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La ricerca delle relazioni tra fenomeni. Analisi della dipendenza concetti generali Oltre alla variabilità di un solo fenomeno si può esaminare la variabilità

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Presentazione sul tema: "La ricerca delle relazioni tra fenomeni. Analisi della dipendenza concetti generali Oltre alla variabilità di un solo fenomeno si può esaminare la variabilità"— Transcript della presentazione:

1 La ricerca delle relazioni tra fenomeni

2 Analisi della dipendenza concetti generali Oltre alla variabilità di un solo fenomeno si può esaminare la variabilità di due serie di valori associati nei singoli termini Se su una stessa unità statistica si possono rilevare due o più caratteri è interessante studiare la relazione tra questi caratteri Esistono diversi tipi di relazioni statistiche e diversi indici che ne forniscono la misura Durante laccrescimento si possono analizzare le variazioni del peso e della statura considerate singolarmente Può essere necessario accertare se i due caratteri antropometrici si modificano insieme cioè se a variazioni del peso corrispondono variazioni della statura e viceversa

3 Le relazioni tra variabili Per definire il tipo di relazione occorre studiare come varia una variabile rispetto allaltra Tra due caratteri X e Y vi può essere concordanza concordanza quando alla variazione positiva delluno corrisponde una variazione positiva dellaltro discordanza discordanza quando alla variazione positiva delluno corrisponde una variazione negativa dellaltro costanza costanza quando al variare delluno laltro non varia ma rimane costante

4 Il diagramma di dispersione Per studiare la forma della variabilità di due fenomeni si utilizzano i diagrammi cartesiani riportando i valori di uno dei due fenomeni sullasse delle ascisse e quelli sullasse delle ordinate. Nel piano delimitato dai due assi si possono individuare i singoli punti che corrispondono alla combinazione dei due valori considerati (nuvola di punti) Il grafico viene definito diagramma di dispersione y..... x

5 La rappresentazione analitica La rappresentazione analitica di una variabile statistica determina una funzione matematica che rappresenta nel modo migliore la distribuzione del fenomeno Si sostituisce al diagramma rappresentativo della distribuzione una curva teorica Si tratta di determinare una funzione che passi tra i punti e, invece di rispecchiare fedelmente i valori osservati, rappresenti la distribuzione depurandola dagli errori casuali e/o sistematici Ladattamento della funzione ai dati consente di risolvere il problema dellinterpolazione che consente di stimare nuovi valori

6 Linea di interpolazione e linea di regressione Si può far passare una linea tra i punti della nuvola definita linea interpolatrice che può evidenziare il tipo di relazione tra le variabili (retta di migliore adattamento) concordanza discordanza indifferenza La linea interpolatrice che passa più vicina ai punti sul piano viene definita linea di regressione

7 Le fasi della rappresentazione analitica Scelta del tipo di funzione si deve formulare un modello matematico che fornisca una descrizione soddisfacente del fenomeno in esame( es. esame visivo dei dati) Calcolo dei parametri incogniti Verifica della bontà delladattamento

8 Retta di regressione di y su x Tracciare una retta interpolatrice (retta di migliore adattamento) significa determinare lequazione di una retta che meglio si adatti alla nuvola di punti Una retta presenta un buon adattamento rispetto a una generica nuvola di punti quando rende piccolo lerrore totale Y y i x 1 x 2 x i X

9 Retta di regressione di y su x Lerrore totale è la distanza verticale dal valore osservato y alla linea interpolante (y i – y i ) in cui y i è il valore interpolato di y Y y i x 1 x 2 x i X

10 Lequazione generica di una retta che meglio si adatta alla nuvola di punti è del tipo y = a + b x Dove y è la variabile dipendente x è la variabile indipendente a è il punto di intersezione della retta sullasse delle Y(ordinate) b è il punto di inclinazione della retta, coefficiente angolare della retta (pendenza della retta) Il parametro b si chiama coefficiente di regressione e fornisce la variazione che in media subisce la variabile dipendente quando la variabile indipendente subisce un incremento unitario Equazione della retta

11 Il coefficiente di regressione Partendo dalla relazione y = a + b x Es. X=0 risulta y 0 = a X =1 risulta y 1 = a + b La variabile dipendente è aumentata di b quando la variabile indipendente è aumentata di una unità Il coefficiente di regressione può essere assunto come misura di dipendenza in media della Y alla X Se il coefficiente è positivo (b>0) ad un incremento di X corrisponde un incremento di Y (concordanza) Se è negativo (b<0) ad un incremento di X corrisponde un decremento della Y (discordanza)

12 Metodo dei minimi quadrati Per determinare i valori di a e di b si fa ricorso al metodo dei minimi quadrati Consente di individuare, tra i punti empirici ottenuti dalle rilevazioni, la retta che minimizza le distanze- calcolate sulle verticali dellasse delle ascisse – tra i valori empirici e quelli teorici che giacciono su di essa (y i – y i ) 2 = minimo y i = le ordinate empiriche (le ordinate dei punti che sono rappresentati sul diagramma di dispersione) y i = le ordinate teoriche (le ordinate dei punti che giacciono sulla retta) (y i – y i ) =lo scarto generico (la distanza verticale tra i valori empirici e quelli teorici)

13 Calcolo della retta di regressione Attraverso il metodo dei minimi quadrati si ottengono i valori di a e di b (y = a + bx) a = y – bx con x = media di x y = media di y La quantità al numeratore prende il nome di codevianza tra x e y La quantità al denominatore è la devianza di x che rappresenta il numeratore della varianza

14 Analisi della regressione Nella tabella sono riportati i valori assunti da due variabili quantitative (età e pressione sistolica) misurate in 8 soggetti Soggetto n.° X i età (anni) Y i PAS Di quanto varia la pressione sistolica allaumentare delletà ? Lanalisi della regressione consente di rispondere a questa domanda

15 Analisi della regressione di quanto aumenta mediamente la PAS con laumentare di ogni anno di età ? a = y – bx b = / = 1.54 a = – ( ,4) = y= 68, x PAS = Lintercetta è quel valore che assume la variabile dipendente quando quella indipendente è uguale a 0 PAS = età il coefficiente di regressione esprime quanto varia mediamente la variabile dipendente con il variare di ununità della variabile indipendente

16 Definizione Si definisce come regressione la relazione statistica esistente tra due variabili legate da rapporto di causa ed effetto tali che, le variazioni delluna determinano le variazioni dellaltra La variabile che si modifica in conseguenza dellaltra si dice dipendente mentre quella che ne determina le variazioni si definisce indipendente Indicando con x la variabile indipendente e con y la variabile dipendente si dice che y varia in funzione di x perché esiste una funzione matematica che permette di calcolare le variazioni di y per ogni determinata variazione di x y = (f) x

17 Analisi della interdipendenza la correlazione Lanalisi della regressione lineare mostra in che modo le variabili sono legate tra loro tanto da poter predire il valore di una variabile a partire dallaltra È importante esaminare il grado di tale relazione: se la relazione è molto debole non ha alcun senso utilizzare la variabile X per predire la variabile Y Lanalisi della correlazione spesso assume unimportanza superiore a quella di regressione o, comunque, viene effettuata prima.

18 La correlazione Mentre con la regressione si stima una funzione (equazione di regressione), con lanalisi della correlazione si ottiene solo un numero (indice) che esprime quanto le variabili si muovono insieme Si cerca di studiare linterdipendenza intesa come concordanza o discordanza: si vuole studiare se variando un carattere in un verso, anche laltro carattere varia nello stesso senso o in senso contrario Lindice sintetico da costruire mostrerà sia lesistenza della relazione sia il grado di tale relazione

19 Correlazione nulla Correlazione positiva Correlazione negativa

20 Analisi della correlazione Nella tabella sono riportati i valori assunti da due variabili quantitative (età e pressione sistolica) misurate in 8 soggetti Soggetto n.° X i età (anni) Y i PAS Età e pressione tendono ad essere associate? Allaumentare di una delle due variabili varia anche laltra? In caso affermativo allaumentare di una variabile laltra aumenta o diminuisce? Lanalisi della correlazione consente di rispondere a queste domande

21 Correlazione lineare Il coefficiente di correlazione lineare di Bravais-Pearson misura la relazione lineare esistente tra i caratteri X e Y rilevati sulle N unità statistiche Il coefficiente di correlazione r può assumere valori che vanno da +1 a -1 passando per 0. La correlazione perfetta tra due variabili è espressa sia da +1 che da -1 Quando una variabile aumenta allaumentare dellaltra la correlazione è positiva; quando invece diminuisce allaumentare dellaltra la correlazione è negativa

22 Calcolo coefficiente di correlazione es. E stato rilevato il peso in e la statura su 10 unità. Il ricercatore rappresenta un diagramma di dispersione per verificare se larea coperta dai punti sia approssimabile a una retta. Lanalisi visiva mostra che allaumentare del peso la statura aumenta in modo quasi lineare e viceversa statura (x,cm.) peso (y,g) (y-x)cm (y-y)g. (x-x) (y-y) (x-x) 2 cm 2 (y-y) 2 g

23 Calcolo del coefficiente Il coefficiente di correlazione è calcolato a partire dalle coppie di valori osservati Si calcola la media di entrambe le variabili Si calcolano le deviazioni di ogni singola osservazione dalla propria media, sia per la variabile x che per la variabile y Se le due variabili sono positivamente associate, una deviazione di segno positivo per la x tenderà a corrispondere ad una deviazione positiva per la y e, viceversa, una negativa per la x si assocerà ad una negativa per la y In entrambi i casi il prodotto delle due deviazioni sarà una quantità positiva. Se le due variabili sono negativamente associate, quando una avrà una deviazione positiva, laltra tenderà ad avere una negativa e viceversa così che il prodotto delle deviazioni tenderà ad essere una quantità negativa

24 Calcolo coefficiente di correlazione La tabella per il calcolo di r riporta N=10, X = ΣX/n =369/ cm.; Y = ΣY/n= /10=10.38 g. Pertanto Σ(X-X) (Y-Y)=99,9 g. cm. ; Σ(X-X) 2 =224.9 cm. 2 Σ(Y-Y) 2 =51.8 g. 2 Sostituendo i numeri alla definizione di r si ottiene che rappresenta una ottima correlazione positiva

25 Grado di associazione tra due variabili r grado di associazione >0,75 molto buono/eccellente moderato/ buono ,50 discreto 0.25 trascurabile

26 Attenzione!! Tra due fenomeni esiste relazione statistica quando a variazioni di un fenomeno corrispondono variazioni dello stesso segno o di segno opposto dellaltro fenomeno Lesistenza di una relazione statistica tra due fenomeni indica la possibilità non la necessità che vi sia un rapporto di causa ed effetto Due fenomeni si possono modificare insieme pur senza alcuna dipendenza tra loro perché entrambi possono dipendere da un terzo fenomeno non incluso nello analisi della relazione Mortalità cancro al polmone fumo sigarette, inquinamento... Mortalità cancro al polmone n.° automobili circolanti Terzo fattore Correlazione spuria

27 Coefficiente di determinazione Si dice che esiste regressione lineare quando alle variazioni della variabile indipendente x corrispondono variazioni proporzionali della variabili dipendente y La forma della regressione è rappresentata dalla retta di regressione ed esiste una funzione matematica che permette di calcolare le variazioni di y per ogni determinata variazione di x Per valutare la bontà delladattamento della funzione lineare ai punti empirici si utilizza la misura definita coefficiente di determinazione r 2 è un indice di accostamento della retta di regressione alla nuvola dei punti ed esprime quanta parte di varianza di una variabile èspiegata dalla variabilità dellaltra. Assume valori nellintervallo (0,1)

28 Coefficiente di determinazione Nellesempio precedente il coefficiente di correlazione r = 0,92 Il coefficiente di determinazione r 2 = 0,92 2 = 0,85 = (85%) Ne consegue che 100 – 85= 15% della variazione del peso non è spiegabile con la variazione dellaltezza


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