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IL TEOREMA DI PITAGORA GENERALIZZATO A.Martini. Consideriamo un triangolo scaleno.

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Presentazione sul tema: "IL TEOREMA DI PITAGORA GENERALIZZATO A.Martini. Consideriamo un triangolo scaleno."— Transcript della presentazione:

1 IL TEOREMA DI PITAGORA GENERALIZZATO A.Martini

2 Consideriamo un triangolo scaleno

3

4 A B C b a c H

5 Adesso scomodiamo la matematica per fare una serie di operazioni su questo triangolo scaleno

6 Non chiedertene il motivo. Lo so che sembrano operazioni inutili o comunque gratuite

7 Ne capirai il significato solo alla fine della dimostrazione. Abbi pazienza: è così che si procede di solito.

8 Io non ti spiegherò ogni singolo passaggio: per esercizio cerca di capirlo da solo,

9 i passaggi che non comprendi segnateli sul quaderno delle domande e poi chiedi spiegazione al prof.

10 A B C b a c H

11 A B C b a c H AB =AH + HB

12 A B C b a c H AB =AH + HB AH = b cos

13 A B C b a c H AB =AH + HB AH = b cos HB = a cos

14 A B C b a c H AB =AH + HB AH = b cos HB = a cos AB = c

15 A B C b a c H c = b cos + a cos AH = b cos HB = a cos AB = c AB =AH + HB

16 A B C b a c H c = b cos + a cos

17 A B C a c H c = b cos + a cos b E possibile, come ci insegna la trigonometria, passare da questa ad altre formule corrette sostituendo ad ogni lettera quella corrispondente successiva, seguendo una rotazione in senso antiorario (o orario).

18 A B C a c H c = b cos + a cos b a =

19 A B C a c H c = b cos + a cos b a = c

20 A B C a c H c = b cos + a cos b a = c cos

21 A B C a c H c = b cos + a cos b a = c cos + b

22 A B C a c H c = b cos + a cos b a = c cos + b cos

23 A B C a c H c = b cos + a cos b a = c cos + b cos b = a cos + c cos

24 A B C a c H c = b cos + a cos b a = c cos + b cos b = a cos + c cos

25 A B C a c H c = b cos + a cos b a = c cos + b cos b = a cos + c cos moltiplichiamo ambo i membri per: c -a b

26 A B C a c H c 2 = bc cos + ac cos b a = c cos + b cos b = a cos + c cos moltiplichiamo ambo i membri per: c -a b

27 A B C a c H c 2 = bc cos + ac cos b -a 2 = -ac cos - ab cos b = a cos + c cos moltiplichiamo ambo i membri per: c -a b

28 A B C a c H c 2 = bc cos + ac cos b -a 2 = -ac cos - ab cos b 2 = ab cos + bc cos moltiplichiamo ambo i membri per: c -a b

29 A B C a c H c 2 = bc cos + ac cos b -a 2 = -ac cos - ab cos b 2 = ab cos + bc cos sommiamo membro a membro:

30 A B C a c H c 2 = bc cos + ac cos b -a 2 = -ac cos - ab cos b 2 = ab cos + bc cos sommiamo membro a membro: c 2 -a 2 + b 2 = bc cos + accos -ac cos -ab cos ab cos + bc cos

31 A B C a c H c 2 = bc cos + ac cos b -a 2 = -ac cos - ab cos b 2 = ab cos + bc cos sommiamo membro a membro: c 2 -a 2 + b 2 = bc cos + accos -ac cos -ab cos ab cos + bc cos

32 A B C a c H c 2 = bc cos + ac cos b -a 2 = -ac cos - ab cos b 2 = ab cos + bc cos semplifichiamo: c 2 -a 2 + b 2 = bc cos + accos -ac cos -ab cos ab cos + bc cos

33 A B C a c H c 2 = bc cos + ac cos b -a 2 = -ac cos - ab cos b 2 = ab cos + bc cos semplifichiamo: c 2 -a 2 + b 2 = bc cos + accos -ac cos -ab cos ab cos + bc cos

34 A B C a c H c 2 = bc cos + ac cos b -a 2 = -ac cos - ab cos b 2 = ab cos + bc cos semplifichiamo:

35 c 2 -a 2 + b 2 = bc cos + accos -ac cos -ab cos ab cos + bc cos A B C a c H c 2 = bc cos + ac cos b -a 2 = -ac cos - ab cos b 2 = ab cos + bc cos semplifichiamo:

36 c 2 -a 2 + b 2 = bc cos + accos -ac cos -ab cos ab cos + bc cos A B C a c H c 2 = bc cos + ac cos b -a 2 = -ac cos - ab cos b 2 = ab cos + bc cos semplifichiamo:

37 A B C a c H c 2 = bc cos + ac cos b -a 2 = -ac cos - ab cos b 2 = ab cos + bc cos semplifichiamo: c 2 -a 2 + b 2 = bc cos + bc cos

38 c 2 -a 2 + b 2 = bc cos + bc cos = 2bc cos A B C a c H c 2 = bc cos + ac cos b -a 2 = -ac cos - ab cos b 2 = ab cos + bc cos semplifichiamo:

39 c 2 -a 2 + b 2 = 2bc cos A B C a c H b

40 c 2 -a 2 + b 2 = 2bc cos A B C a c H b -a 2 = - b 2 - c 2 + 2bc cos

41 c 2 -a 2 + b 2 = 2bc cos A B C a c H b -a 2 = - b 2 - c 2 + 2bc cos a 2 = b 2 + c 2 - 2bc cos

42 A B C a H b a 2 = b 2 + c 2 - 2bc cos c

43 A B C a H b a 2 = b 2 + c 2 - 2bc cos c

44 A B C a H b a 2 = b 2 + c 2 - 2bc cos c

45 A B C a c H b a 2 = b 2 + c 2 - 2bc cos

46 A B C a c H b a 2 = b 2 + c 2 - 2bc cos

47 A B C a c H b a 2 = b 2 + c 2 - 2bc cos

48 A B C a c H b a 2 = b 2 + c 2 - 2bc cos Teorema di Pitagora generalizzato: Il quadrato costruito su un lato di un triangolo scaleno è uguale alla somma dei quadrati costruiti su gli altri due lati, meno il doppio prodotto di questi per il coseno dellangolo fra essi compreso.

49

50 La SOMMA DI DUE VETTORI con il teorema di Pitagora generalizzato

51 Adesso applichiamo questo teoria matematico ad un caso particolarmente utile:

52 Consideriamo due vettori qualsiasi e sommiamoli graficamente, come sappiamo già fare.

53 m n

54 m n

55 m n

56 m n V

57 m n V h

58 m n V h

59 m n V h h

60 m n V h h n

61 m n V h h n Applichiamo il teorema di Pitagora generalizzato al triangolo giallo

62 m n V h h n Applichiamo il teorema di Pitagora generalizzato al triangolo giallo V 2 = m 2 + n 2 - 2mn cos

63 m n V h h n Applichiamo il teorema di Pitagora generalizzato al triangolo giallo V 2 = m 2 + n 2 - 2mn cos poiché è:

64 m n V h h n Applichiamo il teorema di Pitagora generalizzato al triangolo giallo V 2 = m 2 + n 2 - 2mn cos poiché è: si ha: cos cos

65 m n V h h n Applichiamo il teorema di Pitagora generalizzato al triangolo giallo V 2 = m 2 + n 2 + 2mn cos poiché è: si ha: cos cos

66 m n V Applichiamo il teorema di Pitagora generalizzato al triangolo giallo V 2 = m 2 + n 2 + 2mn cos

67 Come vedi, si può calcolare lintensità del vettore risultante tra due vettori senza fare disegni

68 conoscendo lintensità dei due vettori e langolo fra essi compreso

69 m n V Applichiamo il teorema di Pitagora generalizzato al triangolo giallo V = m 2 + n 2 + 2mn cos

70 Determiniamo la direzione di V V 2 = m 2 + n 2 + 2mn cos m n V h h n

71 Determiniamo la direzione di V V 2 = m 2 + n 2 + 2mn cos m n V h h n h = n sen

72 Determiniamo la direzione di V V 2 = m 2 + n 2 + 2mn cos m n V h h n h = n sen h = V sen

73 Determiniamo la direzione di V V 2 = m 2 + n 2 + 2mn cos m n V h h n h = n sen h = V sen n sen = V sen

74 Determiniamo la direzione di V V 2 = m 2 + n 2 + 2mn cos m n V h h n h = n sen h = V sen n sen = V sen sen = (n/V) sen

75 Come vedi, si può determinare la direzione del vettore risultante, calcolando langolo fra la sua direzione e quella di uno dei due vettori componenti

76 m n V sen = (n/V) sen

77 Esercizio Esperienze

78 Teoria: la reazione vincolare La 1^ condizione di equilibrio Come pesare un carrello senza bilancia

79 ESERCIZIO

80 70° S 1 =46m S 2 =30m

81 70° S 1 =46m S 2 =30m Il nostro amico sa che in uno di questi sacchi cè un tesoro, mentre negli altri ci sono solamente serpenti. Sa anche che per raggiungere il sacco potrebbe avanzare per 46 metri nella direzione rossa e poi per 30 metri in quella blu, che forma con la rossa un angolo di 70°. Però può raggiungere il sacco con il tesoro procedendo in una sola direzione e non fermandosi mai se non per raccogliere il sacco. Sapresti indicargli che cosa fare?

82 70° S 1 =46m S 2 =30m

83 Ti suggerisco solo la risposta perché tu possa controllare se hai fatto bene.

84 Procedi per 59,1 m in direzione 28,5° rispetto alla direzione rossa fine


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