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Riassumiamo i concetti e le grandezze fisiche definite nella lezione precedente.

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Presentazione sul tema: "Riassumiamo i concetti e le grandezze fisiche definite nella lezione precedente."— Transcript della presentazione:

1 Riassumiamo i concetti e le grandezze fisiche definite nella lezione precedente

2 La finestra radio

3 A dA z d sin d d = d sin d x y Brillanza Abbiamo definito la Brillanza partendo dalla definizione di potenza infinitesima: dW = B cos dA d d watt B = B(,, ) watt m -2 Hz -1 rad -2 Brillanza Totale B B (,,, ) = B(,, )d watts m -2 rad -2 Potenza Spettrale dw = dW/d watt Hz -1 dw = dW/d = B (,, ) cos dA d + Abbiamo anche visto che di norma la Brillanza B non dipende dalla posizione dellelemento infinitesimo di superficie dA, e quindi si può portare fuori da questi integrali un termine A corrispondente alla superficie totale.

4 Distribuzione di Brillanza e pattern dantenna d Distribuzione di brillanza Apertura efficace A e dellantenna Pattern dantenna P n (, ) Lobo principale Lobi secondari Il pattern dantenna normalizzato P n è una misura della risposta dellantenna in funzione degli angoli e. E normalizzata a 1 e non ha dimensioni. Nel caso di unantenna, sostituisce il termine cos, utilizzato in precedenza per tenere conto della componente della superficie di raccolta perpendicolare alla direzione di incidenza della radiazione. Half-pwer beam width (HPBW) w = ½ A e B (, ) P n (, ) d watt Hz -1

5 Rappresentazioni del pattern dantenna P n ( ) 1 Lobo principale Lobi secondari Coordinate polari P( ), e scala di potenza lineare 0 db -10 db -20 db -3 db Half-pwer beam width Half-pwer beam width Coordinate rettangolari P( ), e scala di potenza in decibel

6 Distribuzioni dapertura e corrispondenti pattern dantenna

7 Angolo solido del pattern dantenna A = P n (, ) d rad 2 Direttività D = G max = 4 / A Angolo solido del lobo principale MB = P n (, ) d rad 2 Efficienza del beam MB = MB / A Efficienza dapertura A = A e /A g 4 MB Efficienza dapertura Efficienza del beam Lapertura efficace A e e la Direttività D che abbiamo definito come: D = G max = 4 / A sono connesse dalla formula: D = G max = 4 A e / 2 da cui: A e A = 2

8 Sorgenti radio in relazione alla loro estensione angolare Sorgenti puntiformi ( 0) Sorgenti localizzate ( 1°) Sorgenti estese ( 1°) convenzione Lintegrale della Brillanza (, ) esteso allangolo solido della sorgente: S = B(, ) d definisce la densità di flusso S B(, ) = Brillanza (watt m -2 Hz -1 rad -2 ) d = sin d d (rad 2 ) S = densità di flusso (watt m -2 Hz -1 ) La densità di flusso e si misura in Jansky: 1 Jy = watt m -2 Hz -1 source Se una sorgente è osservata con unantenna con un pattern P n (, ), la densità di flusso misurata sarà in generale inferiore a quella reale: S = B(, ) Pn(, ) d source Se tuttavia la sorgente ha una estensione angolare piccola rispetto allangolo solido del beam, così che sulla sorgente: P n (, ) 1 allora la misura di S è attendibile, e se B è relativamente costante: S B(, ) source Nel caso opposto, in cui source MB, se B è relativamente costante, potremo scrivere: S B(, ) MB

9 Relazione fra densità di flusso S e potenza W In base a tutto quello che abbiamo visto in precedenza, la potenza W (in watt) ricevuta da unantenna con un pattern P n (, ) da una sorgente avente un angolo solido source è: W = ½ A e B (, ) Pn(, ) d d che, ricordando la definizione di densità di flusso diventa: W = ½ A e S d e se il flusso S è costante su : W = ½ A e S watt + s +

10 Radiazione di corpo nero

11 Sappiamo che la Brillanza della radiazione emessa da un corpo nero alla temperatura T è data dalla legge di radiazione di Planck: B = (2 h 3 /c 2 ) / (e h /kT - 1 ) dove: B = Brillanza in watt m -2 Hz -1 rad -2 h = costante di Planck ( joule sec) = frequenza in Hz c = velocità della luce ( m sec-1) k = costante di Boltzman ( joule °K -1 ) T = temperatura in °K (da notare che il rapporto h /kT è un numero puro) Si osservi che il punto di massima brillanza si sposta verso lunghezze donda corte (alte frequenze) al crescere della temperatura (si veda più avanti la legge dello spostamento di Wien), e che larea totale racchiusa sotto la curva, lintegrale della brillanza sullo spettro, cioè la brillanza totale, cresce fortemente con la temperatura (si veda più avanti la legge di Stefan-Boltzman).

12 Rappresentazione della legge di radiazione di Planck in scala logaritmica B( ) watt m -2 Hz -1 rad Lunghezza donda m Frequenza Hz

13 Radiazione di corpo nero: La legge dello spostamento di Wien Una caratteristica che è stata notata qualitativamente sullo spettro di corpo nero è che il punto di massima brillanza si sposta verso alte frequenze al crescere della temperatura. Una espressione quantitativa di questo spostamento può essere ottenuta imponendo la condizione di massimo relativo (dB/d = 0) alla funzione B( ): 2h/c 2 [ 3 2 (e h /kT – 1) - 3 (h/kT)e h /kT ] = 0 nel caso in cui e h /kT >> 1, si ottiene: h /kT = 3 cioè, la frequenza del punto di massima Brillanza è data da: = 3kT/h e, ponendo = c/, la lunghezza donda del punto di massima Brillanza e data da: = hc/ekT = /T Un valore più preciso, ottenuto senza adottare la semplificazione e h /kT >> 1 è: = /T

14 Radiazione di corpo nero: Legge di Stefan-Boltzman La Brillanza totale di un corpo nero: B = B( ) d watt m -2 rad -2 si ottiene integrando la formula di Planck: B = 2h/c 2 3 / (e h /kT - 1 ) d Si ponga: x = h /kT, da cui: = (kT/h) x e d = (kT/h) dx sostituendo, si ha: B = 2h/c 2 (kT/h) 4 x 3 / (e x -1) dx Lintegrale è una costante, per cui: B = T dove: B = Brillanza totale, watt m -2 rad -2 = watt m -2 rad -2 °K -4 T = temperatura corpo nero, °K

15 Radiazione di corpo nero: approssimazione di Rayleigh-Jeans A frequenze radio, si ha tipicamente: h kT e in questo caso nella formula di Planck, il termine e h /kT può essere approssimato: e h /kT 1+ h /kT da cui: (e h /kT -1) 1+ h /kT -1 = h /kT il che riduce la formula di Planck della Brillanza del corpo nero a: B = 2h 3 kT/c 2 h = 2kT/ 2 Quindi, a frequenze radio, la Brillanza è proporzionale alla Temperatura: B T log log Log B Planck Rayleigh-Jeans

16 Radiazione di corpo nero: approssimazione di Wien Nel caso di radiazione ad altissima frequenza, in cui h >> kT, nel termine a denominatore della formula di Planck si ha: e h /kT >> 1 e h /kT - 1 e h /kT e la formula di Planck si riduce a: B = (2h 3 /c 2 ) e -h /kT log log Log B Planck Wien

17 log log Log B Planck Rayleigh-Jeans Wien

18 Densità di flusso S di una sorgente discreta nellapprossimazione di Rayleigh-Jeans Se si assume che la temperatura, e quindi la brillanza, è costante sullestensione angolare s di una data sorgente, nellapprossimazione di Rayleigh-Jeans della legge di radiazione, il flusso S della sorgente è dato dalla: S = (2kT/ 2 ) s Jy Nel caso di distribuzione non uniforme di temperatura si avrà invece: S = (2k/ 2 ) T(, ) d Jy Si può dimostrare che questa formula è valida non solo quando T(, ) rappresenta la effettiva distribuzione di temperatura sulla sorgente, ma anche quando T(, ) è la temperatura dantenna osservata. s

19 Temperatura di rumore Sappiamo che la potenza di rumore per unità di banda disponibile ai capi di una resistenza R a temperatura T e data da: w = kT watt Hz -1 dove: k = costante di Boltzmann ( joule K -1 ) T = temperatura °K RTRT Se sostituiamo la resistenza R con unantenna che presenta ai suoi terminali la stessa impedenza R, la potenza di rumore disponibile ai suoi capi sarà quella dovuta alla Brillanza corrispondente alla temperatura T della regione da cui lantenna sta ricevendo la radiazione, cioè: w = ½ A e B (, ) P n (, ) d watt Hz -1 Se immaginiamo di chiudere lantenna in una scatola nera a temperatura T, la Brillanza sarà costante in tutte le direzioni, e nellapprossimazione si Rayleigh- Jaens: B c = 2kT/ 2 w = (kT/ 2 )A e A ma: A e A = 2 w = kT T w

20 T RTRT T Pattern dantenna w = kT (a) (b) (c) Sebbene nel caso di unantenna racchiusa in una scatola nera, la temperatura della struttura stessa dellantenna è T, occorre rendersi conto che non è la temperatura della struttura dellantenna che determina la temperatura della resistenza radiativa R dellantenna. Questa è determinata dalla temperatura della regione emittente che lantenna vede attraverso il suo pattern direzionale. La temperatura della resistenza radiativa si chiama temperatura dantenna T A

21 Dalla relazione: w = ½ A e B (, ) P n (, ) d = kT A [1] e dalla definizione di densità di flusso S di una sorgente: S = B(, ) Pn(, ) d si ottiene: S = 2kT A /A e T A = S A e /2k Quindi: osservando una radio sorgente di flusso S, misureremo una temperatura dantenna T A proporzionale a S e allarea efficace A e. Se, in aggiunta, il cielo ha una temperatura media di background T bg, quale sarà il contributo di questa componente alla temperatura dantenna ? In questo caso, ponendo nella [1]: B = 2kT bg (, )/ 2 (approssimazione di Rayleigh-Jeans) e ricordando che A e A = 2, si ha: T A = (1/ A ) T bg P n (, ) d = T bg MB / A Cioè: la T A dovuta al background è tanto più vicina a T bg quanto migliore è la efficienza del beam

22 Sensibilità: minima temperatura rivelabile La minima temperatura rivelabile da un radiotelescopio è data da: T min = T rms = dove: T min = minima temperatura rivelabile T rms = rms della temperatura di sistema T sys T sys = temperatura di sistema (T A + T r + T loss ) = larghezza di banda t = intervallo di tempo di integrazione n = numero di record mediati Da questa formula per la temperatura si ricava la formula per il minimo flusso rivelabile, ricordando che S = 2kT sys /A e T sys t n

23 Esercizi

24 Nel sistema MKS, quale è lunità di misura della Brillanza ? Lunità di misura della Brillanza B è: [B] = watt m -2 Hz -1 rad -2 (MKS) Quale grandezza fisica si misura in Jansky e quale formula la collega alla Brillanza ? Quale è lunità di misura del Jy ? Il Jansky (Jy) è lunità di misura della densità di flusso S definita dalla: S = B(, ) d source Le unità di misura del Jansky sono: 1 Jy = watt m -2 Hz -1 (MKS)

25 Specificate quale è il range tipico della finestra radio (in lunghezza donda e in frequenza) e indicate quali sono i fenomeni di assorbimento che la delimitano. Limite inferiore: circa 10 MHz e limite superiore circa 600 GHz Conversione in lunghezza donda: = c/, dove c ~ 3 x 10 8 m/s 10 MHz -> 10x10 6 Hz; = 3 x 10 8 /10 7 = 30 m 600 GHz -> 600x10 9 Hz; = 3 x 10 8 / = m (1/2 mm) A basse frequenza lassorbimento è limitato dagli elettroni liberi della ionosfera Ad alte frequenze da parte delle molecole nella troposfera, principalmente H 2 O e O 2 Background Concetto di frequenza di plasma: sappiamo che una nube di particelle cariche neutra (plasma), formata di elettroni e ioni, ha una sua frequenza caratteristica detta frequenza di plasma 0 = e (N e / m e ) 1/2 dove: 0 = frequenza di plasma e = carica dellelettrone 4.8x esu N e = densità di elettroni in cm -3 m e = massa dellelettrone 9.1x g 0 = 8.97 (N e ) 1/2 kHz Questa è in sostanza la frequenza naturale di oscillazione del plasma. Solo per le onde elettromagnetiche al di sopra di questa frequenza, il plasma è trasparente. Nel caso della ionosfera, N e = cm-3, per cui 0 = 10 MHz

26 Lemissione della Luna è rappresentata abbastanza bene da un corpo nero alla temperatura di 225 °K. A quale frequenza si ha il picco di emissione ? Usando la legge dello spostamento di Wien: = /T si ha: = /225 = m = mm = c / = / GHz

27 Lemissione della Luna è rappresentata abbastanza bene da un corpo nero alla temperatura di 225 °K. Il diametro angolare della Luna è di 30. Calcolate la densità di flusso in Jy ricevuta da un radiotelescopio che osserva alla frequenza di 10 GHz con un beam di 5 di diametro. Poiché stiamo osservando a una frequenza (10 GHz) molto più bassa del picco di emissione, possiamo stimare la Brillanza alla frequenza adottando lapprossimazione di Rayleigh-Jeans della emissione di corpo nero: B( ) = 2kT/ 2 = 2 2 kT / c 2 Da cui risulta: B( ) = 2 ( ) / ( )2 = Watt m -2 Hz -1 rad -2 Essendo la dimensione angolare del beam più piccola di quella della sorgente, la densità di flusso sarà data da: S = B( ) beam dove: beam = ( (δ ) 2 ), con δ = 2.5 beam = sr da cui: S = B( ) beam = x = Watt m-2 Hz-1 (1200 Jy)

28 Lemissione della Luna è rappresentata abbastanza bene da un corpo nero alla temperatura di 225 °K. Il diametro angolare della Luna è di 30. Calcolate la densità di flusso in Jy ricevuta da un radiotelescopio che osserva alla frequenza di 10 GHz con un beam di 50 di diametro. Poiché stiamo osservando a una frequenza (10 GHz) molto più bassa del picco di emissione, possiamo stimare la Brillanza alla frequenza adottando lapprossimazione di Rayleigh-Jeans della emissione di corpo nero: B( ) = 2kT/ 2 = 2 2 kT / c 2 Da cui risulta: B( ) = 2 ( ) / ( )2 = Watt m -2 Hz -1 rad -2 Essendo la dimensione angolare del beam più grande di quella della sorgente estenderemo lintegrale di B alla sorgente. La densità di flusso sarà data da: S = B( ) source dove: source = ( (δ ) 2 ), con δ = 15 source = sr da cui: S = B( ) source = x = Watt m-2 Hz-1 (42000 Jy)

29 Fornire una definizione qualitativa e una quantitativa di main beam efficiency di una antenna In termini qualitativi, la main beam efficiency, cioè lefficienza del beam ( o lobo) principale, è una misura di quanta dellenergia totale irradiata (o ricevuta –teorema di reciprocità) dallantenna è effettivamente irradiata (ricevuta) nel beam principale. La definizione operativa è quindi: MB = MB / A dove: MB = MB P n (, ) d A = 4 P n (, ) d

30 Fornire le definizioni di efficienza dapertura di unantenna, e direzionalità, spiegarne il significato e descrivere la relazione fra queste due grandezze fisiche Lefficienza dapertura A è il rapporto fra lapertura efficace A e e lapertura geometrica A g, cioè: A = A e / A g e tiene conto quindi per esempio delleffettiva illuminazione del riflettore da parte del feed. La direzionalità è definita come: D = 4 / A è legata allapertura efficace A e dalla relazione: A = 2 /A e e cioè: D = 4 A e / 2


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