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PROCESSO Obiettivo del Corso METODO STRUMENTO cioè gli OSSERVABILI

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Presentazione sul tema: "PROCESSO Obiettivo del Corso METODO STRUMENTO cioè gli OSSERVABILI"— Transcript della presentazione:

1 PROCESSO Obiettivo del Corso METODO STRUMENTO cioè gli OSSERVABILI
Corso di Laboratorio di Segnali e Sistemi Obiettivo del Corso Affrontare i Problemi connessi con la Fisica sperimentale cioè gli OSSERVABILI dal punto di vista PROGETTUALE ovvero PROCESSO individuata la variabile FISICA significativa del cercare il METODO Processo: Fluttuazioni della T di un fluido. Metodo eccitare il fluido, a es., con la punta del saldatore, o ponendolo su un fornello, o freddarlo mettendoci del ghiaccio,…. Strumento per misurare la temperatura, termometro o termocoppia o diodo; Processo: Stabilità di un circuito a BJT in funzione della I. Metodo eccitare il BJT con correnti diverse (a es. cambiando R sull’Emettitore). Strumento per misurare la corrente, Amperometro o Multimetro e lo STRUMENTO Ottimali per “estrarre” la variabile

2 SISTEMI SEGNALI prima dopo Eccitazione del Segnale
Corso di Laboratorio di Segnali e Sistemi SISTEMI SEGNALI Quali ? Allora dovremo studiare ATTIVI ? PASSIVI ? prima Come si possono studiare per capirne il funzionamento ? Come ad es. il comportamento di questi nei diversi domini [ t, w] di appartenenza e nei diversi modelli e solo Neuroni ? Transistor ? Per esempio Automi ? Termometro ? Cellule ? Circuiti ? Attraverso le risposte che essi forniscono ad una variabile Fisica, s (t), che chiameremo : Cioè dopo Auto-evolutivi ? Evolutivi ? studiare le Risposte dei Sistemi alla Eccitazione del Segnale

3 ? SEGNALE Cos’è ? Segnale Messaggio Informazione Processo semplice
Corso di Laboratorio di Segnali e Sistemi SEGNALE Cos’è ? Segnale Messaggio Informazione Processo semplice Campanello Busta Lettera si distinguono facilmente Processo complesso Fotone Ionizzazione Luminescenza oppure Lampada ( ) Luminescenza ? VARIAZIONE TEMPORALE dello STATO FISICO di UN SISTEMA: s(t) Def. SEGNALE: Calcolare l’Energia E e la fase f di due segnali esponenziali, V1(t) e V2(t) aventi la stessa costante di tempo, 1/k, traslati del tempo t , di uguale ampiezza V e definiti dal Modello Matematico :V1(t)= V exp (-kt)s(t), V2(t)= V exp (-k(t-t)s(t-t)

4 SEGNALE TEORICO SPERIMENTALE MODELLO MATEMATICO CLASSIFICAZIONE
Corso di Laboratorio di Segnali e Sistemi SEGNALE TEORICO SPERIMENTALE MODELLO MATEMATICO CLASSIFICAZIONE Separa l’Osservatore dal Processo una relazione funzionale il cui argomento è il tempo s(t), f(t), u(t),... che rappresenta l’evoluzione del processo fisico, in generale, del segnale in particolare es. un tuono, un lampo, un viso umano Deterministici Stocastici Stesso Modello per + Processi a Discreti Digitali Utili x campionamento Continui SPAZIO RAPPR. Strutt. L b Esempi: Vettore a ∞ dimensioni Misurabili ad t Misurabili solo a certi t con definito prodotto scalare SPAZIO di HILBERT a ) V fisso, D t proporzionale al valore dell’ampiezza b ) D t fisso , V proporzionale al valore al tempo t

5 È la lunghezza del vettore s(t)
Corso di Laboratorio di Segnali e Sistemi SPAZIO RAPPR. Strutt. L : Per u,v L, w=u+v, w L Valgono le proprietà : BASE: Se u1,u2, u3, …un ,….sono LINEARMNTE IND e se n+1 numeri a R o C : aou+ a1u1+a2u2+….anun = 0 ALLORA : u+v = v+u (commutativa) (u+v) + s = (u + s) + v (associativa) ed altre Definiamo allora : uk vettori di base ck componenti NORMA: È la lunghezza del vettore s(t) Se ad s(t) è assegnato un unico numero R : Per Num. R Per Num. C METRICA: È la norma della distanza r

6 Energia di un Segnale : Esempio : Cross Energy :
Corso di Laboratorio di Segnali e Sistemi Energia di un Segnale : Il Quadrato della NORMA è l’Energia “portata” dal segnale s(t) Se il segnale è rappresentato da una tensione V espressa in volt allora l'energia del segnale è espressa in volt2*s e rappresenta l'energia dissipata dal segnale su un carico resistivo pari ad 1 ohm. Verifichiamo scrivendo l’equazione dimensionale dell’Energia : Esempio : Trovare l'energia del segnale s(t),definito dal Modello Matematico s(t)=Vo*t/t nell’ intervallo di definizione [0, t] Poiché il segnale è limitato all’intervallo [0, t], l’integrale va esteso a : Se Vo=1 volt, t=1ms Es = 0.3 mJ Energia trasportata dal segnale Notare che un segnale con M.M. impulsivo trasporta una Es = V2o t cioè 3 volte maggiore Calcolo dell’ Energia e della fase di due segnali esponenziali Cross Energy : Qual è l’energia di due vettori, u(t) e v(t), che si sommano ? Quindi non è solo la somma delle energie di u e v ma c’è anche un altro termine la cosiddetta Energia di incrocio (Cross Energy)

7 RAPPRESENTAZIONI DINAMICA s(t) SPETTRALE S(w) Funzioni Funzioni
Corso di Laboratorio di Segnali e Sistemi RAPPRESENTAZIONI DINAMICA s(t) SPETTRALE S(w) Funzioni elementari Funzioni elementari Serie di Fourier Segnali periodici Heaviside s(t) Trasformata di Fourier Segnali aperiodici, impulsi Dirac d(t) Walsh …….. Z-Trasformata …………….

8 DESCRIZIONE s(t) Heaviside s(t)
Corso di Laboratorio di Segnali e Sistemi DESCRIZIONE s(t) Heaviside s(t) Consideriamo la funzione s(t) definita dal seguente Modello Matematico : M.M. in sintesi: se l’argomento è negativo ritorna “0” se l’argomento è positivo ritorna “1” se l’argomento è 0 (zero) ritorna “0.5” Rappresenta la transizione di un sistema fisico dallo stato definito "0" allo stato definito "1“ tale che la transizione sia lineare nell’intervallo temporale 2x Se facciamo tendere la variabile x → 0 si ottiene una transizione istantanea allora essa prende il nome di funzione di Heaviside s(t) o Switching Function

9 RAPPRESENTAZIONI DINAMICA s(t) Rappresentazione Dinamica dei Funzioni
Corso di Laboratorio di Segnali e Sistemi RAPPRESENTAZIONI DINAMICA s(t) Funzioni elementari Prendiamo una funzione qualsiasi del tempo s(t) tale che : s(t)=0 per t < 0 e sia {Dt, 2Dt, 3Dt,...} la sequenza di intervalli temporali alla quale corrisponde la sequenza {s1, s2, s3,...} dei rispettivi valori della s(t) Heaviside s(t) Se so è il valore a t=0 allora: il valore del segnale a qualsiasi t è s(t)=sos(t) + (s1-so)s(t - Dt)+(s2-s1)s(t-2Dt)......, in sintesi: si prendono intervalli di tempo identici, Dt e la corrispondente “variazione” dell’ampiezza del segnale Se ora facciamo tendere l’intervallo temporale a zero (Dt → 0), la variabile discreta k Dt tende alla variabile continua t : (k Dt → t ) e l’intervallo delle ampiezze (sk - sk-1) → ds , possiamo scrivere quindi Rappresentazione Dinamica dei segnali tramite la funzione di Heaviside s(t) Walsh ……..

10 RAPPRESENTAZIONI DINAMICA s(t) Esempio Esempio Heaviside s(t)
Corso di Laboratorio di Segnali e Sistemi RAPPRESENTAZIONI DINAMICA s(t) Heaviside s(t) Esempio Calcolare il valore di una funzione arbitraria s(t) per t = Dt cioè al primo gradino. Tutti i termini della somma che contengono la s per tempi maggiori di Dt, cioè 2Dt, 3Dt...., sono nulli perché è nulla la funzione di Heaviside s , mentre tutti quelli che contengono la s a tempi inferiori sopravvivono perché la funzione di Heaviside ha valore unitario. ricordare [ s(t)=sos(t) + (s1-so)s(t - Dt)+(s2-s1)s(t-2Dt)......,] Allora il valore della funzione per t = Dt sarà : s(t = Dt)= s0*1+ (s1-s0)*1+(s2-s1)* quindi: s(t = Dt)=s1 Esempio s(t) = per t < 0 Sia s(t) un segnale arbitrario avente il seguente modello matematico s(t) = A t2 per t > 0 Trovare la sua rappresentazione dinamica in termini di funzione di Heaviside. Essendo s(t)= 0 per t < 0 allora so = 0 e quindi la rappresentazione dinamica del segnale risulta : ricordando che la formula è che può essere facilmente verificata sostituendo un valore qualsiasi di t.

11 Esercitazioni Costruzione Impulso con due Heaviside :
Corso di Laboratorio di Segnali e Sistemi Esercitazioni Heaviside s(t) Costruzione Impulso con due Heaviside : Costruzione Rampa

12 RAPPRESENTAZIONI DINAMICA s(t)
Corso di Laboratorio di Segnali e Sistemi RAPPRESENTAZIONI DINAMICA s(t) Heaviside s(t) Heaviside s(t) Gradini ad intervalli temporali, Dt, uguali ; Ampiezza proporzionale alla variazione del segnale nell’intervallo Dt 1. Metodo : Esempio : A=1 ; D t = t=1; s(t) = F(t) ;n=10 Modello Matematico Rappresentazioni Dinamiche

13 Esso ha l'ampiezza pari a 1/x e durata x. Infatti
Corso di Laboratorio di Segnali e Sistemi DESCRIZIONE d(t) Dirac d(t) Consideriamo la funzione V(t,x) definita dal Modello Matematico: M.M. Espressa come differenza tra due Heaviside che effettuano la transizione a tempi diversi Esso ha l'ampiezza pari a 1/x e durata x. Infatti s(t + x/2) = 0 per t <-x/2 s(t + x/2) = 1 per t >-x/2 s(t - x/2) = 0 per t <x/2 s(t - x/2) = 1 per t >x/2 Questa funzione è caratterizzata dal fatto che per scelta del parametro x l'area è sempre unitaria Se facciamo tendere x  0, per mantenere l'area unitaria, l'ampiezza crescerà indefinitamente. Allora definiamo: .: Funzione Impulsiva o Delta di Dirac Essa è nulla ovunque tranne che nel punto che annulla l'argomento, e gode della proprietà : cioè, ad es., in t = 0 per d(t) o t = to per d(t - to)

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RAPPRESENTAZIONI DINAMICA s(t) Funzioni elementari Dirac d(t) Ricordando l'espressione della rappresentazione (di Heaviside) come somma di infiniti "gradini" elementari, possiamo esprimere il k-esimo impulso elementare, h k(t), come : ora possiamo esprimere un segnale continuo arbitrario s(t) come somma di infiniti impulsi hk : moltiplicando e dividendo per Dt passando al limite per Dt→0 si ha che Rappresentazione Dinamica dei segnali tramite la d di Dirac. per cui si può scrivere: Notare la variabile a “sinistra” (t) e la variabile d’integrazione (t) dal che si intravede la proprietà di “filtro” della d Importante: moltiplicando una qualsiasi funzione s(t) per la d(t - t0) ed integrando, otteniamo proprio il valore della funzione al tempo t0 cioè s(t0): La d ha la cosiddetta proprietà di filtro cioè riesce a selezionare un solo valore della funzione nel punto in cui è "concentrato" l'impulso.

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Realizzando un sistema come schematizzato nella figura costituito da un semplice moltiplicatore analogico e da un integratore possiamo "estrarre" il valore del segnale fornito in ingresso, s(t) all'istante t = tO. In pratica al posto della d(t – tO) si utilizzerà un impulso sufficientemente "stretto" per avere il valore istantaneo del segnale s(t).

16 RAPPRESENTAZIONI DINAMICA s(t) Funzioni elementari Dirac d(t)
Corso di Laboratorio di Segnali e Sistemi RAPPRESENTAZIONI DINAMICA s(t) Funzioni elementari M.M. Dirac d(t) Walsh ……..

17 Rappresentazione Dirac d(t) DINAMICA s(t) Dirac d(t) 2. Metodo :
Corso di Laboratorio di Segnali e Sistemi Rappresentazione DINAMICA s(t) Dirac d(t) 2. Dirac d(t) Metodo : Impulsi contigui tali da formare una sequenza circoscritta o inscritta del Modello Matematico del segnale Esempio : A=1 ; t =10-3; s(t) = F(t) ; Modello Matematico Rappresentazioni Dinamiche

18 RAPPRESENTAZIONI SPETTRALE S(w) Funzioni elementari Serie di Fourier
Segnali periodici Trasformata di Fourier Segnali aperiodici, impulsi Z-Trasformata …………….

19 Rappresentazione Spettrale
Corso di Laboratorio di Segnali e Sistemi Rappresentazione Spettrale Serie di Fourier Generalizzata Se nell’intervallo [t1, t2] è possibile definire un insieme di funzioni [u1,u2,u3….un] mutuamente ORTO-NORMALI : Cioè ORTOGONALI : (u,v) = 0 e a NORMA unitaria : Allora un qualsiasi segnale s(t) di H si può sviluppare in serie di Fourier generalizzata : I Coefficienti ci sono i “Pesi” della corrispondente funzione i-esima. Per identificarli occorre moltiplicare scalarmente la funzione s(t) per la k-esima base : In quanto le funzioni ui sono orto-normali

20 Diversamente Cambia Tutto Armoniche ● ● ●
Corso di Laboratorio di Segnali e Sistemi Sono funzioni Armoniche : s(t) si dice che è RISOLTA nel suo SPETTRO Se Perché armoniche ? 1. Sono Invarianti rispetto alle Trasformazioni effettuate dai SISTEMI LINEARI Cambia solo Ampiezza e Fase Diversamente Cambia Tutto Armoniche [[ Funzioni periodiche s(t) = s(t + nT ) con T periodo e con n = ±1, ±2, ±3,……in [-∞, ∞] t w1 : pulsazione fondamentale = 2p/T Funzioni di BASE :

21 Corso di Laboratorio di Segnali e Sistemi
Serie di Fourier Un vettore s(t) si può allora rappresentare in Serie di Fourier : I Coefficienti, a,b, si calcolano, come visto, moltiplicando scalarmente il vettore s(t) per la n-sima armonica Semplificazioni : 1. Se il segnale è una funzione PARI [ s(t)=s(-t) ], TUTTI i termini dello sviluppo che contengono la funzione armonica SENO (dispari ) si annullano (il prodotto di una funzione pari, s(t), per una dispari E’ dispari e quindi integrata in un intervallo simmetrico [-T/2, T/2 ] è NULLA), allora i coefficienti bn = 0 Lo sviluppo si riduce a : 2. Analogamente se la funzione è DISPARI, [s(t)= -s(-t) ] , TUTTI i termini che contengono la funzione Armonica COSENO (pari) si annullano, e quindi i coefficienti ao = an = 0. Lo sviluppo si riduce a :

22 Corso di Laboratorio di Segnali e Sistemi
Esempio : Utile per considerare l’importanza dell’ampiezza delle armoniche nella ricostruzione del segnale Calcoliamo lo sviluppo di Fourier per un segnale periodico di impulsi rettangolari con il M.M. indicato . La funzione è pari s(t) = s(-t) rispetto a t = 0, quindi va sviluppata in termini di coefficienti che contengono solo coseni e il termine costante.

23 Corso di Laboratorio di Segnali e Sistemi
Esempio : Utile per considerare l’importanza delle ALTE FREQUENZE nella ricostruzione del segnale , in particolare dei FRONTI di SALITA e di DISCESA (trailing e falling edge). Calcoliamo lo sviluppo di Fourier per un segnale periodico di impulsi rettangolari con il M.M. indicato . La funzione è pari s(t) = s(-t) rispetto a t = 0, quindi va sviluppata in termini di coefficienti che contengono solo coseni e il termine costante.

24 Serie di Fourier Complessa
Corso di Laboratorio di Segnali e Sistemi Serie di Fourier Complessa Riscrivendo lo Sviluppo in Serie di Fourier con le formule di Eulero : ,... dopo una serie di semplici passaggi algebrici si ottiene : si può riscrivere la serie in una forma Complessa di maggiore significato (per chiarimenti vedere gli appunti) Im un Vettore Re somma di due fasori di ampiezza ½ ruotanti in verso opposto con la stessa velocità angolare w1 Re Motori a Induzione (Campo Rotante )

25 Re 3w1 § w1 2w1 c3 C+ c1 c2 co o c-1 c-2 C- c-3 w1 2w1 3w1 §
Corso di Laboratorio di Segnali e Sistemi 3w1 w1 2w1 c3 C+ c1 c2 co o c-1 c-2 C- Re c-3 w1 2w1 3w1 C+ = c1 + c2 + c3+…….. C+ + C- ISTANTE PER ISTANTE è UN VETTORE REALE C- = c-1 + c-2 + c-3+……..

26 Antitrasformata Trasformata Trasformata di Fourier f(wn)
Corso di Laboratorio di Segnali e Sistemi Trasformata di Fourier Consideriamo un impulso s(t) qualsiasi di durata finita. Supponiamo che ad esso siano associati, in modo virtuale, altri impulsi identici ricorrenti con periodo T Allora possiamo rappresentare s(t) attraverso la serie in armoniche di Fourier con i coefficienti Facciamo alcune semplici posizioni : Prima armonica: ; n-sima armonica : intervallo unitario : ; allora : e la s(t) diventa : f(wn) Cn Se ora torniamo alla realtà, cioè all’impulso, dobbiamo far tendere T ∞ Dwdw, wnw, f(wn)f(w) otteniamo la Coppia di Trasformate : l’impulso s(t) e la corrispondente densità spettrale f(w) Antitrasformata Trasformata che Collegano i due mondi del tempo e delle frequenze

27 Queste espressioni hanno senso preciso solo se:  ed è finito.
Corso di Laboratorio di Segnali e Sistemi Queste espressioni hanno senso preciso solo se:  ed è finito. In questo caso la trasformata è: 1) Continua 2) Limitata 3) Nulla all'infinito per w±∞ e vale l'identità di Parseval: La trasformata e l'antitrasformata ci permettono di trasformare delle funzioni e/o segnali dal dominio delle frequenze [w] a quello del tempo [t] e viceversa. Quando è necessario, per esempio se un modello è “difficile” da trattare in un dominio, tramite l’operazione di trasformazione di Fourier si può cambiare dominio. La rappresentazione nel dominio di [w], cioè la rappresentazione spettrale del segnale, offre un approccio molto significativo nell'analisi della risposta in una larga fascia di sistemi usati, in generale nell'elettronica, in particolare nelle telecomunicazioni.

28 Spettro di un impulso rettangolare
Corso di Laboratorio di Segnali e Sistemi Esempio Spettro di un impulso rettangolare Sia s(t), un segnale con ampiezza A e durata in [-t/2,t/2] il cui M. M. è : s(t)= A[s(t-t/2) - s(t+t/2)] Il suo spettro , ovvero la sua trasformata sarà: Ricordando Eulero Ponendo x = w t /2 si ha:

29 Corso di Laboratorio di Segnali e Sistemi
Esempio:Trasformata di Fourier di una funzione Impulsiva con Modello Matematico s(t) = s(t+t/2) – s(t-t/2) 1. Utile per mettere in evidenza la trasformata della d(t) = cost. ( ad una durata infinitesima in t corrisponde una larghezza infinita in w ) 2. Utile per mettere in evidenza il prodotto banda x durata . Assumiamo che la frequenza massima limite di uno spettro sia quella per cui si ha il " primo " zero nel rapporto |S(w)| m / |S(0)|= 0 che si ha per : p = w t/2 ossia in termini di frequenza p = 2pft/2 ; 1=ft Allora si ha la seguente relazione di indeterminazione: f up t = 1 Il prodotto banda * durata è una costante e dipende solo dalla forma dell'impulso. Quindi, ad esempio, la d(t) che ha una durata infinitesima, ha una banda infinita.

30 Corso di Laboratorio di Segnali e Sistemi
Proprietà della parte reale e della parte immaginaria dello spettro : Poiché la funzione del tempo t la sua Trasformata gode della proprietà che la sua parte è una funzione pari e quella I è una funzione dispari In generale il suo spettro sarà rappresentato da una funzione complessa: Facciamo ora l‘ anti - trasformata cioè ricaviamo la s(t): : affinché I A(w) è pari (infatti il seno è una funzione dispari) B(w) è dispari (infatti il coseno è una funzione pari) Queste condizioni sono verificate se: La parte reale A(w) dello spettro è una funzione pari della frequenza. A(w) = A(-w) La parte immaginaria B(w) è una funzione dispari della frequenza B(w) = -B(-w)

31 Supponiamo che esista, del segnale s(t), la sua trasformata, cioè S(w)
Corso di Laboratorio di Segnali e Sistemi Spettro di un segnale traslato Supponiamo che esista, del segnale s(t), la sua trasformata, cioè S(w) Prendiamo un segnale traslato nel tempo della quantità to La sua trasformata sarà: Ponendo: x = t - to ; allora dt = dx si avrà: . : le ampiezze delle armoniche sono indipendenti dalla posizione nel tempo del segnale Poiché Questa informazione è contenuta nel fattore di fase

32 cioè lo spettro di un segnale, ad esempio, compresso (k > 1) che
Corso di Laboratorio di Segnali e Sistemi Dipendenza dello spettro da un fattore di scala temporale Supponiamo che il segnale s(t) sia soggetto ad una trasformazione della scala dei tempi (compressione o espansione) ossia t  kt con k ε R Se k > 1 si ha compressione e se 0 < k < 1 si ha dilatazione Ponendo: x = kt ; dx = k dt, si ha: Allora se t  kt segue che s(t) s(kt) e il suo spettro cioè lo spettro di un segnale, ad esempio, compresso (k > 1) che mantiene la stessa forma, distribuisce le stesse componenti spettrali su un intervallo più esteso di frequenze con una ampiezza minore ( S/k) Stringendo temporalmente, si allarga lo Spettro Compressione k > 1 Le Ampiezze dello Spettro, sono Minori Allargando temporalmente, si restringe lo Spettro Dilatazione k < 1 Le Ampiezze dello Spettro, sono Maggiori

33 Spettro della derivata di un segnale
Corso di Laboratorio di Segnali e Sistemi Spettro della derivata di un segnale Sia s(t) un segnale e supponiamo che esista la sua trasformata e sia S(w) , calcoliamo la sua Risolto per parti, si vede che l'integrale si riduce a due termini: il primo svanisce per t ± ∞ in quanto s(t) 0 per la condizione di integrabilità del segnale s(t) In seguito ad una operazione di differenziazione il segnale, nel dominio del tempo, diventa più "rapido", come conseguenza lo spettro della derivata ha maggiori valori nella regione delle alte frequenze. Esempio : = Spettro dell' integrale di un segnale Basta osservare che: Quindi :

34 Spettro di un segnale esponenziale
Corso di Laboratorio di Segnali e Sistemi Spettro exp Spettro di un segnale esponenziale Sia s(t) per a> 0 il M. M. del segnale. Calcoliamo il suo Spettro S(w) C'è da notare che: 1. Lo spettro va a zero solo per w  ∞ 2. Lo spettro è una funzione complessa: La parte reale A(w) dello spettro è una funzione pari della frequenza. A(w) = A(-w) La parte immaginaria B(w) è una funzione dispari della frequenza B(w) = -B(-w) Studio RC

35 Spettro del prodotto ordinario di due segnali
Corso di Laboratorio di Segnali e Sistemi Spettro del prodotto ordinario di due segnali Siano u(t) e v(t) i segnali in t e U(w) , V(w) i rispettivi spettri. Sia s(t) = u(t) v(t) il loro prodotto ordinario. Lo spettro sarà : sostituiamo, al posto di v(t) , la sua Anti Scambiamo l’ordine di integrazione Possiamo riscrivere lo spettro : Questo è l’Integrale del Prodotto di Convoluzione delle funzioni V(w) e U(w) che si indica anche V(w) * U(w) Concludiamo Lo spettro del prodotto ordinario tra i segnali u(t) x v(t) è = al prodotto di convoluzione degli spettri U(w) * V(w) Ed è anche vero il teorema reciproco che il prodotto ordinario tra gli spettri U(w) x V(w) è = al prodotto di convoluzione dei segnali u(t) * v(t)

36 F F F x la trasformata di Fourier, F, del prodotto di convoluzione
Corso di Laboratorio di Segnali e Sistemi Una interessante conseguenza di questo è il teorema della convoluzione. F la trasformata di Fourier, F, del prodotto di convoluzione [U(w) * V(w)] F F x è equivalente al prodotto ordinario delle trasformate [U(w)] [V(w)] Per dimostrarlo riscriviamo in modo sintetico indicando con la trasformata di Fourier F , il teorema già dimostrato: se s(t)= u(t)v(t) se ora facciamo la trasformata (anti) dell'espressione precedente, otteniamo: se al posto delle due funzioni del tempo u(t)v(t), sostituiamo le loro trasformate F-1 otteniamo è ovviamente possibile dimostrare, ed è valido, il teorema inverso: L'importanza di questo teorema è enorme in quanto molti processi fisici si presentano come convoluzione di altri e quindi tramite l'applicazione di questo teorema è possibile risalire ai processi primari. Questa metodo è noto come deconvoluzione (unfolding) delle componenti

37 Sia s(t) = A (t) il Modello Matematico nel dominio del tempo.
Corso di Laboratorio di Segnali e Sistemi Spettro della d(t) Il suo spettro S(w), ovvero la sua trasformata, sarà: Sia s(t) = A (t) il Modello Matematico nel dominio del tempo. Abbiamo già visto le proprietà di " filtro " della d(t) L'integrale è uguale al valore della funzione nel punto in cui la d(t) è "concentrata “ In questo caso a t = 0 Quindi S(w) = A La trasformata di Fourier di una d - function è una funzione indipendente da w Il suo spettro ha una larghezza infinita con tutte le frequenze con la stessa ampiezza A [ - ∞, + ∞ ]


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