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Marco Mulas Conteggio esatto ed approssimato di cicli da quattro in grafi non diretti.

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Presentazione sul tema: "Marco Mulas Conteggio esatto ed approssimato di cicli da quattro in grafi non diretti."— Transcript della presentazione:

1 Marco Mulas Conteggio esatto ed approssimato di cicli da quattro in grafi non diretti

2 Cicli da quattro Reti ferroviarieReti socialiTopologia e caratteristiche di un grafo Pagina 2/20

3 Conteggio esatto ed approssimato di cicli da quattro in grafi non diretti Definizioni Chiameremo quadrato una qualsiasi sequenza (a,b,c,d) di nodi del grafo G se e solo se essa forma un ciclo di lunghezza quattro in G, ossia se e solo se {a,b}, {b,c}, {c,d}, {d,a} sono presenti nellinsieme degli archi di G. Pagina 3/20

4 Conteggio esatto ed approssimato di cicli da quattro in grafi non diretti Definizioni Chiameremo 2path (a,x,b) un cammino di lunghezza due allinterno del grafo. Chiameremo 3path (a,x,y,b) un cammino di lunghezza tre allinterno del grafo. Pagina 4/20

5 Algoritmi di conteggio esatto mediante vertici Conteggio esatto ed approssimato di cicli da quattro in grafi non diretti INPUT: G=(V,E) count = 0 for each a V for each b V (ba) for each c V (cb, ca) for each d V (dc, db, da) if {a,b},{b,c},{c,d},{d,a} E then count = count + 1 OUTPUT: count/8 mediante Ricerca Esaustiva Tempo: (n 4 ) Pagina 5/20

6 Tempo: (n 2 ) per istanze reali Algoritmi di conteggio esatto mediante vertici Conteggio esatto ed approssimato di cicli da quattro in grafi non diretti INPUT: G=(V,E) count = 0 for each a V for each b adj(a) for each c adj(b) (ca) for each d adj(c) (db, da) if {d,a} E then count = count + 1 OUTPUT: count/8 mediante Backtracking Tempo: (n 2 ) + O(nd 3 ) Pagina 6/20

7 Algoritmi di conteggio esatto mediante 2path Conteggio esatto ed approssimato di cicli da quattro in grafi non diretti Tempo: O(nd 2 log n) INPUT: G=(V,E) count = 0 P = for each 2path (a,x,b) in G P = P U (a,b) for each (c,d) P calcola la molteplicità k di (c,d) in P if k 2 then count = count + OUTPUT: count/2 Tempo: O(n log n) per istanze reali Pagina 7/20

8 Algoritmi approssimanti Conteggio esatto ed approssimato di cicli da quattro in grafi non diretti Un algoritmo probabilistico per un problema di conteggio è ( - )-approssimante se, (0,1) produce, con una probabilità maggiore o uguale a 1-, una stima e che dista al più un fattore dal conteggio esatto di X. X X+ XX- X Pagina 8/20

9 Campionamento mediante quattro vertici Conteggio esatto ed approssimato di cicli da quattro in grafi non diretti INPUT: G=(V,E) = 0 Scegli a caso una possibile quadrupla (a, b, c, d) if {a,b}, {b,c}, {c,d}, {d,a} E then = 1 OUTPUT: [CQV] Pagina 9/20

10 Algoritmi approssimanti Conteggio esatto ed approssimato di cicli da quattro in grafi non diretti Teorema Siano 1, 2,..., S variabili aleatorie identicamente distribuite a valori nellintervallo [0,1] con valore medio E[ ]. Se Pagina 10/20 allora

11 Campionamento mediante quattro vertici Conteggio esatto ed approssimato di cicli da quattro in grafi non diretti INPUT: G=(V,E) = 0 Scegli a caso una possibile quadrupla (a, b, c, d) if {a,b}, {b,c}, {c,d}, {d,a} E then = 1 OUTPUT: [CQV] Pagina 11/20

12 Campionamento mediante 2path e un vertice Conteggio esatto ed approssimato di cicli da quattro in grafi non diretti INPUT: G=(V,E) = 0 Scegli a caso un 2path (a,b,c) e un vertice d t.c. d {a,b,c} If {c,d}, {d,a} E then = 1 OUTPUT: [CPV] Pagina 12/20

13 Campionamento mediante 3path Conteggio esatto ed approssimato di cicli da quattro in grafi non diretti [CTP] INPUT: G=(V,E) = 0 Scegli a caso un {a,b} E Fra gli adj(a) scegli a caso un vertice d Fra gli adj(b) scegli a caso un vertice c if db ca {d,c} E then = OUTPUT: Pagina 13/20

14 Risultati sperimentali Conteggio esatto ed approssimato di cicli da quattro in grafi non diretti Dataset usato GrafoVerticiArchiD medioQuadrati Erdo ̋ s–Rényi 300, , as , as , as , Erdo ̋ s–Rényi 3011, , Enron , Dblp.ungraph , Pagina 14/20

15 Risultati sperimentali Conteggio esatto ed approssimato di cicli da quattro in grafi non diretti Algoritmi di conteggio esatto Pagina 15/20

16 Risultati sperimentali Conteggio esatto ed approssimato di cicli da quattro in grafi non diretti Con algoritmo di campionamento mediante 2path e un vertice Grafo20k50k100k500k dev.Speedupdev.Speedupdev.Speedupdev.Speedup E.R. 300,0.0353,1%1,000,1%2,440,3%4,660,1%22,65 as ,0%0,206,8%0,505,6%1,001,0%5,07 as ,5%0,103,5%0,252,5%0,492,1%2,48 as ,3%0,301,6%0,741,2%1,431,0%7,44 E.R. 3011,0.0454,3%0,0031,3%0,0071,2%0,0140,8%0,071 -Enron9,5%0,0044,7%0,0104,1%0,0201,1%0,099 dblp.ungraph9,1%0,0058,1%0,0085,5%0,0151,8%0,071 Pagina 16/20

17 Risultati sperimentali Conteggio esatto ed approssimato di cicli da quattro in grafi non diretti Con algoritmo di campionamento mediante 3path Grafo1002k5k10k dev.Speedupdev.Speedupdev.Speedupdev.Speedup E.R. 300, ,4%0,01434,2%0,08312,6%0,20660,9%0,4057 as ,5%0,00290,14%0,01160,11%0,02890,10%0,0697 as ,9%0,00066,3%0,00473,2%0,01091,0%0,0211 as ,8%0,00282,8%0,01362,7%0,03181,5%0,0673 E.R. 3011, ,6%0,00024%0,00052,5%0,00091,9%0, Enron10,1%0,00031,7%0,00061,5%0,00110,9%0,0195 dblp.ungraph6,9%0,00182,1%0,00201,0%0,00240,001%0,0029 Pagina 17/20

18 Confronto campionamenti Conteggio esatto ed approssimato di cicli da quattro in grafi non diretti Esperimenti sul grafo Erdo ̋ s–Rényi 300,0.035 Pagina 18/20

19 Confronto campionamenti Conteggio esatto ed approssimato di cicli da quattro in grafi non diretti Esperimenti sul grafo as Pagina 19/20

20 Conclusioni e sviluppi futuri Conteggio esatto ed approssimato di cicli da quattro in grafi non diretti Sono stati presentati due tipologie di algoritmo esatto per il conteggio dei quadrati e tre algoritmi di campionamento per il conteggio approssimato Mediante lalgoritmo di conteggio esatto basato sui 2path si riescono ad ottenere risultati esatti in un tempo discreto Lalgoritmo di campionamento basato sul 3path risulta il più efficiente dei tre presentati. Mediante dei buon algoritmi di conteggio approssimanti è possibile raggiungere unottima stima indicativa usando usando tempi accettabili Con il modello di memoria esterna si può eseguire il conteggio esatto, basato su 2path mediante mergesort iterativo a k vie su file, anche su grafi più grandi (n 1M e m 2M) Pagina 20/20

21 Grazie per la cortese attenzione Conteggio esatto ed approssimato di cicli da quattro in grafi non diretti


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