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OSSERVABILI dal punto di vista PROGETTUALE ovvero individuata la variabile FISICA significativa del PROCESSO cercare il METODO e lo STRUMENTO Ottimali.

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1 OSSERVABILI dal punto di vista PROGETTUALE ovvero individuata la variabile FISICA significativa del PROCESSO cercare il METODO e lo STRUMENTO Ottimali per estrarre la variabile cioè gli Affrontare i Problemi connessi con la Fisica sperimentale Obiettivo del Corso Corso di Laboratorio di Segnali e Sistemi

2 SISTEMI Quali ? ATTIVI ? Auto-evolutivi ? Come ad es. Cioè PASSIVI ? Transistor ? Evolutivi ? Come si possono studiare per capirne il funzionamento ? Attraverso le risposte che essi forniscono ad una variabile Fisica, s (t), che chiameremo : SEGNALI Per esempio Allora dovremo studiare prima il comportamento di questi nei diversi domini [ t, ] di appartenenza e nei diversi modelli e solo dopo studiare le Risposte dei Sistemi alla Eccitazione del Segnale Corso di Laboratorio di Segnali e Sistemi Automi ? Cellule ? Neuroni ? Termometro ? Circuiti ?

3 SEGNALE Cosè ? SegnaleMessaggioInformazione Processo semplice CampanelloBustaLettera si distinguono facilmente Processo complesso FotoneIonizzazioneLuminescenza oppure Lampada( )Luminescenza Def. SEGNALE : VARIAZIONE TEMPORALE dello STATO FISICO di UN SISTEMA: s(t) Corso di Laboratorio di Segnali e Sistemi Calcolare lEnergia E e la fase di due segnali esponenziali, V1(t) e V2(t) aventi la stessa costante di tempo, 1/k, traslati del tempo di uguale ampiezza V e definiti dal Modello Matematico :V1(t)= V exp (-kt) (t), V2(t)= V exp (-k(t- ) (t- ) ?

4 SEGNALE TEORICO SPERIMENTALE MODELLO MATEMATICO SPAZIO RAPPR. Strutt. L Separa lOsservatore dal Processo Stesso Modello per + Processi Vettore a dimensioni con definito prodotto scalare SPAZIO di HILBERT CLASSIFICAZIONE Deterministici Continui Discreti Digitali Misurabili ad t Misurabili solo a certi t Utili x campionamento b ) t fisso, V proporzionale al valore al tempo t a ) V fisso, t proporzionale al valore dellampiezza Esempi: una relazione funzionale il cui argomento è il tempo s(t), f(t), u(t),... che rappresenta levoluzione del processo fisico, in generale, del segnale in particolare a b Corso di Laboratorio di Segnali e Sistemi Stocastici es. un tuono, un lampo, un viso umano

5 SPAZIO RAPPR. Per u,v L, w=u+v, w LStrutt. L : Valgono le proprietà : u+v = v+u (commutativa) (u+v) + s = (u + s) + v (associativa) ed altre BASE: NORMA: METRICA: Se u 1,u 2, u 3, …u n,….sono LINEARMNTE IND e se n+1 numeri a R o C : a o u+ a 1 u 1 +a 2 u 2 +….a n u n = 0 ALLORA : Definiamo allora : u k vettori di base c k componenti È la lunghezza del vettore s(t) Se ad s(t) è assegnato un unico numero R : È la norma della distanza Per Num. R Per Num. C Corso di Laboratorio di Segnali e Sistemi

6 Energia di un Segnale : Il Quadrato della NORMA è lEnergia portata dal segnale s(t) Se il segnale è rappresentato da una tensione V espressa in volt allora l'energia del segnale è espressa in volt 2 *s e rappresenta l'energia dissipata dal segnale su un carico resistivo pari ad 1 ohm. Verifichiamo scrivendo lequazione dimensionale dellEnergia : Esempio : Trovare l' energia del segnale s(t),definito dal Modello Matematico s(t)=Vo*t/ nell intervallo di definizione [0, ] Poiché il segnale è limitato allintervallo [0, ], lintegrale va esteso a : Se Vo=1 volt, s E s = 0.3 J Energia trasportata dal segnale Notare che un segnale con M.M. impulsivo trasporta una Es = V 2 o cioè 3 volte maggiore Cross Energy : Qual è lenergia di due vettori, u(t) e v(t), che si sommano ? Quindi non è solo la somma delle energie di u e v ma cè anche un altro termine la cosiddetta Energia di incrocio (Cross Energy) Corso di Laboratorio di Segnali e Sistemi Calcolo dell Energia e della fase di due segnali esponenziali

7 RAPPRESENTAZIONI DINAMICA s(t) Heaviside (t) Dirac (t) SPETTRALE S( ) Serie di Fourier Segnali periodici Trasformata di Fourier Segnali aperiodici, impulsi Funzioni elementari Funzioni elementari Walsh …….. Z-Trasformata ……………. Corso di Laboratorio di Segnali e Sistemi

8 DESCRIZIONE t Heaviside (t) M.M. Corso di Laboratorio di Segnali e Sistemi Consideriamo la funzione s(t) definita dal seguente Modello Matematico : allora essa prende il nome di funzione di Heaviside (t) o Switching Function Rappresenta la transizione di un sistema fisico dallo stato definito "0" allo stato definito "1 tale che la transizione sia lineare nellintervallo temporale 2 Se facciamo tendere la variabile 0 si ottiene una transizione istantanea in sintesi: se largomento è negativo ritorna 0 se largomento è positivo ritorna1 se largomento è 0 (zero) ritorna 0.5

9 RAPPRESENTAZIONI DINAMICA s(t) Heaviside (t) Funzioni elementari Corso di Laboratorio di Segnali e Sistemi Prendiamo una funzione qualsiasi del tempo s(t) tale che : Se ora facciamo tendere lintervallo temporale a zero ( t 0), la variabile discreta k t tende alla variabile continua : (k t ) e lintervallo delle ampiezze (s k - s k-1 ) ds, possiamo scrivere quindi Rappresentazione Dinamica dei segnali tramite la funzione di Heaviside (t) Walsh …….. Se so è il valore a t=0 allora: il valore del segnale a qualsiasi t è s(t)=so (t) + (s1-so) (t - t)+(s2-s1) (t-2 t)......, in sintesi: si prendono intervalli di tempo identici, t e la corrispondente variazione dellampiezza del segnale s(t)=0 per t < 0 e sia { t, 2 t, 3 t,...} la sequenza di intervalli temporali alla quale corrisponde la sequenza {s1, s2, s3,...} dei rispettivi valori della s(t)

10 Corso di Laboratorio di Segnali e Sistemi Calcolare il valore di una funzione arbitraria s(t) per t = t cioè al primo gradino. Sia s(t) un segnale arbitrario avente il seguente modello matematico s(t) = 0 per t < 0 s(t) = A t 2 per t > 0 Trovare la sua rappresentazione dinamica in termini di funzione di Heaviside. Essendo s(t)= 0 per t < 0 allora so = 0 e quindi la rappresentazione dinamica del segnale risulta : che può essere facilmente verificata sostituendo un valore qualsiasi di t. Tutti i termini della somma che contengono la per tempi maggiori di t, cioè 2 t, 3 t...., sono nulli perché è nulla la funzione di Heaviside, mentre tutti quelli che contengono la a tempi inferiori sopravvivono perché la funzione di Heaviside ha valore unitario. ricordare [ s(t)=so (t) + (s1-so) (t - t)+(s2-s1) (t-2 t)......,] Allora il valore della funzione per t = t sarà : s(t = t)= s0*1+ (s1-s0)*1+(s2-s1)* quindi: s(t = t)=s1 Esempio RAPPRESENTAZIONI DINAMICA s(t) Heaviside (t) ricordando che la formula è

11 Costruzione Impulso con due Heaviside : Costruzione Rampa Esercitazioni Corso di Laboratorio di Segnali e Sistemi Heaviside (t)

12 1. Heaviside (t) Metodo : Gradini ad intervalli temporali, t, uguali ; Ampiezza proporzionale alla variazione del segnale nellintervallo t Esempio : A=1 ; t = t t ;n=10 Modello Matematico Rappresentazioni Dinamiche Corso di Laboratorio di Segnali e Sistemi RAPPRESENTAZIONI DINAMICA s(t) Heaviside (t)

13 DESCRIZIONE t Dirac (t) Corso di Laboratorio di Segnali e Sistemi Consideriamo la funzione V(t, ) definita dal Modello Matematico: M.M. Espressa come differenza tra due Heaviside che effettuano la transizione a tempi diversi Esso ha l'ampiezza pari a 1/ e durata. Infatti (t + /2) = 0pert <- /2 (t + /2) = 1pert >- /2 (t - /2) = 0 pert < /2 (t - /2) = 1 pert > /2.: Questa funzione è caratterizzata dal fatto che per scelta del parametro l'area è sempre unitaria Se facciamo tendere, per mantenere l'area unitaria, l'ampiezza crescerà indefinitamente. Allora definiamo: Funzione Impulsiva o Delta di Dirac Essa è nulla ovunque tranne che nel punto che annulla l'argomento, e gode della proprietà : cioè, ad es., in t = 0 per (t) o t = to per (t - to)

14 Corso di Laboratorio di Segnali e Sistemi Ricordando l'espressione della rappresentazione (di Heaviside) come somma di infiniti "gradini" elementari, possiamo esprimere il k-esimo impulso elementare, k (t), come : ora possiamo esprimere un segnale continuo arbitrario s(t) come somma di infiniti impulsi k : RAPPRESENTAZIONI DINAMICA s(t) Funzioni elementari Dirac (t) moltiplicando e dividendo per t passando al limite per t0 si ha che per cui si può scrivere: Rappresentazione Dinamica dei segnali tramite la di Dirac. Importante: moltiplicando una qualsiasi funzione s(t) per la (t - t 0 ) ed integrando, otteniamo proprio il valore della funzione al tempo t 0 cioè s(t 0 ) : La ha la cosiddetta proprietà di filtro cioè riesce a selezionare un solo valore della funzione nel punto in cui è "concentrato" l'impulso. Notare la variabile a sinistra (t) e la variabile dintegrazione ( dal che si intravede la proprietà di filtro della

15 Corso di Laboratorio di Segnali e Sistemi Realizzando un sistema come schematizzato nella figura costituito da un semplice moltiplicatore analogico e da un integratore possiamo "estrarre" il valore del segnale fornito in ingresso, s(t) all'istante t = t O. In pratica al posto della (t – t O ) si utilizzerà un impulso sufficientemente "stretto" per avere il valore istantaneo del segnale s(t).

16 RAPPRESENTAZIONI DINAMICA s(t) Dirac (t) Funzioni elementari M.M. Walsh …….. Corso di Laboratorio di Segnali e Sistemi

17 2.2. Dirac (t) Impulsi contigui tali da formare una sequenza circoscritta o inscritta del Modello Matematico del segnale Modello Matematico Rappresentazioni Dinamiche Esempio : A=1 ; t t ; Rappresentazione Metodo : Corso di Laboratorio di Segnali e Sistemi DINAMICA s(t) Dirac (t)

18 RAPPRESENTAZIONI SPETTRALE S( ) Serie di Fourier Segnali periodici Trasformata di Fourier Segnali aperiodici, impulsi Funzioni elementari Z-Trasformata …………….

19 Rappresentazione Spettrale Se nellintervallo [t 1, t 2 ] è possibile definire un insieme di funzioni [u 1,u 2,u 3 ….u n ] mutuamente ORTO-NORMALI : Cioè ORTOGONALI : (u,v) = 0 e a NORMA unitaria : Allora un qualsiasi segnale s(t) di H si può sviluppare in serie di Fourier generalizzata : Serie di Fourier Generalizzata I Coefficienti c i sono i Pesi della corrispondente funzione i-esima. Per identificarli occorre moltiplicare scalarmente la funzione s(t) per la k-esima base : In quanto le funzioni u i sono orto-normali Corso di Laboratorio di Segnali e Sistemi

20 Se Sono funzioni Armoniche : s(t) si dice che è RISOLTA nel suo SPETTRO Perché armoniche ? 1. Sono Invarianti rispetto alle Trasformazioni effettuate dai SISTEMI LINEARI Cambia solo Ampiezza e Fase Funzioni periodiche s(t) = s(t + nT ) con T periodo e con n = ±1, ±2, ±3,……in [-, ] t Cambia Tutto Diversamente Armoniche 1 : pulsazione fondamentale = 2 /T Funzioni di BASE : Corso di Laboratorio di Segnali e Sistemi

21 Un vettore s(t) si può allora rappresentare in Serie di Fourier : I Coefficienti, a,b, si calcolano, come visto, moltiplicando scalarmente il vettore s(t) per la n-sima armonica Semplificazioni : Se il segnale è una funzione PARI [ s(t)=s(-t) ], TUTTI i termini dello sviluppo che contengono la funzione armonica SENO (dispari ) si annullano (il prodotto di una funzione pari, s(t), per una dispari E dispari e quindi integrata in un intervallo simmetrico [ -T/2, T/2 ] è NULLA), allora i coefficienti b n = 0 1. Lo sviluppo si riduce a : 2. Analogamente se la funzione è DISPARI, [s(t)= -s(-t) ], TUTTI i termini che contengono la funzione Armonica COSENO (pari) si annullano, e quindi i coefficienti a o = a n = 0. Lo sviluppo si riduce a : Serie di Fourier Corso di Laboratorio di Segnali e Sistemi

22 Calcoliamo lo sviluppo di Fourier per un segnale periodico di impulsi rettangolari con il M.M. indicato. La funzione è pari s(t) = s(-t) rispetto a t = 0, quindi va sviluppata in termini di coefficienti che contengono solo coseni e il termine costante. Esempio : Utile per considerare limportanza dellampiezza delle armoniche nella ricostruzione del segnale Corso di Laboratorio di Segnali e Sistemi

23 Esempio : Utile per considerare limportanza delle ALTE FREQUENZE nella ricostruzione del segnale, in particolare dei FRONTI di SALITA e di DISCESA (trailing e falling edge). Calcoliamo lo sviluppo di Fourier per un segnale periodico di impulsi rettangolari con il M.M. indicato. La funzione è pari s(t) = s(-t) rispetto a t = 0, quindi va sviluppata in termini di coefficienti che contengono solo coseni e il termine costante. Corso di Laboratorio di Segnali e Sistemi

24 Serie di Fourier Complessa Riscrivendo lo Sviluppo in Serie di Fourier con le formule di Eulero : si ottiene :,... dopo una serie di semplici passaggi algebrici si può riscrivere la serie in una forma Complessa di maggiore significato (per chiarimenti vedere gli appunti) Re Im un Vettore Re somma di due fasori di ampiezza ½ ruotanti in verso opposto con la stessa velocità angolare 1 Motori a Induzione Motori a Induzione (Campo Rotante ) Corso di Laboratorio di Segnali e Sistemi

25 1 1 c -1 c1c1 coco o 1 1 c2c2 c -2 c3c3 c § § C+C+ C-C- C + = c 1 + c 2 + c 3 +…….. C - = c -1 + c -2 + c -3 +…….. ISTANTE PER ISTANTE è UN VETTORE REALE C + + C - ISTANTE PER ISTANTE è UN VETTORE REALE Re Corso di Laboratorio di Segnali e Sistemi

26 Consideriamo un impulso s(t) qualsiasi di durata finita. Trasformata di Fourier Supponiamo che ad esso siano associati, in modo virtuale, altri impulsi identici ricorrenti con periodo T Allora possiamo rappresentare s(t) attraverso la serie in armoniche di Fourier con i coefficienti Facciamo alcune semplici posizioni :Prima armonica:; n-sima armonica : intervallo unitario : ; allora ( n ) : e la s(t) diventa : Se ora torniamo alla realtà, cioè allimpulso, dobbiamo far tendere T d, n, n ) ) CnCn s(t) ) otteniamo la Coppia di Trasformate : limpulso s(t) e la corrispondente densità spettrale ) Trasformata Antitrasformata che Collegano i due mondi del tempo e delle frequenze Corso di Laboratorio di Segnali e Sistemi

27 La trasformata e l' antitrasformata ci permettono di trasformare delle funzioni e/o segnali dal dominio delle frequenze [ ] a quello del tempo [t] e viceversa. Queste espressioni hanno senso preciso solo se: ed è finito. In questo caso la trasformata è: 1) Continua 3) Nulla all'infinito per ± 2) Limitata e vale l'identità di Parseval: Quando è necessario, per esempio se un modello è difficile da trattare in un dominio, tramite loperazione di trasformazione di Fourier si può cambiare dominio. La rappresentazione nel dominio di, cioè la rappresentazione spettrale del segnale, offre un approccio molto significativo nell'analisi della risposta in una larga fascia di sistemi usati, in generale nell'elettronica, in particolare nelle telecomunicazioni. Corso di Laboratorio di Segnali e Sistemi

28 Spettro di un impulso rettangolare Sia s(t), un segnale con ampiezza A e durata in [- /2, /2] il cui M. M. è : Ponendo / 2 si ha: Esempio s(t)= A[ (t- /2) - (t+ /2)] Il suo spettro, ovvero la sua trasformata sarà : Ricordando Eulero

29 Esempio: Esempio:Trasformata di Fourier di una funzione Impulsiva con Modello Matematico s(t) = (t+ /2) – (t- /2) 1. Utile per mettere in evidenza la trasformata della (t) = cost. ( ad una durata infinitesima in t corrisponde una larghezza infinita in 2. Utile per mettere in evidenza il prodotto banda x durata. Assumiamo che la frequenza massima limite di uno spettro sia quella per cui si ha il " primo " zero nel rapporto |S( )| m / |S(0)|= 0 che si ha per : = /2 ossia in termini di frequenza = 2 f /2 ; 1=f Allora si ha la seguente relazione di indeterminazione: f up = 1 Il prodotto banda * durata è una costante e dipende solo dalla forma dell'impulso. Quindi, ad esempio, la (t) che ha una durata infinitesima, ha una banda infinita. Corso di Laboratorio di Segnali e Sistemi

30 Proprietà della parte reale e della parte immaginaria dello spettro Poiché la funzione del tempo t la sua Trasformata : gode della proprietà che la sua parte è una funzione pari è una funzione dispari e quella In generale il suo spettro sarà rappresentato da una funzione complessa: Facciamo ora l anti - trasformata cioè ricaviamo la s(t) : affinché Queste condizioni sono verificate se: A( ) è pari (infatti il seno è una funzione dispari) B( ) è dispari (infatti il coseno è una funzione pari) 1.La parte reale A( ) dello spettro è una funzione pari della frequenza. A( ) = A(- ) 2.La parte immaginaria B( ) è una funzione dispari della frequenza. B( ) = -B(- ) :

31 Corso di Laboratorio di Segnali e Sistemi Spettro di un segnale traslato Supponiamo che esista, del segnale s(t), la sua trasformata, cioè S( ) La sua trasformata sarà: Ponendo: x = t - to ; allora dt = dx si avrà: Poiché Questa informazione è contenuta nel fattore di fase. Prendiamo un segnale traslato nel tempo della quantità t o le ampiezze delle armoniche sono indipendenti dalla posizione nel tempo del segnale :

32 Corso di Laboratorio di Segnali e Sistemi Dipendenza dello spettro da un fattore di scala temporale Supponiamo che il segnale s(t) sia soggetto ad una trasformazione della scala dei tempi ( compressione o espansione ) ossia t kt con k ε R Se k > 1 si ha compressione e se 0 < k < 1 si ha dilatazione Allora se t kt segue che s(t) s(kt) e il suo spettro Ponendo: x = kt ; dx = k dt, si ha: cioè lo spettro di un segnale, ad esempio, compresso (k > 1) che mantiene la stessa forma, distribuisce le stesse componenti spettrali su un intervallo più esteso di frequenze con una ampiezza minore ( S/k) Compressione k > 1 Dilatazione k < 1 Stringendo temporalmente, si allarga lo Spettro Le Ampiezze dello Spettro, sono Minori Allargando temporalmente, si restringe lo Spettro Le Ampiezze dello Spettro, sono Maggiori

33 Spettro della derivata di un segnale Sia s(t) un segnale e supponiamo che esista la sua trasformata e sia S( ), calcoliamo la sua Risolto per parti, si vede che l'integrale si riduce a due termini: il primo svanisce per t ± in quanto s(t) 0 per la condizione di integrabilità del segnale s(t) Spettro dell' integrale di un segnale Basta osservare che: In seguito ad una operazione di differenziazione il segnale, nel dominio del tempo, diventa più "rapido", come conseguenza lo spettro della derivata ha maggiori valori nella regione delle alte frequenze. Esempio : = Quindi : Corso di Laboratorio di Segnali e Sistemi

34 Spettro di un segnale esponenziale Sia s(t) per > 0 il M. M. del segnale. Calcoliamo il suo Spettro S( ) C'è da notare che: 1. Lo spettro va a zero solo per 2. Lo spettro è una funzione complessa: Corso di Laboratorio di Segnali e Sistemi Studio RC Spettro exp La parte reale A( ) dello spettro è una funzione pari della frequenza. A( ) = A(- ) La parte immaginaria B( ) è una funzione dispari della frequenza. B( ) = -B(- )

35 Corso di Laboratorio di Segnali e Sistemi Spettro del prodotto ordinario di due segnali Siano u(t) e v(t) i segnali in t e U ( ), V ( ) i rispettivi spettri. Sia s(t) = u(t) v(t) il loro prodotto ordinario. Lo spettro sarà : sostituiamo, al posto di v(t), la sua Anti Scambiamo lordine di integrazione Possiamo riscrivere lo spettro : Questo è lIntegrale del Prodotto di Convoluzione delle funzioni V ( ) e U ( ) che si indica anche V ( ) * U( ) Lo spettro del prodotto ordinario tra i segnali u(t) x v(t) è = al prodotto di convoluzione degli spettri U( ) * V( ) il prodotto ordinario tra gli spettri U ( ) x V ( ) è = al prodotto di convoluzione dei segnali u(t) * v(t) Ed è anche vero il teorema reciproco che Concludiamo

36 Corso di Laboratorio di Segnali e Sistemi Una interessante conseguenza di questo è il teorema della convoluzione. Per dimostrarlo riscriviamo in modo sintetico indicando con la trasformata di Fourier F, il teorema già dimostrato: se s(t)= u(t)v(t) se ora facciamo la trasformata (anti) dell'espressione precedente, otteniamo: se al posto delle due funzioni del tempo u(t)v(t), sostituiamo le loro trasformate F -1 otteniamo è ovviamente possibile dimostrare, ed è valido, il teorema inverso: L'importanza di questo teorema è enorme in quanto molti processi fisici si presentano come convoluzione di altri e quindi tramite l'applicazione di questo teorema è possibile risalire ai processi primari. Questa metodo è noto come deconvoluzione (unfolding) delle componenti la trasformata di Fourier, F, del prodotto di convoluzione è equivalente al prodotto ordinario delle trasformate F [U( ) * V( )] F [U( )] F [V( )] x

37 Spettro della (t) Sia s(t) = A (t) il Modello Matematico nel dominio del tempo. Il suo spettro S( ), ovvero la sua trasformata, sarà: Abbiamo già visto le proprietà di " filtro " della (t) L'integrale è uguale al valore della funzione nel punto in cui la (t) è "concentrata In questo caso a t = 0 Quindi S( ) = A La trasformata di Fourier di una - function è una funzione indipendente da Il suo spettro ha una larghezza infinita con tutte le frequenze con la stessa ampiezza A [ -, + ] Corso di Laboratorio di Segnali e Sistemi


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