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1 LA PARABOLA. 2 ARGOMENTI TRATTATI 1. Lequazione della parabola 2. Questioni basilari 3. Questioni relative alle rette tangenti 4. Curve deducibili dalla.

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1 1 LA PARABOLA

2 2 ARGOMENTI TRATTATI 1. Lequazione della parabola 2. Questioni basilari 3. Questioni relative alle rette tangenti 4. Curve deducibili dalla parabola 5. Discussione di sistemi di 2° grado con parametro 6. Il Segmento parabolico 7.Proprietà ottica della parabola

3 3 LEQUAZIONE DELLA PARABOLA Definizione Si dice parabola P il luogo geometrico dei punti P del piano equidistanti da un punto F, detto fuoco, e da una retta d, detta direttrice. Il punto medio del segmento, FK in figura, la cui misura è la distanza fuoco-direttrice, è il vertice V della parabola. Dalla definizione data, ponendoci in un opportuno riferimento cartesiano, possiamo ricavare lequazione della parabola con il vertce nellorigine. Sia F (0 ; f ), con f R 0, il fuoco, d: y = -f la direttrice e P(x;y) un generico punto P della P. Tali punti devono soddisfare la condizione dettata dalla definizione, cioè:

4 4 Osservazioni sul coefficiente a Dallequazione y = ax 2 si deduce che: 1. a > 0 y 0, il grafico della P si trova nel semipiano positivo delle y, concavità verso lalto; a < 0 y 0, il grafico della P si trova nel semipiano negativo delle y, concavità verso il basso; Per a = 0 la parabola degenera nella retta y = 0 (asse delle ascisse).

5 5 2. Allaumentare del valore assoluto di a, diminuisce lapertura della parabola e viceversa.

6 6 Equazione generale della parabola con asse di simmetria parallelo allasse delle ordinate Mediante una traslazione del sistema di riferimento della parabola di equazione y = ax 2, si ottiene lequazione generale della parabola con asse di simmetria parallelo allasse delle ordinate: y = ax 2 + bx + c.

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8 8 Equazione generale della parabola con asse di simmetria parallelo allasse delle ascisse Ogni parabola con asse parallelo allasse x si può ottenere mediante una trasformazione simmetrica T, rispetto alla retta y = x, di una parabola con asse di simmetria parallelo allasse y.

9 9 PARABOLE PARTICOLARI Data lequazione y = ax 2 + bx + c : se b = 0 lequazione diventa y = ax 2 + c e il grafico della parabola è simmetrico rispetto allasse delle ordinate, infatti ax 2 + c = a(-x) 2 + c ; se c = 0 lequazione diventa y = ax 2 + bx e il grafico della parabola passa per lorigine del riferimento, infatti il punto O(0;0) soddisfa sempre lequazione y = ax 2 + bx. Data lequazione x = ay 2 + by + c : se b = 0 lequazione diventa x = ay 2 + c e il grafico della parabola è simmetrico rispetto allasse delle ascisse, infatti ay 2 + c = a(-y) 2 + c ; se c = 0 lequazione diventa x = ay 2 + by e il grafico della parabola passa per lorigine del riferimento, infatti il punto O(0;0) soddisfa sempre lequazione x = ay 2 + by.

10 10 QUESTIONI BASILARI 1.Date le seguenti equazioni di parabole, traccia i grafici corrispondenti, dopo aver determinato gli elementi caratteristici (vertice, fuoco, asse di simmetria, direttrice) e le intersezioni con gli assi cartesiani.

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12 12 2. PROBLEMA RICORRENTE: determinare lequazione di una parabola. Facendo riferimento allequazione y = ax 2 + bx + c, determinare lequazione di una parabola significa determinare i tre coefficienti a, b, c. Pertanto il problema deve fornire tre condizioni tra loro indipendenti, da cui ricavare tre equazioni indipendenti. Alcune di tali condizioni sono le seguenti: le coordinate del vertice V(x V ;y V ), forniscono due fra le seguenti tre condizioni: condizione di passaggio, x V = -b/2a, y V = - /4a ; le coordinate del fuoco F(x F ;y F ), forniscono due condizioni: x F = -b/2a, y F = (1- )/4a ; conosco lequazione della direttrice: y dir = -(1+ )/4a ; conosco lequazione dellasse di simmetria: x asse = -b/2a ; condizione di passaggio per un dato punto P(x p ; y p ); tangenza ad una retta di nota equazione y = mx +q Se si conoscono le coordinate del Fuoco e lequazione della direttrice, basta applicare la definizione di parabola come luogo geometrico (pag. 3). Si fanno considerazioni analoghe per la parabola di equazione x = ay 2 + by + c.

13 13 2a. Determina lequazione della parabola avente il fuoco e la direttrice indicati.

14 14 2b. Determina lequazione della parabola avente il fuoco e la direttrice indicati.

15 15 2c. Determina l equazione della parabola avente il fuoco F(2 ; 3/2) e il vertice V(2;2).

16 16 2d. Determina l equazione della parabola avente il vertice V(0;1) e direttrice d: x = -1/4.

17 17 QUESTIONI RELATIVE ALLE RETTE TANGENTI Analizziamo questi due problemi: 1.determinare le equazioni delle rette tangenti alla parabola, condotte da un punto di note coordinate; 2.determinare lequazione della parabola tangente ad una retta di nota equazione. 1.Rette tangenti alla parabola, condotte da un punto P Questi problemi si possono trattare, come indicato nel capitolo 9 delle coniche, con il metodo del discriminante nullo, o con il metodo delle formule di sdoppiamento. Di solito conviene applicare il metodo delle formule di sdoppiamento se il punto P appartiene alla parabola. Esempi a. Determina le equazioni delle rette tangenti alla parabola di equaz. y = x e passanti per P(1; -5).

18 18 a.Determina lequazione della retta tangente alla parabola di equaz. y = -x 2 +3x, nel suo punto A di ascissa positiva e di ordinata -4.

19 19 2. Parabola tangente ad una retta di nota equazione Esempio

20 20 CURVE DEDUCIBILI DALLA PARABOLA

21 21 DISCUSSIONE DI SISTEMI DI 2° GRADO CON PARAMETRO CASO PARABOLA – RETTA Il parametro del sistema è il parametro che caratterizza il fascio di rette o di parabole. Discutere un sistema del tipo (1) o (2), significa determinare, compatibilmente alle eventuali limitazioni, per quali valori del parametro le rette intersecano la parabola nel caso (1), o la retta interseca le parabole nel caso (2). In questo contesto ci occuperemo solo del caso (1). Esempi

22 22 Le limitazioni 0 x 3 individuano larco di par. utile per trovare i valori di k, per i quali si hanno intersezioni rette – parabola. Dal grafico si evince che si devono individuare i valori di k per una retta tangente e per le rette passanti per O(0;0) e per B(3;3). Retta per O: k O = 0 ; Retta per B: k B = -3 ; Retta tangente: k T = - 4, infatti:

23 23 Le limitazioni x -1 individuano larco di par. utile per trovare i valori di k, per i quali si hanno intersezioni rette – parabola. Dal grafico si evince che si devono individuare i valori di k per una retta tang. e per la retta passante per A(-1;1). Retta per A: k A = 1 ; Retta tangente: k T = 4 – 8 1/2, infatti:

24 24 IL SEGMENTO PARABOLICO La regione finita S di piano delimitata dallarco di parabola AVB e dal segmento AB, prende il nome di segmento parabolico. Teorema di Archimede: Larea del segmento parabolico S equivale ai 2/3 dellarea del rettangolo AHKB ( HK è il segmento parallelo ad AB, che si trova sulla retta t, tangente alla parabola).

25 25 Esempio: determina larea del segmento parabolico S delimitato dalla parabola y = x 2 - 2x e dalla retta y = - 2x + 4.

26 26 PROPRIETA OTTICA DELLA PARABOLA Un raggio di luce proveniente dal fuoco si riflette sulla parabola in direzione parallela allasse di simmetria e, viceversa, un raggio proveniente da una direzione parallela allasse di simmetria viene riflesso nel fuoco. Questa proprietà, che si può facilmente dimostrare per via analitica, trova importanti applicazioni tecniche, per esempio nella costruzione dei proiettori (luce dal fuoco) e degli specchi ustori (luce verso il fuoco).


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