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Calcolo delle reti idrauliche in pressione mediante una tecnica mista algoritmi genetici / metodo di Gauss-Newton Laureando: Enrico Masini Relatore: Chiar.mo.

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Presentazione sul tema: "Calcolo delle reti idrauliche in pressione mediante una tecnica mista algoritmi genetici / metodo di Gauss-Newton Laureando: Enrico Masini Relatore: Chiar.mo."— Transcript della presentazione:

1 Calcolo delle reti idrauliche in pressione mediante una tecnica mista algoritmi genetici / metodo di Gauss-Newton Laureando: Enrico Masini Relatore: Chiar.mo Prof. Ing. Michele Mastrorilli Correlatore: dott. Ing. Orazio Giustolisi

2 Una delle RETI in PRESSIONE verificata applicando la tecnica mista: algoritmi genetici/metodo di Gauss-Newton

3 Sistema di equazioni n Scopo della tesi è la verifica delle reti idrauliche in pressione, ossia risolvere il seguente sistema di equazioni misto : i q i + j q j = 0 nodo h j – h j+1 = (L i k i D i -n ) q i 2 = r i q i 2 tronco Forma matriciale del sistema n Per rendere il calcolo e la scrittura del codice più agevole, si è posto lo stesso sistema nella forma matriciale proposta da G.Curto e A.Tumbiolo: A N T q + Q = 0 R abs(q)q + (A N h N + A S h S ) = 0

4 ESEMPIO: RETE di CAO 100 m.s.l.m SERBATOIO I NODI 2,3,4,5,6 SONO A QUOTA 0 m.s.l.m

5 Sistema di equazioni 13 equazioni in 13 incognite:

6 Per una soluzione approssimata: Il sistema diventa:

7 ossia risolvere il seguente problema di ottimizzazione non vincolata: X Per cui risolvere il sistema è equivalente a minimizzare la funzione: min dove: detto anche problema dei minimi quadrati funzione obiettivo del problema

8 La funzione da minimizzare è una funzione non lineare, del tipo:

9 Per esempio, nel caso unidimensionale, si ha una funzione del tipo: Ci sono più minimi locali e un unico minimo globale x e O >>

10 Algoritmi tradizionali di ottimizzazione: metodo di Newton, quasi-Newton, Gauss-Newton Si tratta di metodi che per convergere al minimo usano il calcolo delle derivate fino al 2° ordine, ossia del: vettore gradiente matrice hessiana Dallo sviluppo in serie di Taylor arrestato ai termini del 2°ordine: Supposto che q k (x) abbia un minimo in x *, annullando il gradiente:

11 Da cui si ottiene, più genericamente: Dove: è la direzione di ricerca è il passo di ricerca I metodi si differenziano per la determinazione della direzione di ricerca, ossia per la tecnica usata per calcolare la matrice hessiana Per la determinazione del passo di ricerca, si rifanno ad algoritmi esterni che risolvono essenzialmente un problema di minimizzazione unidimensionale dettoricerca di linea, ossia ricercano il minimo della funzione: lungo la direzione di ricerca stabilita

12 Tali metodi convergono se risulta: In tal caso i vettori e sono concordi: direzione di ricerca La direzione di ricerca è allora direzione di discesa, per cui risulta: direzione di massima pendenza negativa che rappresenta la condizione di convergenza cioè se la matrice è definita positiva:

13 I metodi di Newton, essendo algoritmi di discesa, convergono ad un minimo locale, funzione del punto iniziale di ricerca soluzioni punti iniziale di ricerca percorsi di discesa x e O <<

14 ALGORITMI GENETICI Si tratta di una nuova metodologia che consente di determinare il minimo globale di funzioni spiccatamente non lineari oppure non continue o non derivabili Algoritmi genetici: POPOLAZIONE INIZIALE SELEZIONE FITNESS FUNCTION CONDIZIONE TERMINALE RIPRODUZIONE MUTAZIONE CROSSOVER OPERATORI GENETICI

15 Funzionamento degli Algoritmi genetici

16 OPERATORI GENETICI CROSSOVER PUNTUALE : si tratta della riproduzione sessuata di 2 individui POPOLAZIONE INIZIALE Si scelgono casualmente N individui (cromosomi) tra tutte le soluzioni possibili del problema di ottimizzazione non vincolata ogni INDIVIDUO (o CROMOSOMA) = SOLUZIONE POSSIBILE, cioè:

17 MUTAZIONE : si tratta della variazione casuale di un gene (= 1 bit) di un individuo (o cromosoma) a caso della popolazione CROSSOVER UNIFORME : è un tipo di riproduzione sessuata più efficiente del precedente, in quanto prescinde dallordinamento dei bit

18 SELEZIONE La selezione determina quali individui (cromosomi) si riprodurranno e quali saranno scartati è grazie alla selezione che la popolazione si evolve di generazione in generazione Il cuore della selezione è la FITNESS FUNCTION (=funzione di adattività) con cui è possibile ordinare per FITNESS (adattività) gli individui della popolazione e quindi assegnare ad essi, in base alla posizione in graduatoria, una probabilità di selezione maggiore o minore CONDIZIONE TERMINALE La condizione terminale può essere di più tipi, ossia basata sul: numero di generazioni grado di uniformità della popolazione adattività dellindividuo migliore La funzione di adattività coincide allora con la funzione obiettivo del problema di ottimizzazione

19 PROBLEMA DELLO SLOW-FINISH Si è sperimentato in fase di elaborazione (ma è un fenomeno riportato da diversi autori), un evidente rallentamento progressivo della convergenza Risultati ottenuti applicando gli Algoritmi genetici alla risoluzione della rete di TorreMaggiore(FG) composta di 165 tronchi e 107 nodi N° di generazioni e Le generazioni sono state effettuate in circa 2 ore con un Pentium III 350 Mhz

20 TECNICA MISTA: algoritmi genetici / metodo di Gauss-Newton Il problema dello slow-finish è stato risolto utilizzando gli algoritmi genetici per determinare un punto inizialebuono, ossia interno alla concavità del minimo globale, e quindi proseguendo la ricerca del minimo con gli algoritmi tradizionali di discesa.

21 minimo globale buon punto iniziale di ricerca per gli algoritmi di discesa percorso di discesa x e O Come si è già visto, trovare un buon punto iniziale per gli algoritmi di discesa, significa:

22 Occorre stabilire un criterio per verificare che gli algoritmi genetici abbiano trovato la concavità del minimo globale: x e O popolazione iniziale degli algoritmi genetici

23 x e O popolazione degli algoritmi genetici dopo N generazioni dopo N generazioni si esegue un controllo per verificare se tutti gli individui sono interni della concavità del minimo globale lanciando gli algoritmi di discesa a partire da ciascun individuo della popolazione e verificando che convergano allo stesso punto. algoritmi di discesa

24 x e O Unaltra possibilità più rapida consiste, sempre dopo N generazioni, nel lanciare gli algoritmi di discesa a partire dal solo individuo migliore della popolazione (fittest individual) verificando che il punto finale (minimo locale) coincida con lo 0, avvalendosi della conoscenza del valore del minimo globale popolazione degli algoritmi genetici dopo N generazioni algoritmi di discesa

25 IN CONCLUSIONE: Testando limplementazione della tecnica mista su 4 reti con diverse complessità, precedentemente risolte con altre metodologie, si è avuto risconto del corretto funzionamento del metodo Il software è inoltre piuttosto efficiente in termini di velocità, per cui si è potuto agevolmente implementare anche la ricerca iterativa dei coefficienti alfa di ripartizione delle portate uniformemente distribuite e luso della formula di Colebrook per la determinazione degli indici di resistenza lambda, ampliando il campo delle portate al regime di transizione


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