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LINTEGRALE INDEFINITO Copyright © 2011 Zanichelli editoreBergamini, Trifone, Barozzi – La matematica del triennio.

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1 LINTEGRALE INDEFINITO Copyright © 2011 Zanichelli editoreBergamini, Trifone, Barozzi – La matematica del triennio

2 Copyright © 2011 Zanichelli editoreBergamini, Trifone, Barozzi – La matematica del triennio L'INTEGRALE INDEFINITO 1. LE PRIMITIVE DEFINIZIONE Primitiva di una funzione Una funzione F(x) si dice primitiva della funzione f(x) definita nellintervallo [a;b] se F(x) è derivabile in tutto [a;b] e la sua derivata è f(x). Ogni funzione del tipo y = x 2 + c ha per derivata 2x quindi è una primitiva di y = 2x.

3 Copyright © 2011 Zanichelli editoreBergamini, Trifone, Barozzi – La matematica del triennio L'INTEGRALE INDEFINITO 1.LE PRIMITIVE Se F (x) è una primitiva di f (x), allora le funzioni F (x) + c, con c numero reale qualsiasi, sono tutte e sole le primitive di f (x). Ovvero: se F(x) è una primitiva di f (x), allora anche F(x) + c lo è; se F(x) e G(x) sono entrambe primitive di F(x), allora G(x) - F(x) = c. I grafici di queste funzioni sono traslati di un vettore del tipo (0; c). Tutte le funzioni hanno la stessa derivata perché nei punti con la stessa ascissa hanno tangente parallela.

4 Copyright © 2011 Zanichelli editoreBergamini, Trifone, Barozzi – La matematica del triennio L'INTEGRALE INDEFINITO 2. LINTEGRALE INDEFINITO DEFINIZIONE Integrale indefinito Si chiama integrale indefinito della funzione f(x), e si indica con, linsieme di tutte le primitive F(x) + c di f(x), con c numero reale qualunque. ESEMPIO Lintegrale indefinito di cos x è linsieme delle primitive di cos x, cioè sen x + c.

5 Copyright © 2011 Zanichelli editoreBergamini, Trifone, Barozzi – La matematica del triennio L'INTEGRALE INDEFINITO 2. LINTEGRALE INDEFINITO Lintegrazione di una funzione agisce come operazione inversa della derivazione. ESEMPIO derivazione integrazione sen x + c x 2 + c e x + c cos x 2x exex sen x + c x 2 + c e x + c

6 Copyright © 2011 Zanichelli editoreBergamini, Trifone, Barozzi – La matematica del triennio L'INTEGRALE INDEFINITO 2. LINTEGRALE INDEFINITO TEOREMA Condizione sufficiente di integrabilità Se una funzione è continua in [a; b], allora ammette primitive nello stesso intervallo.

7 Copyright © 2011 Zanichelli editoreBergamini, Trifone, Barozzi – La matematica del triennio L'INTEGRALE INDEFINITO PROPRIETÀ Prima proprietà di linearità Lintegrale indefinito di una somma di funzioni integrabili è uguale alla somma degli integrali indefiniti delle singole funzioni: 3. LE PROPRIETÀ DELLINTEGRALE INDEFINITO ESEMPIO

8 Copyright © 2011 Zanichelli editoreBergamini, Trifone, Barozzi – La matematica del triennio L'INTEGRALE INDEFINITO PROPRIETÀ Seconda proprietà di linearità Lintegrale del prodotto di una costante per una funzione integrabile è uguale al prodotto della costante per lintegrale della funzione: 3. LE PROPRIETÀ DELLINTEGRALE INDEFINITO ESEMPIO


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