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1 IL QUESTIONARIO e le considerazioni dei commissari di Matematica a cura della Prof.ssa Serenella Iacino Roma, 13 Novembre 2013.

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1 1 IL QUESTIONARIO e le considerazioni dei commissari di Matematica a cura della Prof.ssa Serenella Iacino Roma, 13 Novembre 2013

2 2 sui risultati della prova scritta di Matematica nei licei scientifici ordinamento e sperimentali ha interessato L Indagine Nazionale del 2013 assegnati a 2˙916 Commissioni su un totale di 3˙ ˙436 studenti 119˙822 candidati su un totale di

3 3 La partecipazione delle Commissioni alla QUESTIONARIO ha riscosso questanno una elevata adesione che, in alcune regioni, ha sfiorato il Indagine Nazionale attraverso la compilazione di un 90%.

4 4 che si sono svolte in tutte le regioni nellanno scolastico 2012 – 2013 organizzate dai rispettivi Questo risultato è stato ottenuto grazie allimpegno dei REFERENTI REGIONALI oltre che al successo delle GIORNATE MATEMATICHE UFFICI SCOLASTICI REGIONALI

5 5 compilati dai Commissari nel 2013 sono stati I Questionari 3˙438 e ogni questionario ha riguardato 1 o 2 classi.

6 6 Numero dei questionari delle Commissioni per regione Abruzzo Basilicata Calabria Campania Friuli Lazio Liguria Lombardia Marche Molise Piemonte Puglia Sardegna Sicilia Toscana Trentino Umbria Val dAosta Veneto Emilia Romagna

7 7 Le percentuali per regione

8 8 Nel Questionario sono stati coinvolti più di 1) modalità di articolazione della prova scritta in che hanno espresso un parere sulle seguenti tematiche 600 docenti 2) contenuti della traccia, in particolare sulla 3) difficoltà palesate dai candidati; 4) valutazioni attribuite agli elaborati desame; 5) modifiche ed integrazioni al Syllabus problemi e quesiti; insegnamento effettivamente svolti; rispondenza della stessa ai programmi di

9 9 IL SYLLABUS formulazione delle tracce di esame proposte realizzato nellanno 2009, ha rappresentato un elenco preciso e dettagliato di quanto deve essere accertato in sede di prova scritta; il riferimento per la definizione e la in questi anni.

10 10 un Nuovo Syllabus delle conoscenze, delle abilità e delle competenze da accertare nel Nuovo Esame di Stato che sarà, nel 2015, in linea con le Indicazioni Nazionali Si vuole ora preparare

11 11 sono stati inoltre invitati ad adottare criteri comuni per I docenti delle Commissioni la valutazione della prova scritta di matematica utilizzando una griglia di valutazione con dei ciascuna parte della traccia pesi prefissati, a livello nazionale, per

12 12 Una griglia così articolata consente una maggiore uniformità di giudizio rende comparabili i risultati di apprendimento.

13 13 che è suddiviso in questionario 2013.doc Tutto questo è presente nel 5 tabelle

14 14 Le 5 tabelle nel dettaglio

15 15 riguarda la scelta, da parte dei candidati, del La tabella A problema e dei 5 quesiti tra quelli proposti, nonché il punteggio relativo ottenuto

16 16 Griglia Nazionale di valutazione La tabella B parte dei Commissari di Matematica della riguarda la scelta o meno dell utilizzo da del problema e dei quesiti

17 17 rileva se i commissari di matematica ritengano di La tabella C problemi e quesiti. mantenere o meno larticolazione della traccia in

18 18 1)rispondenza della traccia proposta con i La tabella D si occupa degli aspetti didattici 2)livello di complessità dei calcoli da utilizzare ovvero: programmi effettivamente svolti; per svolgere la prova;

19 19 4) complessità nella risoluzione della traccia; 5) difficoltà incontrate dai candidati: 3)chiarezza del testo della traccia proposta; se dipendenti da argomenti non trattati in classe se dipendenti dalla novità della formulazione

20 20 e infine coerenti con La tabella E e se, in caso contrario, quali siano gli il Syllabus 2009 e con le Indicazioni Nazionali in cui si chiede se i problemi ed i quesiti siano argomenti da non riproporre e quali da introdurre a partire dalla sessione 2015

21 21 LA TRACCIA ORDINAMENTO 2013

22 22

23 23 facilmente calcolabile mediante semplice integrazione: Il soggetto principale del problema è la funzione integrale: f(x) = 0 x t 2 [cos( ) + ] dt 1 2 2sen( ) + x f(x) = x 2 1 2

24 24 La prima domanda chiede di determinare f(x) mediante lapplicazione del Teorema fondamentale del calcolo: e di determinare il grafico di f(x) mediante una x 2 f(x) = cos( ) di vettore v (0, ); procedura sintetica e cioè partendo dal grafico di x 2 y = cos( ) e applicando a questo una traslazione

25 25 La seconda domanda chiede di determinare il grafico di f(x) deducendolo da quello di f(x) f(x)

26 26 La terza domanda chiede il valor medio di f(x) sull intervallo [0,2Π] mediante lapplicazione del teorema del valor medio: Valor medio = 0 2Π2Π 1 2Π2Π x 2 [cos( ) + ] dx =

27 27 La quarta domanda chiede il volume di un solido a fettine: Volume = 0 4 ΠxΠx 4 3sen( ) dx = 24 Π Area(x) dx = 0 4

28 28 Il problema è interamente basato sui concetti dellAnalisi del 5° anno e cioè: 1) Il Teorema fondamentale del Calcolo 2) Il valor medio di una funzione su un intervallo 3) Il calcolo dei volumi 4) Lo studio del grafico di una funzione

29 29

30 30 Il soggetto principale del 2° problema è la funzione chiamata Versiera di Agnesi 8 f(x)= 4 + x 2

31 31 Nella prima domanda si chiede di studiare la funzione e determinarne il grafico: 0 -0,5 0,5 1 1, ,5 0,5 1 1, ,5 -1,5-2,5 f(x)

32 32 Inoltre si chiede di determinare: -0,5 0,5 1 1,5 2 -0,5 0,5 1 1, ,5 -1,5-2,5 P Q M O e di considerare il rombo individuato dalle due tangenti con le rette OP e OQ e di calcolare i suoi angoli: le equazioni delle rette tangenti alla curva in due suoi punti P e Q

33 33 Nella seconda domanda si chiede di riconoscere in f(x) lequazione del luogo geometrico di un punto, costruito con un procedimento che considera una circonferenza di raggio unitario e centro C (0,1) e due rette di cui una per lorigine e laltra y = 2 parallela allasse x. -0,5 0,5 1 1,5 2 -0,5 0,5 1 1, ,5 -1,5-2,5 B A O C y = 2 y = mx

34 34 -0,5 0,5 1 1,5 2 -0,5 0,5 1 1, ,5 -1,5-2,5 O Nella terza domanda si chiede di calcolare larea della zona R compresa tra il grafico di f(x) e lasse x nellintervallo [0,2] R x dx = Π

35 35 -0,5 0,5 1 1,5 2 -0,5 0,5 1 1, ,5 -1,5-2,5 O e larea della zona compresa tra f(x) e tutto lasse x : x 2 - dx = 4Π +

36 36 Nella quarta domanda si chiede di calcolare il volume del solido ottenuto ruotando la regione R intorno allasse y: -0,5 0,5 1 1,5 2 -0,5 0,5 1 1, ,5 -1,5-2,5 O R = 8Πln2 2 - y y Vol = 4Π1 + Π g (y) dy = 4Π1 + 4 Π 1 2 dy =

37 37 Il problema è basato sui seguenti concetti dellAnalisi, della Geometria e Trigonometria: 1) Studio del grafico di una funzione 3) Angolo tra due rette 2) Equazione di un retta tangente ad una curva 4) Equazione di un luogo geometrico 5) Calcolo di unarea mediante un integrale 6) Calcolo del volume di un solido di rotazione definito e un integrale improprio di 1° specie

38 38 Il questionario è basato sui seguenti concetti dellAnalisi, della Geometria e Trigonometria: 1) Area di un triangolo in funzione di due lati e 3) Distanza punto - retta 2) Dominio di una funzione 4) Similitudine fra triangoli e volume di un tronco dellangolo compreso di cono

39 39 7) Rapporto di similitudine tra aree e lati di figure 9) Calcolo di un limite 8) La funzione integrale 10) Crescenza e decrescenza di una funzione 6) Calcolo combinatorio 5) Percentuale piane simili

40 40 Quindi, dallesame della Traccia dellordinamento, in quanto propone quasi tutti gli argomenti presenti nellarea denominata le Indicazioni Nazionali Relazioni e funzioni si può stabilire che la stessa è in sintonia con

41 41 1) Concetto di limite 5) Il calcolo combinatorio 3) Calcolo di aree e volumi 2) Continuità, derivabilità, integrabilità 4) La geometria solida 6) Il calcolo approssimato impartita al 5° anno, ed esattamente: nonché al 2° biennio, e cioè:

42 42 Come pure Il compito richiede anche allo studente di aver fatto propri alcuni concetti fondamentali dellanalisi, come ad esempio dedurre il grafico di f(x) dal grafico di f(x) concetto che è presente sia nel 1° problema che nel quesito n°10.

43 43 LA TRACCIA PNI 2013

44 44

45 f(x) La prima parte del problema chiede di determinare il grafico di f(x) a partire da quello di f(x) e f(x) F

46 46 La seconda parte del problema chiede di considerare la x come variabile tempo ed f(x) come la numerosità di una popolazione al tempo x la numerosità è crescente dal valore 1 raggiunto al tempo 0 al valore 8 al tendere del tempo allinfinito Il flesso al tempo x=2 ci dice che il tasso di crescita della popolazione è crescente nel periodo 0 x 2 e decrescente nel periodo successivo si vuol sapere quali sono le informazioni che ne possiamo dedurre dal suo grafico

47 47 La terza parte del problema chiede di determinare a e b sapendo che la funzione è la seguente: poiché f(x) passa per il flesso (2,4) si ha: a = e b - 2 = 8 lim x a 1 + e b - x Inoltre se la retta y=8 è un asintoto orizzontale: da qui ne segue che a=8 e b=2 a f(x)= 1 + e b - x

48 48 La quarta parte del problema chiede di calcolare larea della parte di piano compresa tra il grafico di f(x) e lasse x nell intervallo [0,2]: Area = f(x) dx = f(2) – f(0) = e 2 ( 8 e 2 ) f(x) 8 f(x)= 1 + e 2 - x f(x)= 1 + e 2 - x ( 8 e ) 2

49 49

50 50 Il soggetto principale del 2° problema è la funzione f(x) = x ln(x) 3 Lo stile standard di questo problema lo ha reso più accessibile ad ogni studente mediamente preparato, per cui è stato il più scelto tra i due proposti

51 51 0 0,5 1 1,5 2 -0,5 -1,5 -2 0,5 -0,5 f(x) P La prima domanda chiede di disegnare f(x) e di calcolare i valori approssimati delle ascisse del punto di minimo e di flesso

52 52 La seconda domanda chiede di determinare la parabola con asse verticale, passante per lorigine e tangente a f(x) in P(1,0) Si tratta di una parabola del tipo y = ax + bx + c 2 passante per O (0,0): c = 0 passante per P (1,0): a + b = 0 avente la stessa tangente di f(x) in P: y = x - 1 y = x - x 2

53 53 La terza domanda chiede di calcolare larea della parte di piano compresa tra lasse x, f(x) nellintervallo (0,1]; in pratica si chiede di risolvere lintegrale improprio di 2° specie: 1,5 -0,5 -1,5 0,5 -0,5 f(x) 0 1 P dx x ln(x) = 1 16

54 54 La quarta domanda chiede di scrivere lequazione della curva simmetrica di f(x) rispetto allasse y: e rispetto alla retta di equazione y=-1: y = - x ln(- x ) 3 y = - x ln( x ) 3 - 2

55 55 Il secondo problema è basato sui concetti dellAnalisi del 5° anno e della geometria del 2° biennio cioè: 1) Studio del grafico di una funzione 2) Equazione di una parabola date 3 condizioni 3) Il calcolo dellarea mediante un integrale 4) Le simmetrie improprio di seconda specie

56 56 Per quanto riguarda il questionario, i quesiti n sono in comune con la traccia ordinamento; quelli non in comune – i numeri sono basati sui concetti dellAnalisi, della Probabilità e dellAlgebra del biennio: 2) Derivata di una funzione 7) Calcolo delle probabilità 5) Percentuale 8) Calcolo di un limite 10) Calcolo delle radici di una equazione

57 57 Deve, inoltre, rilevarsi che sono stati scelti anche argomenti attinenti alla realtà ( quesito 5 e quesito 7 ) sia ordinamento che PNI

58 58 I commenti dei Commissari

59 59 Nella tabella E il Questionario ha proposto ai Commissari la domanda Dalla sessione 2015, quando saranno pienamente operative le Indicazioni Nazionali, quali argomenti, presenti nelle tracce di questi anni, non saranno più da proporre, quali invece quelli da introdurre ? (max. 400 caratteri)

60 60 Le risposte sono state 584 ripartite secondo gli indirizzi di provenienza. I commenti dellordinamento sono stati 359 Tuttavia ne sono stati elaborati 278 in quanto 81 commissari, anziché rispondere alla domanda, hanno preferito utilizzare lo spazio a disposizione per esprimere un giudizio sulla traccia assegnata

61 61 1) Alcuni studenti hanno confuso il Teorema di 2) I contenuti presenti nelle tracce risultano 3) Il testo è ben formulato e chiaro e di media Qui di seguito sono riportati taluni dei giudizi espressi: Lagrange con il Teorema del valor medio. coerenti con i programmi svolti. difficoltà.

62 62 5) E importante che i docenti svolgano davvero il di esercizi che si riferiscono agli anni precedenti per poter valutare meglio la preparazione degli studenti. programma che fanno firmare agli alunni. 4) Apprezzo la griglia di valutazione e la presenza

63 63 6) Sarebbe necessario ridurre il tempo di passano il restante tempo nel tentativo di svolgimento della prova e portarlo da 6 ore a 3 ore, in quanto gli studenti dopo 3 ore hanno già terminato la parte principale del compito e collaborare.

64 64 Altri Commissari hanno dato risposte del tipo: queste risposte sono state considerate come: NessunaNo comment o Va bene, nulla da segnalare o da modificare

65 65 Altri Commissari hanno scritto un elenco di argomenti senza alcuna indicazione del tipo questi argomenti sono stati considerati tutti da introdurre da non proporre da introdurre

66 66 Invece le risposte del tipo: Vedi quanto già indicato per la sezione B Si veda quanto già scritto per la classe 5° sez.E non sono state elaborate Vedi giudizio espresso per la classe 5°C della stessa Commissione

67 67 63 Commissari (circa il 23%) affermano non vanno aggiunti altri argomenti in quanto è che la traccia assegnata va bene così; Molti Commissari auspicano di poter dedicare lora in più settimanale per un approfondimento di quanto viene attualmente insegnato. è da mantenere lattuale struttura degli argomenti proposti; difficile completare i programmi con solo 3 ore settimanali di lezione.

68 68 Per altri gli argomenti proposti vanno bene ma occorrerebbe viene dato eccessivo peso al calcolo integrale e al modificare limpostazione della prova in quanto programma svolto negli anni precedenti al 5°.

69 69 E necessaria una prova che richieda meno calcoli e Per altri ancora che sia più chiara nel testo.

70 70 propongono lintroduzione nella traccia desame del 47 Commissari (circa il 17%) calcolo delle probabilità e di elementi di statistica

71 71 Emerge anche che Tali argomenti dovrebbero essere svolti durante il 1° biennio mentre sono di fatto oggetto di studio nel 2° poichè i docenti delle classi inferiori incontrano difficoltà nello svolgere tutti gli argomenti presenti nelle Indicazioni Nazionali. non si vorrebbero presenti nella traccia argomenti di trigonometria e goniometria

72 72 eliminerebbero il calcolo combinatorio, la Taluni commissari spazio alla geometria analitica e allanalisi. probabilità e statistica, le equazioni differenziali e la geometria solida e piana per lasciar maggior

73 73 sono da proporre argomenti relativi al 5° anno come Per altri differenziali collegate a fenomeni fisici e le le successioni numeriche, le equazioni coordinate cartesiane nello spazio.

74 74 Inoltre é proposto da diversi esaminatori Linserimento di argomenti relativi al 2° biennio l introduzione di argomenti come lanalisi logaritmiche, lalgebra vettoriale come: i numeri complessi, le sezioni coniche, i luoghi geometrici, le funzioni esponenziali e così come geometria analitica nello spazio. numerica, le trasformazioni geometriche e la

75 75 Lesame delle risposte fornite ha evidenziato anche che è auspicato proposizione di quesiti sulla storia della matematica. il potenziamento dello studio di una funzione e della sua continuità e derivabilità nonché della geometria solida e piana. Mentre una qualche contrarietà emerge riguardo alla

76 76 I commenti del PNI sono stati suddivisi in cinque gruppi di tipologia Tipo A Tipo B Tipo C Tipo D Tipo E omogenea:

77 77 Gli argomenti formulati nel Syllabus 2009 vanno Qui di seguito sono riportati taluni dei giudizi espressi di tipo A i quali hanno in comune lassenza di rilievi di novità: bene. Nessun argomento nuovo da introdurre, vista la riduzione del monte ore. Vanno riproposti tutti gli argomenti presenti nelle tracce del 2013.

78 78 Qui di seguito sono riportati taluni dei giudizi espressi di tipo B i quali si sono caratterizzati per la stringatezza delle risposte: Nessuna Quesiti 5,6,9 Probabilità Calcolo integrale e approssimazione radici Queste sembrano risposte ad una domanda del tipo: Quali quesiti e quali argomenti proposti non hanno rispondenza con ciò che è specificato nel Syllabus 2009 ?

79 79 Qui di seguito sono riportati taluni dei giudizi espressi di tipo C i quali sono contraddistinti da assenza di proposta: Non ho rilievi Non lo so Nulla da segnalare Nulla da obiettare Nessun commento

80 80 Qui di seguito sono riportati taluni dei giudizi espressi di tipo D che si potrebbero definire risposte singolari: Si sceglie di non dare risposta alla domanda di stato ritenendo più qualificante farlo nel futuro esame Nel questionario erano assenti gli integrali. Consiglierei di trattare la geometria solida come problema di massimo e di minimo.

81 81 Ho notato che, nonostante le ore in più di quasi uguali a quelli dellindirizzo tradizionale. insegnamento che ci sono rispetto al liceo ordinamento, i programmi svolti nel PNI sono In questo momento non riesco a dare il mio a questa domanda. contributo e non mi sento preparata a rispondere Non possediamo adeguati elementi di giudizio.

82 82 Bisogna fare un Syllabus più specifico e che sia matematica sono diminuite ed il programma è aumentato. perché, in riferimento al corso PNI, le ore di pienamente condiviso altrimenti temo il peggio Qui di seguito sono riportati taluni dei giudizi espressi di tipo E che hanno mostrato una qualche positività:

83 83 Bisognerebbe rivoluzionare i libri di testo per procedure. meccanici che ripropongono stessi schemi e eliminare esercizi e problemi ripetitivi e di problemi tipo olimpiadi o giochi matematici. E stata rilevata, negativamente, la proposizione Si è proposta la riduzione del tempo della prova: si ritengono sufficienti 3 quesiti nel problema e 3 nel questionario.

84 84 La riduzione delle ore di matematica imporrà il taglio di alcuni argomenti quali, ad esempio, probabilità e statistica. Le tracce dovranno essere orientate verso una matematica più applicata, ma molti insegnanti non si adeguano alle innovazioni dei programmi curricolari ed è questo uno dei motivi delle difficoltà che i ragazzi incontrano nella seconda prova.

85 85 Sono da introdurre le equazioni differenziali, la Statistica, i problemi di applicazione della matematica al mondo reale e la probabilità. E preferibile non inserire geometria solida in quanto difficilmente si riesce a trattare in modo esaustivo.

86 86 GRAZIE per lattenzione Prof.ssa Serenella Iacino

87 87 Si tratta di calcolare larea di un triangolo in funzione delle misure di due lati e del seno dellangolo compreso: = sen α 3 = sen α 1 = α 90° BC = 13 C B A AC=3 AB=2 α

88 88 Si tratta di calcolare il dominio attraverso un semplice sistema di disequazioni. 3 – x – x 1 -1 x 2

89 89 In questo quesito è presente il concetto di geometria analitica della distanza di un punto da una retta; inoltre si chiede la distanza massima attraverso il calcolo della derivata della funzione distanza.

90 90 E P Si calcola il volume del tronco attraverso la differenza dei volumi tra la piramide grande e quella piccola. 1 1 Notiamo anche la similitudine tra i triangoli VHE e VH P per determinare VH

91 91 Dato un parallelepipedo di dimensioni a, b, c, se si aumentano ad es. del 10% il volume V = abc diventa V = (a+10%a)(b+10%b)(c+10%c)=V(1+10%)³. Quindi laumento è V-V = V[(1+10%)³-1]=33%V

92 92 Il 6° quesito riguarda il calcolo combinatorio e in particolare le permutazioni

93 93 AB = b BC = a BF = a 2 A BC D F E Esiste un rapporto di similitudine tra le aree e i quadrati dei lati dei rettangoli simili: A : A = a² : b² A = a² 1b² A = 1m² = 2 a b a² 1b² 4 a = 2 b = 4 2 1

94 94 g(x) è una funzione integrale: g(x) = f(x) g(x) > 0 per 0 4, g(x) è crescente g(x) < 0 per 2

95 95 = lim 4 x² sen x (cos x – 1) x 0 lim 4 x² x [ - (1 - cos x)] x 0 = lim 4 x² x x 0 = - x² 2 0 Per il calcolo di questo limite si può applicare il 1° limite notevole o gli infinitesimi equivalenti

96 y x f(x)

97 y x f(x) y x f(x) y x f(x) y x f(x) Il grafico di f(x) è il quarto.

98 98 f(1) – 2 f(2) = 5 f(2) – 2 f(4) = 7 f(1) – 4 f(4) = 19

99 99 Questo quesito è molto simile al quesito 5 dellordinamento e riguarda la percentuale

100 100 Su 10 persone 6 hanno gli occhi azzurri e 4 no; la probabilità che due persone estratte non abbiano gli occhi azzurri è: =

101 101 Si pone x – Π = y con y 0 = lim y sen (y + Π) y 0 - e sen Π e = lim y - sen y y 0 - e sen Π e= - 1 lim y y 0 - sen y = lim y - sen y y 0 e - 1

102 102

103 103

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