>2c, e dunque a>c. Posto b 2 =a 2 -c 2, si dimostra che lequazione dellellisse cercata è Ponendo x = 0, otteniamo y = b; ponendo y=0, invece x = a, dunque lellisse incontra lasse x nei punti A 1 (-a,0), A 2 (a,0) e lasse y nei punti B 1 (0,-b) e B 2 (0,b). Tali punti sono detti vertici dellellisse. y xA1A1 A2A2 B2B2 B1B1 F1F1 F2F2 Il segmento A 1 A 2 è lungo 2a ed è detto asse maggiore; il segmento B 1 B 2 misura 2b e viene detto asse minore. Si noti che lellisse è simmetrico rispetto agli assi. Lintersezione degli assi è detto centro dellellisse. Mappa

29 Esempio Disegnare lellisse di equazione y x A 1 (-3,0) A 2 (3,0) B 2 (0,2) B 1 (0,-2)F1F1 F2F2 Mappa

30 Il rapporto fra la semidistanza focale e il semiasse maggiore è detto eccentricità. Poiché 0

31 Lellisse ha la proprietà che un raggio luminoso che parte da uno dei due fuochi, viene riflessa nellaltro fuoco. Questo vale anche per le onde sonore. Se una persona parla in un fuoco di una stanza a volta ellissoidale, un ascoltatore posto nellaltro fuoco riuscirà ad udire anche i suoni più deboli. Questa proprietà è stata utilizzata nella costruzione di alcuni palazzi rinascimentali, come quello di Schifanoia a Ferrara. Immagine tratta dalla mostra Oltre il compasso. Mappa

32 Le leggi di Keplero governano il moto dei pianeti intorno al sole. Esse affermano che ogni pianeta, nella sua rotazione intorno al sole, descrive unorbita a forma di ellisse, di cui il sole occupa uno dei fuochi. Immagine tratta da Enciclopedia Encarta Mappa

33 L IPERBOLE DA UNA SEZIONE CONICA Liperbole si ottiene sezionando un cono con un piano inclinato rispetto allasse di rotazione del cono di un angolo minore di quello della retta generatrice del cono. Mappa

34 Parabola β= a Iperbole β< a

35 Iperbole Luogo dei punti del piano per i quali è costante la differenza delle distanze da due punti fissi detti fuochi. Vogliamo ora determinare lequazione delliperbole nel piano cartesiano avente fuochi nei punti F 1 (-c,0) e F 2 (c,0) e tale che la differenza costante delle distanze dai fuochi valga 2a. F1F1 F2F2 Mappa

36 In un triangolo ogni lato è minore della differenza degli altri due; pertanto se P è un punto delliperbole, deve essere PF 1 - PF 2

37 F1F1 F2F2 y x Disegniamo le rette di equazione e Queste rette sono dette asintoti. Osserviamo che liperbole è costituito da due rami contenuti nelle porzioni di piano delimitate dagli asintoti. La curva si avvicina sempre di più agli asintoti, senza mai intersecarli. Mappa

38 Esempio Disegnare liperbole di equazione Asintoti: y x A 1 (-3,0) A 2 (3,0) B 1 (-2,0) B 2 (2,0) Mappa Proff. Cornacchia - De Fino

39 Il rapporto fra la semidistanza focale e il semiasse traverso è detto eccentricità. Poiché c>a>0, sarà sempre e>1. Leccentricità misura lapertura dei rami delliperbole; a valori maggiori, corrisponde maggiore apertura dei rami delliperbole. x y e=2 e=1,5 e=1,05 Mappa

40 Uniperbole si dice equilatera se ha i semiassi uguali, ossia se a = b. Lequazione delliperbole equilatera si può riscrivere come x 2 -y 2 =a 2. Gli asintoti hanno per equazione y = x. Essi coincidono con le bisettrici dei quadranti e sono tra loro perpendicolari. Leccentricità delliperbole equilatera vale. Scegliendo un sistema di riferimento in cui gli assi cartesiani coincidono con gli asintoti, lequazione delliperbole equilatera diventa xy = h, con |h|=a 2 /2. y x xy = h, h>0 x xy = h, h<0 y Mappa


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