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Università dell'Insubria - C.d.L. in Banca & Finanza - A.A. 2004-2005 1 Modelli Finanziari nel Tempo Continuo 6 Prodotti di Volatilità e Correlazione Giovanni.

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1 Università dell'Insubria - C.d.L. in Banca & Finanza - A.A Modelli Finanziari nel Tempo Continuo 6 Prodotti di Volatilità e Correlazione Giovanni Della Lunga

2 Università dell'Insubria - C.d.L. in Banca & Finanza - A.A Prodotti Path-Dependent Il metodo Monte Carlo Opzioni Asiatiche Il problema multivariato Alberi Multivariati Prodotti Path-Dependent Il metodo Monte Carlo Opzioni Asiatiche Il problema multivariato Alberi Multivariati Prodotti di Volatilità e Correlazione

3 Università dell'Insubria - C.d.L. in Banca & Finanza - A.A Prodotti Path-Dependent Il valore del prezzo di riferimento o dello strike da utilizzare per il calcolo del pay-off dipendono dai prezzi del sottostante in un periodo di tempo Asiatiche: usano il prezzo medio del sottostante come valore di riferimento (average rate) o strike (average rate). Lookback: lo strike è posto al massimo/minimo su un periodo di riferimento Ladder: lo strike è aggiornato su una griglia di valori prestabiliti ogni volta che il sottostante oltrepassa il livello corrispondente in un periodo di riferimento

4 Università dell'Insubria - C.d.L. in Banca & Finanza - A.A Prodotti Path-Dependent Il metodo Monte Carlo Opzioni Asiatiche Il problema multivariato Alberi Multivariati Prodotti Path-Dependent Il metodo Monte Carlo Opzioni Asiatiche Il problema multivariato Alberi Multivariati Prodotti di Volatilità e Correlazione

5 Università dell'Insubria - C.d.L. in Banca & Finanza - A.A Il metodo Monte Carlo Il metodo Monte Carlo (MC nel seguito) è una tecnica basata sulla simulazione di un numero elevato di possibili scenari rappresentativi dellevoluzione futura delle variabili di rischio da cui dipende il valore di una generica attività finanziaria; Infatti tale tecnica si basa sullidea di approssimare il valore atteso di una determinata funzione finanziaria calcolando la media aritmetica dei diversi risultati ottenuti dalle simulazioni effettuate sul possibile andamento futuro delle variabili da cui essa dipende.

6 Università dell'Insubria - C.d.L. in Banca & Finanza - A.A Il metodo Monte Carlo Metodo Monte Carlo e Integrazione Lidea di base del metodo è del tutto generale; Unestrazione da un campione di numeri casuali può essere utilizzata come stimatore di un integrale Questa espressione può essere interpretata come il valore di aspettazione della funzione f di una variabile aleatoria a valori uniformemente distribuiti nellintervallo [0, 1]

7 Università dell'Insubria - C.d.L. in Banca & Finanza - A.A Il metodo Monte Carlo Spiegazione dellaffermazione precedente Il valore di aspettazione di una funzione di una generica variabile aleatoria con densita g(x) e dominio di valori in è dato da Se consideriamo una variabile x uniformemente distribuita in [0,1] otteniamo

8 Università dell'Insubria - C.d.L. in Banca & Finanza - A.A Il metodo Monte Carlo Diventa così possibile stimare il valore del nostro integrale tramite una media aritmetica di n valori di f(x i ) dove ciascun x i rappresenta un campione estratto da una distribuzione uniforme in [0, 1]. In altre parole possiamo affermare che la quantità rappresenta uno stimatore non distorto di I. La varianza di questa stima risulta pari a:

9 Università dell'Insubria - C.d.L. in Banca & Finanza - A.A Il metodo Monte Carlo lerrore quadratico medio dello stimatore, che può essere interpretato come lerrore quadratico medio della simulazione Monte Carlo, decresce allaumentare di n come Questo risultato risulta del tutto indipendente dalla dimensione del problema. E proprio questultima caratteristica che rende attraente il metodo Monte Carlo per la risoluzione di problemi con un numero elevato di dimensioni. In questo caso tipicamente il metodo Monte Carlo risulta convergere verso il valore finale più velocemente dei metodi numerici tradizionali in cui il numero di iterazioni per raggiungere unapprossimazione prefissata cresce con laumentare del numero di dimensioni.

10 Università dell'Insubria - C.d.L. in Banca & Finanza - A.A Il metodo Monte Carlo

11 Università dell'Insubria - C.d.L. in Banca & Finanza - A.A Il metodo Monte Carlo Passando dal problema generale al caso più specifico della determinazione del valore delle opzioni, si consideri il processo di pricing di unopzione call di tipo europeo; Il punto di partenza consiste nella definizione del processo dinamico seguito dal sottostante; Nel caso dei derivati su indici azionari o su azioni è comune assumere che il sottostante segua un processo di tipo geometrico browniano.

12 Università dell'Insubria - C.d.L. in Banca & Finanza - A.A Lemma di Ito Un processo per i prezzi azionari

13 Università dell'Insubria - C.d.L. in Banca & Finanza - A.A Un processo per i prezzi azionari Nota: In queste formule z rappresenta una variabile aleatoria estratta da una distribuzione normale standard N(0,1).

14 Università dell'Insubria - C.d.L. in Banca & Finanza - A.A Un processo per i prezzi azionari Processi per il Sottostante Generazione Scenari Distribuzione probabilistica dei premi Calcolo della media e dellerrore

15 Università dell'Insubria - C.d.L. in Banca & Finanza - A.A Esempio Programmazione VBA Calcolo del Prezzo di unOpzione con il Metodo Monte Carlo

16 Università dell'Insubria - C.d.L. in Banca & Finanza - A.A Prodotti Path-Dependent Il metodo Monte Carlo Opzioni Asiatiche Il problema multivariato Alberi Multivariati Prodotti Path-Dependent Il metodo Monte Carlo Opzioni Asiatiche Il problema multivariato Alberi Multivariati Prodotti di Volatilità e Correlazione

17 Università dell'Insubria - C.d.L. in Banca & Finanza - A.A Opzioni asiatiche Le opzioni asiatiche sono opzioni il cui valore finale dipende dalla media aritmetica dei prezzi dellattività sottostante, rilevati in date predeterminate: average price call: Le opzioni asiatiche sono meno care delle opzioni ordinarie in quanto il calcolo della media diminuisce di fatto la volatilità del sottostante.

18 Università dell'Insubria - C.d.L. in Banca & Finanza - A.A Opzioni asiatiche Il problema di gran parte delle opzioni asiatiche è che sono scritte su medie aritmetiche del sottostante osservato a diverse date di rilevazione. Nel modello di Black e Scholes, in cui la distribuzione dei prezzi è log-normale, questo crea un problema perché la distribuzione di probabilità di somme di variabili a distribuzione log-normale non è nota. Tecniche di valutazione: Moment matching (Turnbull e Wakeman): la distribuzione della media è approssimata con una distribuzione log-normale con uguale media e varianza. Metodo Monte Carlo: vengono generati scenari per le date di campionamento, calcolati i pay-off per ogni sentiero e ne viene calcolata la media

19 Università dell'Insubria - C.d.L. in Banca & Finanza - A.A Rilevazioni nel tempo discreto Nella pratica dei prodotti di finanza strutturata troviamo che le opzioni asiatiche utilizzano la rilevazione del sottostante su un insieme discreto di date. Spesso la frequenza del piano di campionamento cambia nel corso della vita del prodotto. Possiamo avere rilevazioni mensili il primo anno, trimestrali e negli anni successivi e semestrali negli anni finali Laumento della frequenza delle rilevazioni riduce la volatilità del sottostante e il valore dellopzione.

20 Università dell'Insubria - C.d.L. in Banca & Finanza - A.A Variabile di controllo Il metodo della variabile di controllo mantiene inalterata la funzione di distribuzione campionata, il miglioramento dellefficienza si ottiene in questo caso ricorrendo ad una funzione ausiliaria v(z) correlata a k(z) di cui è noto esattamente lintegrale Il metodo della variabile di controllo funziona bene quando questultima ha un elevato grado di correlazione con la variabile che intendiamo stimare. Una situazione di questo tipo si presenta quando vogliamo conoscere il prezzo di unopzione asiatica se utilizziamo come variabile di controllo il prezzo dellopzione asiatica a media geometrica corrispondente.

21 Università dell'Insubria - C.d.L. in Banca & Finanza - A.A Variabile di controllo

22 Università dell'Insubria - C.d.L. in Banca & Finanza - A.A Variabile di Controllo Applicazione al Pricing di unOpzione Asiatica Se si assume che il prezzo dellattività sottostante, S, sia distribuito in modo log-normale e che S ave sia una media geometrica degli S, possiamo utilizzare delle formule analitiche per valutare le opzioni asiatiche di tipo europeo. Ciò dipende dal fatto che la media geometrica di un insieme di variabili distribuite in modo log-normale è anchessa log-normale. Si può dimostrare che in un mondo neutrale verso il rischio il prezzo di unopzione asiatica scritta su una media geometrica calcolata su m periodi temporalmente equidistanziati... è pari a...

23 Università dell'Insubria - C.d.L. in Banca & Finanza - A.A Variabile di Controllo Applicazione al Pricing di unOpzione Asiatica dove

24 Università dell'Insubria - C.d.L. in Banca & Finanza - A.A Variabile di Controllo Applicazione al Pricing di unOpzione Asiatica

25 Università dell'Insubria - C.d.L. in Banca & Finanza - A.A Variabile di Controllo Applicazione al Pricing di unOpzione Asiatica

26 Università dell'Insubria - C.d.L. in Banca & Finanza - A.A Variabile di Controllo Applicazione al Pricing di unOpzione Asiatica

27 Università dell'Insubria - C.d.L. in Banca & Finanza - A.A Variabile di Controllo Applicazione al Pricing di unOpzione Asiatica

28 Università dell'Insubria - C.d.L. in Banca & Finanza - A.A Variabile di Controllo Applicazione al Pricing di unOpzione Asiatica

29 Università dell'Insubria - C.d.L. in Banca & Finanza - A.A Variabile di Controllo Applicazione al Pricing di unOpzione Asiatica

30 Università dell'Insubria - C.d.L. in Banca & Finanza - A.A Esempio Programmazione VBA Calcolo del Prezzo di unOpzione Asiatica

31 Università dell'Insubria - C.d.L. in Banca & Finanza - A.A Prodotti Path-Dependent Il metodo Monte Carlo Opzioni Asiatiche Il problema multivariato Alberi Multivariati Prodotti Path-Dependent Il metodo Monte Carlo Opzioni Asiatiche Il problema multivariato Alberi Multivariati Prodotti di Volatilità e Correlazione

32 Università dell'Insubria - C.d.L. in Banca & Finanza - A.A Opzioni multivariate Basket: il valore del sottostante è calcolato con una media ponderata di un insieme di titoli Rainbow: utilizzano funzioni diverse per il calcolo del pay-off: opzioni sul massimo o sul minimo di un paniere dei titoli (option on the max/min) opzioni che consentono di scambiare unattività finanziaria con unaltra (exchange option), opzioni scritte sulla differenza di valori tra due sottostanti (spread option), opzioni con strike diversi per ogni titolo del paniere (multi- strike).

33 Università dell'Insubria - C.d.L. in Banca & Finanza - A.A Opzioni basket Per le opzioni basket si pone lo stesso problema che per le opzioni asiatiche. Da un lato se la media del basket fosse geometrica lopzione potrebbe essere prezzata utilizzando la formula di Black e Scholes (medie geometriche di variabili log-normali sono log- normali). Dallaltro in gran parte dei casi si utilizzano medie aritmetiche, nel qual caso la non ne conosciamo la distribuzione. Anche in questo caso le alternative sono due Moment matching Simulazione Monte Carlo

34 Università dell'Insubria - C.d.L. in Banca & Finanza - A.A Misure di co-dipendenza Distribuzioni Marginali Data la distribuzione congiunta di due variabili x ed y la funzione di densità marginale di x è definita come E, analogamente,

35 Università dell'Insubria - C.d.L. in Banca & Finanza - A.A Misure di co-dipendenza Indipendenza Due variabili x ed y si dicono indipendenti se la loro funzione densità congiunta si fattorizza nel prodotto delle densità marginali

36 Università dell'Insubria - C.d.L. in Banca & Finanza - A.A Correlazione Lineare Ricordiamo la definizione di correlazione lineare tra due variabili x ed y Misure di co-dipendenza

37 Università dell'Insubria - C.d.L. in Banca & Finanza - A.A Correlazione Lineare Spesso si ritiene che la conoscenza del coefficiente di correlazione lineare unitamente alla specificazione delle distribuzioni marginali, permetta di determinare la distribuzione di probabilità congiunta. In realtà questo è vero solo per certe classi di distribuzioni tra cui la distribuzione normale. In generale quindi linferenza Non è valida Misure di co-dipendenza

38 Università dell'Insubria - C.d.L. in Banca & Finanza - A.A Oltre lindice di correlazione lineare La correlazione lineare è un buona misura di co-dipendenza per variabili normali. Per distribuzioni che non sia allontanano troppo dalla normalità continua a fornire indicazioni utili ma allallontanarsi da queste condizioni (in molti casi soltanto ideali) lindice di correlazione lineare fornisce risultati sempre più fuorvianti! Lindice di correlazione lineare non è invariante rispetto a trasformazioni non lineari delle variabili. A differenza degli stimatori non-parametrici, lindice di correlazione lineare può non coprire lintero range da – 1 a + 1, rendendo problematica linterpretazione del grado di dipendenza Misure di co-dipendenza

39 Università dell'Insubria - C.d.L. in Banca & Finanza - A.A Variabili Normali Multivariate Cholescky Decomposition Indichiamo con X un vettore di variabili aleatorie indipendenti ciascuna delle quali distribuita secondo una normale standard, la matrice di varianza- covarianza di X sarà pertanto data dalla matrice unità di dimensione n n. Supponiamo di voler derivare da questo insieme di variabili un secondo set di variabili, che indicheremo con Y, non più indipendenti bensì dotato di matrice di varianza-covarianza assegnata. Il nuovo insieme di variabili aleatorie può essere ricercato come combinazione lineare delle variabili indipendenti, cioè si pone Il problema si riconduce così alla determinazione di una matrice A di dimensione n n tale che

40 Università dell'Insubria - C.d.L. in Banca & Finanza - A.A Variabili Normali Multivariate

41 Università dell'Insubria - C.d.L. in Banca & Finanza - A.A Cholescky Decomposition La soluzione della precedente equazione non è unica nel senso che esistono più matrici A che, moltiplicate per la loro trasposta, danno come risultato. Se la matrice è definita positiva il metodo più efficiente dal punto di vista computazionale per risolvere il problema consiste nellapplicazione della scomposizione di Cholescky. Variabili Normali Multivariate Il punto chiave di tale metodologia consiste nel ricercare A nella forma di una matrice triangolare inferiore, ovvero una matrice in cui tutti gli elementi sopra la diagonale sono nulli,

42 Università dell'Insubria - C.d.L. in Banca & Finanza - A.A Cholescky Decomposition Sviluppando il prodotto AA t in componenti è facile verificare che gli elementi di A sono ricavabili dalle seguenti formule iterative Ad esempio per il caso semplice di due variabili troviamo Variabili Normali Multivariate

43 Università dell'Insubria - C.d.L. in Banca & Finanza - A.A Esempio Programmazione VBA Cholesky Decomposition

44 Università dell'Insubria - C.d.L. in Banca & Finanza - A.A Prodotti Path-Dependent Il metodo Monte Carlo Opzioni Asiatiche Il problema multivariato Alberi Multivariati Prodotti Path-Dependent Il metodo Monte Carlo Opzioni Asiatiche Il problema multivariato Alberi Multivariati Prodotti di Volatilità e Correlazione

45 Università dell'Insubria - C.d.L. in Banca & Finanza - A.A Alberi Binomiali in più dimensioni E relativamente semplice costruire un albero in tre dimensioni per rappresentare i movimenti di due variabili non correlate; Dapprima si costruisce separatamente un albero a due dimensioni per ciascuna delle due variabili; quindi si combinano i due alberi in un solo albero a tre dimensioni. Le probabilità relative ai rami del nuovo albero sono pari al prodotto delle probabilità dei corrispondenti rami degli alberi a due dimensioni.

46 Università dell'Insubria - C.d.L. in Banca & Finanza - A.A Alberi Binomiali in più dimensioni Si supponga ad esempio che le variabili siano date dai prezzi S 1 ed S 2. Ciascuna di queste due variabili può essere rappresentata in due dimensioni da un albero binomiale CCR; supponiamo che p 1 sia la probabilità che S 1 aumenti e 1-p 1 la probabilità che diminuisca, analogamente con p 2 e S 2 ; nellalbero a tre dimensioni ci saranno quindi quattro rami che vengono generati da ciascun nodo con le seguenti probabilità p 1 p 2 S 1 aumenta, S 2 aumenta p 1 (1-p 2 )S 1 aumenta, S 2 diminuisce (1-p 1 )p 2 S 1 diminuisce, S 2 aumenta (1-p 1 )(1-p 2 )S 1 diminuisce, S 2 diminuisce

47 Università dell'Insubria - C.d.L. in Banca & Finanza - A.A Alberi Binomiali in più dimensioni Il caso più interessante è naturalmente quello in cui le variabili siano correlate; Rubinstein ha suggerito un modo di costruire un albero a tre dimensioni disponendo i nodi secondo un approccio binomiale; Dal nodo (S1, S2) si può passare ad uno dei seguenti nodi con probabilità 0.25 (albero con probabilità uguali lungo i rami, tipo JR):

48 Università dell'Insubria - C.d.L. in Banca & Finanza - A.A Alberi Binomiali in più dimensioni Deriva dalla Cholesky Decomposition

49 Università dell'Insubria - C.d.L. in Banca & Finanza - A.A Opzioni con due sottostanti: Alcuni Esempi Spread Options callmax(0, Q1S1-Q2S2-X) putmax(0,X+Q2S2-Q1S1) Opzione sul massimo callmax(0,max(Q1S1,Q2S2)-X) putmax(0,X-max(Q1S1,Q2S2)) Opzione sul minimo call max(0,min(Q1S1,Q2S2)-X) putmax(0,X-min(Q1S1,Q2S2)) Dual Strike Options call max(0,(Q1S1-X1),(Q2S2- X2)) putmax(0,(X1-Q1S1),(X2- Q2S2)) Reverse Dual Strike Options callmax(0,(Q1S1-X1),(X2- Q2S2)) putmax(0,(X1-Q1S1),(Q2S2- X2)) Portfolio Options callmax(0, (Q1S1+Q2S2)-X) putmax(0,X-(Q1S1+Q2S2)) Exchange Options max(0,Q2S2-Q1S1)

50 Università dell'Insubria - C.d.L. in Banca & Finanza - A.A Esempio Programmazione VBA Albero Binomiale con Correlazione

51 Università dell'Insubria - C.d.L. in Banca & Finanza - A.A Bibliografia S. Benninga Modelli Finanziari – La finanza con Excel McGraw-Hill (2001) U. Cherubini, G. Della Lunga Matematica Finanziaria – Applicazioni con VBA per Excel McGraw-Hill (2001) U. Cherubini, G. Della Lunga Il Rischio Finanziario McGraw-Hill (2000) E. Gaarder Haug The Complete Guide to Option Pricing Formulas McGraw-Hill (1998) M. Jackson, M. Staunton Advanced Modelling in Finance using Excel and VBA Wiley Finance (2001)

52 Università dell'Insubria - C.d.L. in Banca & Finanza - A.A


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