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Università degli Studi di Cassino Facoltà di Ingegneria Corso di Laurea in Ingegneria delle Telecomunicazioni Tesi di Laurea STIMA DEI PARAMETRI DEI SEGNALI.

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1 Università degli Studi di Cassino Facoltà di Ingegneria Corso di Laurea in Ingegneria delle Telecomunicazioni Tesi di Laurea STIMA DEI PARAMETRI DEI SEGNALI NEL DOMINIO DELLA FREQUENZA IN PRESENZA DI INTERFERENZA ARMONICARelatore Chiar.mo Prof. Consolatina Liguori Candidato Petricca Riccardo Matr. 17/00115 ANNO ACCADEMICO

2 2Sommario DFT e FFT : cause di errore. DFT e FFT : cause di errore. Metodi tradizionali presenti in letteratura per la determinazione dei parametri di un segnale nel dominio della frequenza. Metodi tradizionali presenti in letteratura per la determinazione dei parametri di un segnale nel dominio della frequenza. Metodo Proposto in questo lavoro : IFFTc Metodo Proposto in questo lavoro : IFFTc –Determinazione della correzione su frequenza (f ic ), ampiezza (A ic ) e fase (φ ic ) dei segnali in presenza di Interferenza Armonica. Caratterizzazione Metrologica degli algoritmi: Caratterizzazione Metrologica degli algoritmi: –Errore Residuo –Incertezza Confronto tra IFFTc e gli altri metodi. Confronto tra IFFTc e gli altri metodi. Metodo per risolvere toni nascosti. Metodo per risolvere toni nascosti.

3 3Obiettivof | X(f) | Sia dato lo spettro di un generico segnale reale N Toni = ? massimo k i : f i, A i, φ i = ? Gli approcci presenti in letteratura prevedono di elaborare i campioni della DFT nellintorno del massimo k i dello spettro dampiezza, al fine di valutarne frequenza (f i ), ampiezza (A i ) e fase (φ i ). f 1, A 1 f 2, A 2 f 3, A 3 f 4, A 4 Problema I campioni della DFT sono intrinsecamente affetti da errori dovuti principalmente a tre cause:

4 4 EAiEAi fifi f m =k i Δf AiAi AmAm δiδi 1. Aliasing dovuto alla banda del segnale in analisi ed alla frequenza di campionamento. Per evitare problemi di aliasing nelluso dellalgoritmo di FFT si suppone sempre lutilizzo a monte del circuito di campionamento di opportuni filtri anti-aliasing 2. Dispersione Spettrale o Spectral Leakage Cause di errore nella DFT (1/3) x(t) A/D LPF Anti-aliasing x(n) fsfs dovuto al rapporto in genere non intero esistente fra la frequenza di campionamento e le frequenze delle armoniche del segnale di analisi, indicato come campionamento asincrono, e la cui entità dipende anche dalloperazione di finestratura. S. L.

5 3. Interferenza Armonica dovuta alla presenza di componenti armoniche del segnale di analisi vicine in frequenza (legata a Δf). Per un segnale multifrequenziale, interferenza armonica è il fenomeno che si manifesta quando i campioni spettrali relativi alla i-esima armonica dipendono anche da quelli delle altre componenti (vedi figura). Può essere molto dannoso in quanto toni forti possono nascondere toni deboli. Cause di errore nella DFT (2/3)

6 6 Cause di errore nella DFT (3/3) Esempio delleffetto combinato dellInterferenza Armonica e dello Spectral Leakage su un segnale con due sole armoniche.

7 7 Metodi tradizionali per la stima dei parametri dei segnali nel dominio della frequenza Metodi dinterpolazione mediante parametri energetici (Energy based-paramethers algorithms). Metodi dinterpolazione mediante parametri energetici (Energy based-paramethers algorithms). – –Si basano sulla valutazione di alcuni parametri relativi allenergia delle componenti spettrali, da cui, applicando le proprietà della DFT, si ricavano le stime di δ i, A i e φ i. Questi parametri si calcolano su pochi campioni locati nella banda B=[-K,K]. ΡRisentono molto dellInterferenza Armonica (hanno un comportamento a soglia per d<9bin le stime non sono affidabili). Metodi basati sulluso di Stimatori: Metodi basati sulluso di Stimatori: –MLE (Maximal Likelihood Estimator) –LSM (Least Square Method) ΡNecessitano la conoscenza a-priori del modello danalisi. Interpolated FFT: Interpolated FFT: –IFFT su due punti (IFFT2p) –IFFT con interpolazione su più punti (WIFFT) » »IFFT3p (three-points IFFT) » »IFFT5p (five-points IFFT)

8 8 IFFT (1/2) Lo spettro dampiezza di un segnale con P componenti frequenziali: è caratterizzato da P picchi, se non ci sono toni nascosti. Il picco corrispondente alli-esimo tono frequenziale può essere identificato con lindice k i Si ha quindi che la stima della frequenza è data dalla conoscenza di: Con la tecnica IFFT (Interpolated FFT) si realizza uninterpolazione dei campioni della DFT, basata sullo spettro della finestra. In particolare lIFFT classica, quella su due punti (2-points IFFT o IFFT2p), determina le componenti frequenziali, considerando solo i due più alti campioni corrispondenti al picco dello spettro. k i -1k i +1kiki k i -1k i +1kiki La IFFT stima δ i considerando il rapporto α i tra questi due campioni:

9 9 IFFT (2/2) Per la finestra di Hanning abbiamo: IFFT con interpolazione su più punti Una delle varianti principali dellalgoritmo di IFFT è linterpolazione dellFFT su un numero variabile di punti (Weighted Multipoint Interpolated FFT), in particolare noi consideriamo quella su tre e su cinque punti (IFFT3p e IFFT5p). In questo caso δ può essere ricavato nel seguente modo: IFFT3p IFFT5p

10 10 Algoritmo Proposto: IFFTc (1/2) Le formule di interpolazione viste sono state determinate considerando del tutto trascurabile linterferenza armonica. Se questa non è più trascurabile le relazioni non sono più valide. Si consideri il segnale x(t), i campioni spettrali del segnale finestrato sono dati da: Evidenziando in queste relazioni i contributi di interferenza sulli-esima componente spettrale dovuti alle P-1 componenti del segnale otteniamo: I contributi dellinterferenza armonica trascurati nellIFFT possono essere eliminati dalle formule dinterpolazione. Per poter quindi stimare le caratteristiche del segnale si può far riferimento al coefficiente α corretto:

11 11 Algoritmo proposto: IFFTc (2/2) ALGORITMO IFFTc 1.IFFT2p –Ad ogni picco dello spettro dampiezza del segnale si applica IFFT2p per stimare la frequenza, ampiezza e fase della corrispondente componente spettrale non considerando gli effetti dellInterferenza Armonica. (per ogni i: f i, A i, i ) 2.Correzione –Usando le stime ottenute al passo precedente si determina per ogni picco i fattori di correzione usando i due campioni dellIFFT. (per ogni i: F i e B i ) 3.IFFT2p sui campioni corretti –In questo modo le frequenze, ampiezze e fasi calcolate risultano corrette dalleffetto dellInterferenza Armonica. (per ogni i: f ic, A ic, ic ) Le equazioni per la stima dei parametri delle componenti spettrali vanno modificate ottenendo le relazioni:

12 12 Al fine di mostrare la validità del metodo proposto, IFFTc è stato confrontato con i metodi tradizionali: Al fine di mostrare la validità del metodo proposto, IFFTc è stato confrontato con i metodi tradizionali: –Metodi Basati sul calcolo di parametri energetici (Energy) –IFFT o IFFT2p –IFFT3p –IFFT5p Al fine di facilitare la lettura dei grafici ed evidenziare le differenze: Al fine di facilitare la lettura dei grafici ed evidenziare le differenze: È stato analizzato il caso di un segnale con: È stato analizzato il caso di un segnale con: –due toni –tre toni –P toni Verifica Procedura (1/2) IFFT2p IFFTcIFFT3pIFFT5p EnergyMethod

13 13 Verifica Procedura (2/2) Segnale in ingresso con due soli toni: Segnale in ingresso con due soli toni: con f dx = f sx + d 12 f ; f s =800 Per entrambi i toni sono stati confrontati gli errori su: Per entrambi i toni sono stati confrontati gli errori su: –Frequenza f o sul δ –Ampiezza –Fase Analisi al variare: Analisi al variare: »Frequenza (f sx, f dx ) »Distanza tra i toni (d 12 ) »Ampiezza (A sx, A dx ) »Fasi iniziali (φ sx, φ dx ) »Punti della DFT (N)

14 14 Analisi al Variare della frequenza A sx =A dx =100 ; sx = dx =0 ; d 12 =5 ; N=256 ; f sx variabile da f sx =5 ad f sx =115. Errore su sx Errore su dx Errore su sx Errore su dx IFFTIFFTc 6· ·10 -3 Lerrore non dipende dalla frequenza ma solo dal, quindi i valori di f possono essere mantenuti costante sia per IFFT che IFFTc

15 15 Analisi al Variare della distanza tra i toni (1/2) A sx =A dx =100 ; sx = dx =0 ; f sx =(N/2+0.65)Δf d 12 variabile da d 12 =3 a d 12 =20. Errore su f sx Errore su A sx Errore su f sx Errore su A sx IFFTIFFTcIFFT3pIFFT5pEnergy Anche per la stima della fase si ottengono risultati analoghi. Il metodo basato sullenergia ha come detto allinizio un comportamento a soglia. Per la WIFFT bisogna tener conto del numero di punti di interpolazione e della distanza in bin dei toni.

16 16 Analisi al Variare della distanza tra i toni (2/2) Errore su f dx Errore su A dx Errore su f dx Errore su A dx IFFTIFFTcIFFT3pIFFT5pEnergy Lerrore sia sulla stima della frequenza che dellampiezza con IFFTc è ridotta rispetto a tutti gli altri metodi di due ordini di grandezza.

17 17 Analisi al Variare dellampiezza (1/2) sx = dx =0 ; f sx =(N/2+0.65)Δf ; N=256 ; d 12 =3 ; sx = dx =0 ; f sx =(N/2+0.65)Δf ; N=256 ; d 12 =3 ; A sx variabile da A sx =1 ad A sx =100 ; A dx =100 ; Errore su f sx Errore su A sx Errore su f sx Errore su A sx IFFTIFFTcIFFT3p

18 18 Analisi al Variare dellampiezza (2/2) Errore su f dx Errore su A dx Errore su f dx Errore su A dx IFFTIFFTcIFFT3p Come atteso, gli errori incrementano sulla seconda sinusoide e decrescono sulla prima, mentre A sx cresce; infatti il tono più grande interferisce di più ed è meno suscettibile di quello piccolo ·10 -3

19 19 Analisi al Variare della fase A sx =A dx =100 ; f sx =(N/2+0.65)Δf ; d 12 =5 ; N=256 ; sx variabile da sx =0 a sx =2π ; dx =0. sx variabile da sx =0 a sx =2π ; dx =0. Errore su f sx Errore su A sx Errore su f sx Errore su A sx IFFTIFFTcIFFT3p Si osserva che per ambedue i toni gli errori massimi della IFFT e IFFT3p si hanno per sx =0 e per sx = ; leffetto sistematico residuo della IFFTc e molto più piccolo di quello della IFFT e IFFT3p, anche se ha lo stesso comportamento

20 20 Analisi al Variare di N A sx =A dx =100 ; sx = dx =0 ; f sx =(N/2+0.65)Δf ; d 12 =20 ; N={128, 256, 512, 1024, 2048}. Errore su f sx Errore su A sx Errore su f sx Errore su A sx IFFTN=256IFFTcN=256IFFT3pN=256 IFFTN=512IFFTcN=512IFFT3pN=512 * *** IFFTN=1024IFFTcN=1024IFFT3pN=1024 La variabilità con IFFTc è ridotta rispetto agli altri metodi per tutti i valori di N. IFFTN=2048IFFTcN=2048IFFT3pN=2048 * +++ 3·

21 21 Analisi per tre toni (1/2) Segnale con tre toni: Segnale con tre toni: con f cen = f sx + d 12 f ; f dx = f cen + d 23 f ; f s =800 È stata valutata la dipendenza da: È stata valutata la dipendenza da: –Frequenza (f sx, f cen, f dx ) –Distanza tra i toni (d 12, d 23 ) –Ampiezza (A sx, A cen, A dx ) –Fasi iniziali (φ sx, φ cen, φ dx ) –Punti della DFT (N) Si ottengono risultati analoghi al caso con due armoniche ma con un lieve degrado delle stime poiché ogni armonica risente non più di un solo tomo ma di due toni interferenti. Si ottengono risultati analoghi al caso con due armoniche ma con un lieve degrado delle stime poiché ogni armonica risente non più di un solo tomo ma di due toni interferenti.

22 22 Analisi per tre toni (2/2) A sx =A cen =A dx =100 ; sx = cen = dx =0 ; f sx =110; N=1024; f s =800; d 12 =d 23 =d variabile da d=3 a d=20. Errore sulla stima della frequenza Errore sulla stima dellampiezza Larmonica centrale è la più penalizzata (come si evince dalle figure). Larmonica centrale è la più penalizzata (come si evince dalle figure). Gli errori di IFFTc sono visibilmente inferiori. Gli errori di IFFTc sono visibilmente inferiori. IFFTIFFTcIFFT3p ·

23 23 Analisi per P toni Il segnale in analisi è: Il segnale in analisi è: Sono state effettuate prove per P=4, P=5, P=10 e P=20. Sono state effettuate prove per P=4, P=5, P=10 e P=20. Per questi valori di P sono state nuovamente effettuate le simulazioni viste nel caso di due e tre toni. Per questi valori di P sono state nuovamente effettuate le simulazioni viste nel caso di due e tre toni. Anche in questo caso valgono considerazioni analoghe alle precedenti. Anche in questo caso valgono considerazioni analoghe alle precedenti. Le stime peggiorano in quanto la singola armonica subisce linterferenza di P-1 toni adiacenti. Le stime peggiorano in quanto la singola armonica subisce linterferenza di P-1 toni adiacenti. Lalgoritmo IFFTc è meno influenzato dallaumento di P infatti a differenza degli altri metodi non cè la sovrapposizione degli effetti dellinterferenza e un conseguente degrado della stima. Lalgoritmo IFFTc è meno influenzato dallaumento di P infatti a differenza degli altri metodi non cè la sovrapposizione degli effetti dellinterferenza e un conseguente degrado della stima.

24 24Incertezza Per i metodi analizzati lincertezza è stata valutata con un approccio di tipo white box. Per i metodi analizzati lincertezza è stata valutata con un approccio di tipo white box. Metodo white box: Metodo white box: –Analisi teorica »si applica la legge di propagazione delle incertezze alle relazioni ricavate dalla teoria. –Verifica numerica »si fa lavorare il software su dati di un modello in grado di simulare i segnali reali. –Validazione sperimentale »si passa a lavorare su segnali reali. La sorgente di incertezza considerata è il rumore che viene introdotto nella fase di conversione A/D, che è la causa di incertezza principale nelle valutazioni di interesse. I risultati sperimentali presenti in letteratura evidenziano infatti che la principale fonte di incertezza nellalgoritmo della DFT risulta essere la quantizzazione seguita dal jitter il che permette di non considerare le altre fonti di errore.

25 25 Propagazione Incertezza (1/3) Alle formule ricavate per IFFT è stata applicata la legge di propagazione dellincertezza ( UNI CEI 9) ottenendo per α i, δ i, f i ed A i le seguenti espressioni per lincertezza: Algoritmo di IFFT

26 26 Propagazione Incertezza (2/3) Metodo basato sullEnergia Alle formule per il metodo basato sullEnergia è stata applicata la legge di propagazione dellincertezza ottenendo: IFFT con Interpolazione su più punti Con approccio simile è stato caratterizzato dal punto di vista metrologico anche lalgoritmo IFFT con interpolazione su più punti. Si può osservare che: IFFT3p ha unincertezza minore di quella di IFFT5p ma maggiore di IFFT2p IFFT5p presenta unincertezza maggiore di IFFT3p e IFFT2p

27 27 Propagazione Incertezza (3/3) Per IFFTc usando lo stesso approccio si ricava lincertezza su δ i : Per IFFTc usando lo stesso approccio si ricava lincertezza su δ i : Per quanto concerne lincertezza su α ic questa dipende dallincertezza sui campioni X g (k i ) e X g (k i +1) e dallincertezza sui fattori di correzione F i e B i. Si dimostra che questultime possono essere trascurate Per quanto concerne lincertezza su α ic questa dipende dallincertezza sui campioni X g (k i ) e X g (k i +1) e dallincertezza sui fattori di correzione F i e B i. Si dimostra che questultime possono essere trascurate IFFTc IFFT + rumore IFFTc + rumore Incertezza su δ i e δ ic 7.6· ·10 -4

28 28 Incertezza tipo della frequenza Come specificato dalla norma: lincertezza descrive completamente laffidabilità di una misura solo se il risultato è corretto da tutti gli effetti sistematici, i quali determinano uno scostamento del valore misurato da quello del valore vero convenzionale e che significativamente influenzano le stime. A tal fine si definisce una nuova variabile dove i è restituito dallo specifico algoritmo e E tiene conto dellerrore residuo. In particolare, E è una variabile casuale a valor medio nullo (che di conseguenza non altera il valore stimato dallalgoritmo) e con una dev. st. relativa allerrore residuo. Lincertezza di deve essere valutata come è lincertezza sul valore stimato è lincertezza dovuta allerrore residuo ed è uguale alla deviazione standard della variabile casuale E.

29 29 Confronto Incertezze (1/2) Lincertezza dovuta allerrore residuo è valutata per ogni metodo misurando la dev. st. su un set di segnali simili. In particolare, dato che lanalisi esposta precedentemente mostra che lerrore residuo dipende principalmente dai d ij, i set di prova sono stati realizzati variando 1 in [-0.5, 0.5], 2 in [-π/2, π/2], e anche d ij è stato fatto variare in [d 0 –0.5, d ].In Tabella sono riportati i valori delle dev. st. rispetto a d 0, per un segnale con due toni per i diversi metodi considerati. Lincertezza dovuta allerrore residuo è valutata per ogni metodo misurando la dev. st. su un set di segnali simili. In particolare, dato che lanalisi esposta precedentemente mostra che lerrore residuo dipende principalmente dai d ij, i set di prova sono stati realizzati variando 1 in [-0.5, 0.5], 2 in [-π/2, π/2], e anche d ij è stato fatto variare in [d 0 –0.5, d ]. In Tabella sono riportati i valori delle dev. st. rispetto a d 0, per un segnale con due toni per i diversi metodi considerati. N=256 ; f 1 =N/4+ N=256 ; f 1 =N/4+ d0d0d0d0IFFT2pIFFTcIFFT3pIFFT5p Energy 4 5.0E-38.8E-54.0E-31.6E-2 1.3E E-32.0E-51.3E-31.2E-3 5.7E E-36.3E-65.5E-44.3E-4 5.4E E-42.4E-62.8E-42.2E-4 3.2E E-41.1E-61.6E-41.3E-4 5.4E E-45.3E-79.8E-58.5E-5 9.6E E-42.9E-76.3E-55.9E-5 4.7E E-51.1E-71.2E-51.5E-51.2E E-51.4E-74.7E-67.0E-69.1E-6 N=256 ; f 1 =N/4+ N=256 ; f 1 =N/4+ d0d0d0d0IFFT2pIFFTcIFFT3pIFFT5pEnergy 4 2.5E-28.8E-51.9E-29.8E-2 2.4E E-22.0E-56.3E-31.2E-2 4.5E E-36.2E-62.7E-32.8E E-32.4E-61.4E-31.2E-3 4.8E E-31.1E-67.8E-46.6E-4 1.4E E-36.1E-74.8E-44.3E-4 1.5E E-34.5E-73.1E-42.9E-4 3.8E E-45.3E-75.9E-57.5E-54.1E E-47.0E-72.3E-53.5E-52.0E-5

30 30 Confronto Incertezze (2/2) N=256 ; f 1 =N/4+ N=256 ; f 1 =N/4+ d0d0d0d0IFFT2pIFFTcIFFT3pIFFT5p Energy 4 2.5E-28.8E-51.9E-29.8E-2 2.4E E-22.0E-56.3E-31.2E-2 4.5E E-36.2E-62.7E-32.8E E-32.4E-61.4E-31.2E-3 4.8E E-31.1E-67.8E-46.6E-4 1.4E E-36.1E-74.8E-44.3E-4 1.5E E-34.5E-73.1E-42.9E-4 3.8E E-45.3E-75.9E-57.5E-54.1E E-47.0E-72.3E-53.5E-52.0E-5 N=256 ; f 1 =N/4+ N=256 ; f 1 =N/4+ d0d0d0d0IFFT2pIFFTcIFFT3pIFFT5pEnergy 45.0E-28.8E-53.6E-22.0E-1 2.5E E-22.0E-51.2E-22.7E-2 3.0E E-26.2E-65.4E-38.0E E-32.4E-62.8E-3 9.0E E-31.2E-61.6E-31.4E-3 5.3E E-38.2E-79.6E-48.7E-4 6.2E E-37.6E-76.3E-45.9E-4 1.4E E-41.2E-69.2E-51.2E-46.5E E-41.4E-64.7E-56.9E-53.6E-5 Come si può vedere, IFFTc è caratterizzata da un E molto più basso di quello degli altri metodi (fino a 2-3 ordini di grandezza); anche la variabilità con d e N è notevolmente ridotta.

31 d · d · d d · d · d IFFTIFFTcIFFT3p Esempi di Incertezza Combinata (1/2) Per quantificare meglio il contributo del E allincertezza totale è necessario introdurre alcuni parametri riguardanti la configurazione hardware (N bit, V fs, del convertitore A/D), la condizione operativa del convertitore (N) come anche le caratteristiche del segnale dingresso. Fig. (a)

32 32 Esempi di Incertezza Combinata (2/2) N 0 4· · N 0 6· N N bit N bit N bit 0 2·10 -3 IFFTIFFTcIFFT3p Prove al variare di: (a) d 12 con N e N bit fissi (b) N con d 12 e N bit fissi (c) N bit con d 12 e N fissi Fig. (b) Fig. (c)

33 33 Metodo per la risoluzione di toni nascosti Esempio: Presenza di toni nascosti

34 34 Idea alla base del nuovo metodo - = SpettroAmpiezza SpettroIFFTc Spettrodifferenza - = Segnale con toni nascosti Spettro Ricostruito R RR Ricompare il Tono Nascosto

35 35 Conclusioni Dallesame dei risultati si evidenzia che: –Errore Residuo »Lerrore residuo presentato da IFFTc è sempre minore di quello presentato dagli altri metodi. »Mentre i metodi tradizionali risentono del variare delle caratteristiche dei segnali in ingresso, soprattutto alla distanza tra i toni, IFFTc è poco sensibile alle specifiche caratteristiche del segnale. »IFFTc restituisce quindi stime più accurate. –Incertezza »Nel confronto si è tenuto conto oltre alla variabilità dei risultati forniti anche dellerrore residuo che va ad aumentare, opportunamente combinato, lincertezza del risultato finale. »Lalgoritmo proposto presenta i valori di incertezza più bassi per ogni genere di segnali in ingresso.

36 36 Messa a punto e caratterizzazione metrologica della tecnica per la misura dei parametri dei segnali anche in presenza di toni nascosti. Messa a punto e caratterizzazione metrologica della tecnica per la misura dei parametri dei segnali anche in presenza di toni nascosti. Intelligent FFT-Analyzer: Intelligent FFT-Analyzer: realizzazione di uno strumento di misura che impiega le relazioni ottenute per fornire in tempo reale le caratteristiche dei segnali con la loro incertezza. Sviluppi Futuri


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