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Scattering in Meccanica Classica. Sommario Scattering Diffusione Thomson e Rayleigh Sezione durto in meccanica classica Attenuazione Scattering da una.

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Presentazione sul tema: "Scattering in Meccanica Classica. Sommario Scattering Diffusione Thomson e Rayleigh Sezione durto in meccanica classica Attenuazione Scattering da una."— Transcript della presentazione:

1 Scattering in Meccanica Classica

2 Sommario Scattering Diffusione Thomson e Rayleigh Sezione durto in meccanica classica Attenuazione Scattering da una sfera rigida Sezione durto di Rutherford F. Bianchi2

3 Scattering (1) Mezzo sperimentale per eccellenza per ottenere informazioni sulla struttura del sistemi fisici. – Usato ampiamente anche dalla natura. Archetipo di tutti gli esperimenti di scattering: Visione – Sorgente di luce – Oggetto – Rivelatore di luce La luce visibile, generata dalla sorgente (Sole, lampada, LED, laser,..), viene diffusa dalloggetto e raccolta dal rivelatore (Occhio, lastra fotografica, CCD, fotomoltiplicatore,..). 3F. Bianchi

4 Scattering (2) Elemento fondamentale di ogni processo di scattering, sia corpuscolare sia ondulatorio: Collisione – Es: Scattering di Onde elettromagnetiche/Fotoni Effetti della collisione dipendenti da forma, dimensione e struttura interna del bersaglio. Descrizione della collisione fortemente dipendente dal tipo di bersaglio e dal rapporto fra lunghezza donda e dimensioni del bersaglio. Diffrazione: Forma/Dimensioni di uno schermo/apertura – Trattazione classica Scattering: Forma/Dimensioni/Struttura di un bersaglio – Trattazione classica sufficiente in qualche caso (Es Antenne) – Trattazione quantistica necessaria a livello microscopico 4F. Bianchi

5 Scattering di Onde Elettromagnetiche Collisione con oggetti macroscopici, risposta coerente: – d/ >> 1 ottica geometrica – d/ ~ 1 ottica fisica Collisione con oggetti microscopici, risposta incoerente: – d ~ 0 scattering Thompson (su elettroni liberi) – d/ << 1 scattering Rayleigh (su elettroni legati) – d/ ~ 1 scattering Mie 5F. Bianchi

6 Scattering Thomson (1) Diffusione di un onda elettromagnetica su un elettrone libero Onda elettromagnetica incidente lungo la direzione dellasse z: onda piana, polarizzata linearmente lungo lasse x. Lelettrone oscilla sotto lazione di E e B. – Si puo trascurare B se v e << c Risultato: moto armonico -> dipolo oscillante -> emissione di radiazione sotto forma di onde sferiche 6F. Bianchi

7 Scattering Thomson (2) 7F. Bianchi

8 Scattering Thomson (3) Potenza media incidente per unita di superficie: Forza agente sullelettrone: Accelerazione media dellelettrone: Potenza mediata temporalmente irraggiata per unita di angolo solido da una particella accelerata non relativistica: Potenza media diffusa per unita dangolo solido 8F. Bianchi

9 Scattering Thomson (4) Sezione durto (m 2 /sr) Sezione durto totale (m 2 ) Raggio classico dellelettrone T indipendente da frequenza ed ampiezza della radiazione incidente 9F. Bianchi

10 Scattering Rayleigh (1) Scattering su atomi e molecole: Elettroni legati – Nuclei pesanti, non risentono del campo elettrico dellonda Modello supersemplificato della forza di legame: – Termine elastico + Termine di smorzamento – Equivale a: Lequazione del moto dellelettrone: Con: Una possibile soluzione e: 10F. Bianchi

11 Scattering Rayleigh (2) Sostituendo x(t) e le sue derivate nellequazione del moto dellelettrone: Laccelerazione quadratica media dellelettrone e: Potenza irraggiata dallelettrone 11F. Bianchi

12 Scattering Rayleigh (3) La sezione durto (m 2 /sr): 12F. Bianchi

13 Scattering Rayleigh (4) L a sezione durto totale (m 2 ) dipende fortemente dalla frequenza dellonda incidente. Massimo sezione durto: Se Sezione durto di Rayleigh – Il cielo appare blu perche le molecole dellaria diffondono preferibilemente le lunghezze donda piu corte. – Al tramonto la luce del sole appare rossa perche attraversa un maggior spessore daria 13F. Bianchi

14 Scattering Rayleigh (5) 14F. Bianchi

15 Scattering in Meccanica Classica Ogni singolo evento e definito in modo deterministico: – Per ogni singolo urto, note le forze in gioco, gli angoli di deflessioni ( ) sono determinati dal parametro durto e dalla velocita relativa. Caso macroscopico: conoscenza completa dei parametri che fissano le caratteristiche della collisione. – Es.: cometa e sole Caso microscopico: – Parametri dellinsieme dei proiettili e noto Fascio di particelle incidenti – Stato dellinsieme dei bersagli e noto – Parametro durto (ed altre caratteristiche) di ogni singola collisione non sono in generale noti. NB: in meccanica classica si tratta di una impossibilita pratica, in meccanica quantistica e una impossibilita di principio (Principio di Indeterminazione). – E necessario un approccio statistico. 15F. Bianchi

16 Sezione dUrto Grandezze misurabili: – -> flusso di particelle incidenti, si misura in particelle m -2 s -1 – R -> flusso di particelle diffuse in un certo angolo solido d, si misura in particelle sr -1 s -1 Trascurando effetti cumulativi (particelle con >1 interazioni,..): d /d e una costante di proporzionalita che ha le dimensioni di unarea e prende il nome di sezione durto differenziale. Sezione durto totale: 16F. Bianchi

17 Sezione dUrto ed Attenuazione (1) Fascio di proiettili di flusso che attraversa un volume contenente N particelle per unita di volume. – Consideriamo perduti i proiettili che interagiscono con un bersaglio. Decremento del fascio dopo uno spessore dx (k costante): Introducendo (densita di massa, g/cm 3 ) ed A (massa molecolare, g): Naturale identificare k con. Integrando: 17F. Bianchi

18 Sezione dUrto ed Attenuazione (2) Quantita spesso usate: -> cammino libero medio -> coefficiente di attenuazione lineare del fascio Per un singolo proiettile ( 0 =1): 18F. Bianchi

19 Ancora sulla Sezione dUrto (1) In Meccanica Classica la sezione durto ci dice quale la probabilita statistica di osservare uninterazione se spariamo un proiettile contro un bersaglio. – N.B.: non siamo in grado di dire cosa accade in ogni singolo evento per motivi pratici. La sezione durto totale e una misura della probabilita totale dinterazione tra proiettile e bersaglio integrata su tutti i valori del parametro durto b. La sezione durto differenziale d /d e una misura della probabilita differenziale di avere uninterazione che causa una deflessione nellelemento di angolo solido d – Legata ad un particolare valore del parametro dimpatto b. Questi concetti si applicano anche al caso in cui il risultato dellinterazione non sia solo una deflessione del proiettile, ma anche: – Ridristibuzione dellenergia cinetica tra proiettile e bersaglio. – Modifiche alla struttura interna di proiettile e bersaglio. – Produzione di nuove particelle (fenomeno quantistico e relativistico). 19F. Bianchi

20 Interpretazione Classica della Sezione dUrto Fascio di particelle incidenti di flusso che urta un centro diffusore con distribuzione continua di parametri durto. Particelle deflesse in d (con angolo polare fra e +d angolo azimutale fra e +d ): Sono quelle che incidono in ds ( con par.durto fra b e b+db, angolo azimutale fra e +d ) Sezione durto: Superficie (totale o differenziale) trasversale alla velocita relativa fra proiettile e bersaglio. Parametri durto inferiori al raggio della superficie -> Interazione 20F. Bianchi

21 Scattering da Sfera Rigida Barriera di potenziale infinita per r

22 Sezione dUrto di Rutherford (1) Classico problema a due corpi con un potenziale centrale repulsivo. Per ricavare la sezione durto: Occorre ricavare la relazione che ce tra il parametro dimpatto b della particella incidente e langolo di scattering Prendiamola un po alla lontana… 22F. Bianchi

23 La Lagrangiana di un sistema a due corpi di massa m 1 ed m 2 che interagiscono con un potenziale centrale: e: Introducendo le coordinate: Si puo riscrivere come: Sezione dUrto di Rutherford (2) 23F. Bianchi

24 Sezione dUrto di Rutherford (3) Introducendo: La Lagrangiana diventa: Non dipende dalle coordinate del baricentro (coordinate cicliche) e quindi i loro momenti coniugati (le componenti dellimpulso del baricentro) si conservano. – Abbiamo ritrovato che il baricentro di un sistema in assenza di forze esterne si muove di moto rettilineo uniforme La lagrangiana del moto relativo e: 24F. Bianchi

25 Sezione dUrto di Rutherford (4) In coordinate polari: e una coordinata ciclica, il suo momento coniugato (il momento angolare) si conserva: Anche lenergia si conserva: 25F. Bianchi

26 Sezione dUrto di Rutherford (5) Da cui: Separando le variabili: Integrando con la condizione iniziale : Sostituendo r(t) con : 26F. Bianchi

27 Sezione dUrto di Rutherford (6) A questo punto sono note r(t) e (t). E possibile ricavare lequazione della traettoria: Integrando: Consideriamo ora il caso: 27F. Bianchi

28 Sezione dUrto di Rutherford (7) Lequazione della trettoria diventa: Questo e un integrale del tipo: Con: 28F. Bianchi

29 Sezione dUrto di Rutherford (8) La soluzione e: Ritornando ad r: Infine: Definendo: 29F. Bianchi

30 Sezione dUrto di Rutherford (9) 30F. Bianchi

31 Sezione dUrto di Rutherford (10) Sezione durto totale e divergente Conseguenza del range infinito di V(r ) 31F. Bianchi

32 Estensione a Processi Qualunque (1) Finora abbiamo discusso lo scattering elastico da potenziale: 32F. Bianchi

33 Estensione a Processi Qualunque (2) 33F. Bianchi


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