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La preparazione didattica degli insegnanti di matematica Nicolina A. Malara Dipartimento di Educazione e Scienze Umane Università di Modena & Reggio E.

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Presentazione sul tema: "La preparazione didattica degli insegnanti di matematica Nicolina A. Malara Dipartimento di Educazione e Scienze Umane Università di Modena & Reggio E."— Transcript della presentazione:

1 La preparazione didattica degli insegnanti di matematica Nicolina A. Malara Dipartimento di Educazione e Scienze Umane Università di Modena & Reggio E. XXX Convegno UMI-CIIM Dipartimento di Scienze aziendali, economiche e metodi quantitativi Bergamo ottobre

2 ... quelli che si innamorano della pratica senza scientia sono come nocchieri che entrano in naviglio senza timone o bussola, che mai hanno certezza dove si vadano. Sempre la pratica deve essere edificata sopra la buona teoria.... Leonardo da Vinci F rase riportata dallattuale presidente UMI in esergo ai suoi messaggi

3 Quale teoria Matematica Epistemologia/Storia della Matematica Didattica della matematica Pedagogia Psicologia Sociologia Antropologia … Educazione Matematica

4 Teoria come Didattica della Matematica come sinonimo di Educazione Matematica Dando ragioni del suo costituirsi Federigo Enriques

5 Didattica della Matematica (DM) E una disciplina relativamente giovane. avvenuta in seno allICMI su ispirazione di H. Freudenthal (1905 – 1990) ed in particolare al I congresso ICME (Lione, 1969) La sua nascita può idealmente associarsi allistituzione dellICME,

6 La DM può ritenersi costituita come risultante dellampio dibattito e degli studi avviatisi nel secondo dopoguerra circa la riforma della scuola, la qualificazione degli studi scientifici il rinnovamento dellinsegnamento della matematica A livello internazionale, un importante cataliz- zatore per la sua costituzione diviene la rivista Educational Studies in Mathematics fondata nel 1968 da H. Freudenthal

7 Evoluzione della DM Anna Sfard (ICME 10, 2004, Copenaghen) Sintetizza levoluzione della DM con il succedersi di tre ere Programs era (anni ) Students era (anni ) Teachers era (anni oggi ) Tappe che segnano in parallelo anche lo sviluppo della ricerca Italiana Avvento degli home computer Si passa dalla loro programmazione alluso di software specifici per linsegnamento

8 Percorriamo per grandi linee queste tre ere guardando a: i caratteri del patrimonio di conoscenze teoriche della DM che si è venuto a costituire le indicazioni che risultati consolidati della ricerca offrono per la strutturazione dei nuovi programmi e per la formazione degli insegnanti lanalisi di un caso (algebra) nel rapporto ricerca - mutamenti della didattica evoluzione della DM e problemi sul tappeto nel rapporto con linsegnamento della matematica per la formazione degli insegnanti

9 Studi sui curricoli Programs era Piani didattici da svilupparsi nel lungo termine articolati per obiettivi (generali - specifici) Proposte di itinerari didattici di innovazione sia su nuovi contenuti (es. trasf. geom., probabilità, …) sia classici (es. la didattica del problema) Analisi Libri di testo (impianto culturale, aderenza ai programmi, linguaggio e stile espositivo, rappresentazioni, attività operative) Questioni sui contenuti (nuovi inserimenti, ristrutturazioni, aspetti culturali connessi)

10 Studi sugli apprendimenti /innovazioni Studi diagnostici ( errori frequenti, misconcetti, lacune) Students era Analisi di difficoltà (questioni psicologiche, ostacoli epistemologici, tradizioni di insegnamento) Prototipi d i percorsi di insegnamento/apprendimento frutto di sperimentazioni con insegnanti-ricercatori (protocolli degli allievi e qualità degli apprendimenti) Modelli teorici sulle dinamiche che si attivano nellapprendimento di particolari contenuti

11 Teachers era Conoscenze contenuti, curricoli, difficoltà studenti Convinzioni contenuti, modalità di insegnamento, studenti … Competenze matematiche e didattico metodologiche, flessibilità nel repertorio dei ruoli da assumere Difficoltà carenze culturali, inabilità operative, influenza dei modelli di insegnamento ricevuto, poca consapevolezza, rigidità, … Studio dei sistemi e delle modalità di formazione

12 Programs er a In Italia 1968 Programmi De Finetti per la scuola secondaria superiore importante progetto educativo di grande innovazione Contenuti organizzati per temi con obiettivi da raggiungere nel lungo termine (2-3 anni) Tanti contenuti nuovi (alcuni con opzionalità) 1979 Nuovi programmi per la scuola media 1985 Nuovi programmi per la scuola elem Nuovi programmi per il biennio sc.sec.sup. ….

13 Programs era in Italia Nuova visione della matematica Matematica nella realtà (unificazione dellins. Mat. alle altre Scienze, grande attenzione ai linguaggi con particolare riferimento al linguaggio naturale ) Nuovi metodi e strumenti ( ins. per problemi, utiiizzo di strumenti concreti, avvio alla interazione) Nuove visioni educative (no alla selezione ma aiuto alla crescita) Nuova figura dellinsegnante agente decisionale e promotore di un atteggiamento di indagine negli studenti

14 Sviluppo della DM in Italia Tra gli universitari coinvolti si distinguono due studiosi convinti assertori dellimportanza del rapporto con le istituzioni pubbliche per la ricaduta sociale degli studi e lo sviluppo stesso della disciplina F. Speranza (1932 – 1998) G. Prodi (1925 – 2010)

15 La nascita di nuove riviste : IMSI, ED, MD … Convegni annuali INTERNUCLEI (s. media, s.elem. s. superiori, s. elem. & s. media) Attorno a loro si sviluppa una comunità di ricercatori e insegnanti molti dei quali giovani, culturalmente e socialmente molto motivati Il SEMINARIO NAZIONALE Convegni annuali UMI-CIIM La partecipazione internazionale nascono gli insegnanti-ricercatori

16 Vari studi degli NRD confluiscono nei volumi delle due collane dei Quaderni CNR, dedicate a : Linnovazione nelle classi la formazione degli insegnanti Probabilità e statistica nella s.m.: una proposta didattica (Pesci e Reggiani) Analisi di libri di testo per la s.m. sul tema Probabilità e Statistica (Malara) Le isometrie piane: mostra di materiale didattico (Ferrari et al.) La prospettiva: un incontro tra matematica e arte (Menghini, Mancini Proia) Geometrizzazione dello spazio ambiente: una proposta didattica (Marchi et al.) Lalgebra come strumento di pensiero (Arzarello et al.) Gli scritti di epistemologia (Speranza) Materiali ancora oggi preziosi per la formazione degli insegnanti, dei tutor e dei formatori

17 Notiziario UMI, agosto/settembre 1977 Sullinsegnamento della matematica e delle scienze nella scuola media spaccato dellampio dibattito su: - lintegrazione dei due insegnamenti - le sperimentazioni - i problemi della formazione degli insegnanti Notiziario UMI ottobre 1979 Tracce didattiche per la scuola media itinerari su vari temi, messi a punto dagli NRD, con esempi di attività didattiche programs era Atti Convegni UMI-CIIM

18 Atti Convegni UMI-CIIM students era Notiziario UMI, marzo 1990 Programmi di matematica nella scuola media dieci anni dopo presenta interessanti relazioni su difficoltà in matematica, su esperimenti di innovazioni con protocolli degli studenti che documentano la qualità degli apprendimenti teachers era Notiziario UM, luglio 2003 Linsegnante di matematica nella scuola di oggi: formazione e pratica professionale Notiziario UMI, ottobre 1998 Apprendere la matematica: errori, difficoltà, conquiste Materiali importanti per la ricerca e la formazione

19 Gli studi che si svolgono nelle prime due ere portano allevolversi di le modalità di insegnamento si propone un insegnamento per situazioni problematiche con modalità di interazione nel quadro del socio-costruttivismo i contenuti matematici dinsegnamento lo studio delle difficoltà degli studenti sposta lattenzione sui processi di apprendimento e porta alla reificazione di altri tipi di contenuto contenuti trasversali, quali: congetturare– argomentare-dimostrare; porsi e risolvere problemi di tipo meta, quali: confronto di strategie; apprezzamento per la matematica

20 Un caso esemplificativo levoluzione della didattica dellalgebra Un importante studio diagnostico 1981, K. Hart (a cura di) Children understanding mathematics Studio statistico-qualitativo condotto nel Regno Unito su vasta scala

21 Aree di contenuto considerate Operazioni e problemi, notazione posizionale e decimali, frazioni, interi relativi, algebra, grafici, simmetrie e rotazioni, vettori e matrici Si distingue per la qualità dellinsegnamento che traspare la lontananza dallinsegnamento da noi generalmente praticato Children understanding mathematics 11-16

22 I quesiti del test di algebra (Kucheman) 30 questiti in ambito numerico-algebrico raggruppati secondo 4 livelli di difficoltà richiedenti: luso del principio di sostituzione le conversioni linguaggio verbale/ linguaggio algebrico e viceversa il coordinamento tra semantica e sintassi la modellizzazione di semplici frasi e la soluzione di piccoli problemi

23 Quesiti di algebra del test di Kucheman (1981) risultati più problematici livello 1: 1) a+b = 43. a+b+2 = … ; 2) 2a+5a = … livello 2: 1) m = 3n+1, n = 4, m = …; 2) 2a+5b+a = … livello 3: 1) e+f = 8, e+f+g = … ; 2) r=s+t, r+s+t= 30, r = … 3) aggiungi 4 a 3n ; 4 ) c+d=10, c

24 Analisi delle difficoltà di apprendimento In ambito aritmetico - algebrico Il ruolo dominante dei modelli primitivi (Fishbein ) Lestensione impropria di proprietà della struttura additiva alla struttura moltiplicativa la proprietà n(a+b) = na+nb dà luogo alla falsa uguaglianza (a+b) n = a n + b n Le visioni concettuali distorte per la dominanza della struttura dordine discreta rispetto a quella densa nel passaggio dagli interi ai razionali (es. tra 0,27 e 0.28 non cè alcun numero)

25 Influenza negativa dellinsegnamento procedurale dellaritmetica (surveys di C. Kieran) Direzionalità del segno uguale, inteso come dà luogo, ostacoli nelle trasformazioni di arricchimento, es. 1+2a = (a+1) 2 -a 2 Non accettazione di scritture quali 2b+a, loro trasformazione in equazioni, es. 2b+a =0 per mancanza di chiusura Mancanza di riconoscimento di uguaglianze quali 3b+5a+c = 5a+c+3b per la dominanza del calcolo nel confonto di espressioni numeriche Tali studi portano a concepire la pre-algebra unarea di insegnamento in aritmetica, di tipo relazionale e strutturale che darà poi luogo all Early Algebra

26 Bell (1976) documenta difficoltà e inabilità a concatenare scritture algebriche per dedurre nuove informazioni e sviluppare dimostrazioni anche di studenti bravi nelle trasformazioni sintattiche Bell sostiene che il superamento di queste difficoltà può avvenire nel momento in cui viene favorito un uso del linguaggio algebrico come strumento per rappresentare relazioni e per esplorare aspetti di queste relazioni

27 Bell ritiene fondamentale condurre gli studenti attraverso il ciclo algebrico essenziale caratterizzato da tre tipologie di attività algebriche rappresentare manipolare interpretare sviluppa un ampio progetto sperimentale centrato su attività di esplorazione in ambienti realistici e matematici dando spazio alla dimostrazione di proprietà (Bell 1985)

28 Arcavi (1994) Sottolinea limportanza che gli studenti raggiungano la consapevolezza che il linguaggio algebrico è un potente strumento per capire, esprimere e comunicare generalizza- zioni, stabilire connessioni, produrre dimostrazioni Propone una didattica dellalgebra finalizzata allo sviluppo del Symbol Sense che caratterizza attraverso una serie dettagliata di prototipi di attività

29 Kieran(1996) caratterizza l algebra da portare nelle classi in tre tipologie di attività, da lei viste a livello crescente di complessità 1° livello le attività generazionali riguardano la rappresentazione e linterpretazione di situazioni, proprietà, modelli e relazioni e che consentono di costruire gli oggetti dellalgebra ancorandone i significati allesperienza

30 2° livello le attività trasformazionali attività classiche quali la semplificazione di espressioni, il lavoro con espressioni equivalenti, la risoluzione di equazioni, lo studio dei polinomi e la loro fattorizzazione, … 3° livello le attività globali di livello meta attività non esclusivamente algebriche dove lalgebra è utilizzata come uno strumento, quali: il problem solving, la generalizzazione, la dimostrazione

31 Kieran sottolinea limportanza delle attività generazionali e la necessità di devolvere più tempo alle attività globali di livello meta Le attività di livello meta inducono gli studenti ad affrontare attività trasformazionali in modo naturale dal momento che il significato guida e supporta la manipolazione algebrica.

32 s ymbol awareness capacità di individuare i segni matematici relativi a referenti del mondo reale e di riuscire a manipolarli MacGregor e Price (1999) Metalinguistic awareness syntax awareness capacità di riconoscere la forma delle espressioni algebriche e di controllare, attraverso la struttura sintattica, sia i significati di tali espressioni che le inferenze che possono essere dedotte da esse.

33 il pensiero anticipatorio (Arzarello et al. 1994, 2001, Boero 2001) capacità di: Ipotizzare scritture formali a cui pervenire per poter affermare certi risultati Prevedere, senza svolgere trasformazioni sintattiche, possibili nuove forme di una certa espressione vagliandone i significati di frame concettualeAttivare cambiamenti di frame concettuale ed interpretazioni plurime Symbol sense e Metalinguistic awareness stanno alla base dello sviluppo de

34 la dimostrazione di congetture è attività tipica nella quale gli studenti sono chiamati ad operare con flessibilità un efficiente gioco di interpretazioni Cruciale per questo non è tanto la padronanza nella manipolazione simbolica, quanto la qualità e la quantità di pensieri anticipatori che lo studente è in grado di mettere in atto in relazione alla nuova forma di una espressione per una possibile trasformazione Arzarello et al sostengono che

35 Studio di problemi verbali algebrici coinvolgenti una o più incognite, modellizzabili con (dis)equazioni Esplorazione di situazioni coinvolgenti più variabili per lidentificazione e la modellizzione di relazioni funzionali binarie Esplorazione di successioni Esplorazione di successioni figurali e numeriche soggiacenti a leggi da individuare e modellizzare Esplorazioni numeriche per lindividua- zione di proprietà, la formulazione di congetture e la dimostrazione GENERALIZZAZIONE Trattamenti Sintattici ragionati Giochi di interpretazione Pensieri di anticipazione Cambiamenti di frame Modellizzazione Indicazioni per la pratica di classe Visione laboratoriale dellinsegnamento della matematica La matematica per il cittadino UMI

36 Ciclo algebrico essenziale Symbol sense Attività generazionali, attività trasforma- zionali, attività algebriche di tipo meta Consapevolezza metalinguistica Cambiamenti di frame Pensieri anticipatori Giochi linguistici Sono tutti costrutti teorici che facilitano lo studio di fenomeni didattici e la comunicazione su di essi che divengono espressioni linguistiche proprie dellinsegnante e usate professionalmente

37 Il successo di percorsi di innovazione realizzati in collaborazione con insegnanti- ricercatori, in ogni fase - progettazione, sperimentazione, analisi dei risultati - pone il problema dello studio della loro trasferibilità at large Nello studio dei processi di insegnamento- apprendimento linsegnante da variabile muta diviene variabile osservata Verso la teachers era

38 Questioni di ricerca centrali il rapporto dellinsegnante con: Linnovazione curricolare (indicazioni della ricerca) e metodologico-didattica (discussione matematica, artefatti, nuove tecnologie) la consapevolezza di sé (delle proprie convinzioni e conoscenze, del proprio modo di essere nellazione didattica)

39 Studi circa lo sviluppo professionale degli insegnanti in e dalla pratica Gli studi di J. Mason ( ) Gli studi di B. Jaworski et al. ( ) CORE La riflessione critica sulla propria pratica come elemento chiave per una efficace formazione degli insegnanti Questa visione è oggi consolidata in tutti gli ambienti di ricerca e comincia a dffondersi tra gli insegnanti Mason, J.: 2002, Researching Your Own Practice: the Discipline of Noticing

40 Jaworski (1998) parla di pratica riflessiva e sostiene che lessenza della pratica riflessiva nellinsegnamento potrebbe essere vista come il rendere espliciti approcci e processi di insegnamento in modo che essi possano divenire oggetto di minuzioso esame critico Lesame a grana fine della propria pratica, porta gli insegnanti ad acquisire consapevolezza delle conseguenze delle loro scelte ed azioni e permette loro di affinare le loro strategie e la loro conoscenza.

41 Una delle sue tesi è che Attraverso pratiche di indagine e di riflessione di mutuo sostegno tra insegnanti e ricercatori si ha un co-apprendimento che contribuisce allo sviluppo di queste pratiche. Le pratiche rigardano linsegnamento, lindagine nell insegnamento, ed elementi di formazione insegnanti

42 Il modello di formazione capire si può ed il costrutto di insegnante come mediatore di risonanza (tra sfera della cognizione individuale, sfera culturale e strutture della realtà) in percorsi di conoscenza con forte controllo dei significati (Guidoni-Tortora et al.) Il costrutto teorico dellinsegnante comemediatore semiotico nelluso di artefatti (Bartolini-Mariotti et al. ) Il modello di formazione basato sulla riflessione critica sui processi di classe, attraverso vari costrutti e strumenti teoric i (unità, glossario, MCT) (Malara et al.) Studi italiani sulla formazione insegnanti in e dalla pratica Trasposizione meta-didattica come modello teorico dei programmi di formazione (Arzarello et al.)

43 Scivolamento di prospettiva dalla formazione iniziale alla formazione continua (long-life learning) la formazione delle varie tipologie di formatori specificità, cultura da possedere e pratiche per potenziare la loro professionalità Teachers era Indirizzi di ricerca sulla formazione Filoni di studio metodi e strumenti di formazione (es. interventi in presenza o a distanza, attivazione di forum e piattaforme per la comunicazione, costituzione di comunità di pratica, di indagine...) studio degli effetti di specifiche pratiche sullo sviluppo professionale degli insegnanti Mentors era …

44 2. Un esempio di modello di intervento per la formazione Jugyou Kenkyuu (Lesson study giapponese ) Consiste in un ciclo di macro-azioni professionali dellinsegnante che nascono e si sviluppano attorno alla progettazione, realizzazione e analisi di unaResearch lesson(RL) Una Research lesson è una lezione interattiva centrata sul problem solving e posing, aperta a vari sviluppi possibili, in cui gli studenti ricercano strade risolutive per le questioni poste, strategie che vengono discusse collettivamente e raccolte attivazione e potenziamento di mathematical habits of mind

45 Fasi costituenti il ciclo di un lesson study formulazione degli obiettivi dapprendimento osservazione e riesame della RL Svolgimento della RL raffinamento della RL per una sua riproposizione progettazione della RL

46 Nei percorsi di formazione gli insegnanti a gruppi lavorano collettivamente ad una Lezione di ricerca per lindividuazione degli obiettivi la progettazione della RL con stesura di questioni e di reti di azioni/reazioni previste a seconda degli sviluppi ipotizzati nella RL losservazione video delle singole interpretazioni della RL e discussioni di riflessione sullosservazione raffinamenti dei percorsi attuati Il Lesson Study viene attuato nel lungo termine ed utilizzato per tutti i contenuti di insegnamento

47 Esempi di temi per una Lezione di Ricerca confrontare 2/3 e 4/5 introdurre loperazione di addizione tra frazioni Esplorare un fenomeno isolare variabili e cercare relazioni tra esse cercare e confrontare dimostrazioni di uno dato teorema Introdurre il concetto di area di figure piane cercare e classificare gli sviluppi di un cubo …

48 Schema preparatorio per una RL Piano sviluppo RL Problemi Attività Domande poste dallinsegnante Previsioni Domande Studenti Risposte studenti Osservazione Punti critici su cui focalizzare lattenzione Punti problematici per gli insegnanti Modificare/raffinare piani di lezioni per dare spazio allindagine ed alla scoperta Prevedere domande degli studenti Prevedere risposte degli studenti

49 nelle ricerche sulla formazione via LS si cercano di mettere a fuoco indicatori dellevoluzione dello sviluppo professionale degli insegnanti e i fattori di contesto che lo influenzano positivamente. Nel lungo termine gli insegnanti vengono a collezionare repertori di piani didattici e materiali di vario genere frutto delle esperienze nei LS L. C. Hart, A. S. Alston, A. Murata (a cura di), 2011, Lesson Study Research and Practice in Mathematics Education - Learning Together Molti dibattiti e sperimentazioni in USA

50 Tutti (e non solo) gli aspetti relativi alla pratica dellinsegnamento da noi considerati: Programmi, piani didattici, libri di testo, difficoltà di apprendimento, innovazioni e questioni teoriche connesse per ogni tema di insegnamento, modalità didattiche laboratoriali lo studio di processi di classe i ruoli che linsegnante deve assumere la consapevolezza del significato dellessere insegnante devono essere oggetto di studio teorico oltre che pratico nel percorso di formazione di un insegnante

51 Componenti costitutive della conoscenza professionale degli insegnanti la conoscenza dei contenuti matematici la conoscenza pedagogica la conoscenza didattica modalità di trasposizione didattica dei contenuti matematici, difficoltà degli studenti, errori frequenti, libri di testo di riferimento, repertori di attività su dati contenuti, schemi di valutazione …) Sono di fatto le principali componenti introdotte da Shulman Those Who Understand: Knowledge Growth in Teaching Educational Researcher (1986) SMK (PK) PCK CK

52 Ball & Bass (2002), Bass (2005), Ball & Al. (2005, 2008) Facendo riferimento al lavoro di Shulman focalizzano lattenzione su SMK e PCK Considerano che la matematica per linsegnamento ha caratteristiche differenti rispetto alla matematica Teorizzano sulla specificità della Conoscenza Matematica per lInsegnamento M athematics K nowledge for T eaching, MKT

53 Ball, D. L., Thames, M. H., & Phelps, G. (2008). Content knowledge for teaching: What makes it special? Journal of Teacher Education Gli autori sottolineano la fondamentale differenza tra matematica e matematica per linsegnamento: la matematica per linsegnamento richiede una sorta di decompressione, che consente di rendere esplicite le principali idee che sottendono i contenuti matematici la matematica opera una compressione di informazioni in forme astratte

54 Ball, Bass & Al Studiano linsegnamento della matematica dal vivo la natura della conoscenza dei contenuti matematici indirizzati verso la professione dellinsegnamento Obiettivi indagare su: la PCK per meglio metterla a fuoco e chiarirla, per darne inquadramento teorico e fare una verifica empirica di esso i problemi che sorgono nellatto di insegnare per identificare la conoscenza matematica per linsegnamento

55 Attraverso lo studio collocano la conoscenza curricolare di Shulman allinterno della PCK Identificano almeno due sottodomini della PCK: La conoscenza di contenuti in rapporto agli studenti La conoscenza di contenuti in rapporto allinsegnamento La conoscenza matematica per linsegnamento

56 In riferimento alla conoscenza dei contenuti matematici (SMK) Identificano un importante sottodominio di pura conoscenza matematica unicamente rivolta al lavoro dellinsegnamento La conoscenza specialistica dei contenuti S pecialized C ontent K nowledge (SCK) nettamente distinta da: larea di conoscenza matematica comune a tutte le persone mediamente acculturate (Common Content Knowledge, CCK)

57 Domini di Conoscenza matematica per linsegnamento Verificano la maggiore efficacia della formazione centrata sul SMT e su MKT mediante test nazionali su vasta scala degli apprendimenti degli studenti gli studenti di insegnanti MKT, formati in SMT, conquistano punteggi più elevati

58 Presentare idee matematiche Rispondere ai perché degli studenti Trovare esempi per un punto matematico specifico Riconoscere cosa è coinvolto nelluso di una specifica rappresentazione matematica Collegare rappresentazioni a idee soggiacenti o ad altre rappresentazioni Collegare un argomento da insegnare con argomenti fatti in anni precedenti o da fare in anni futuri Spiegare ai genitori obiettivi matematici e ragioni per le quali si introduce un argomento Valutare ed adattare il contenuto matematico di un libro di testo Modificare compiti in modo che siano più facili o più difficili Valutare (in fretta) la plausibilità delle affermazioni degli studenti Dare o valutare spiegazioni matematiche Scegliere e sviluppare definizioni usabili Usare linguaggio e notazioni matematiche e criticarne luso Porre problemi matematici produttivi Selezionare rappresentazioni per particolari propositi controllare equivalenze Compiti di Matematica per Linsegnamento (Ball & Al. 2008)

59 Non Didattica della Matematica ma Ball, Bass et al. Matematica per linsegnamento Il cui nucleo è Matematica specialistica per linsegnamento

60 H. Bass (2005) Mathematics, mathematicians and mathematics education, Bulletin of the American Mathematical Society Specialized knowledge of mathematics is strictly mathematical knowledge (not about students or about pedagogy) that proficient teachers need and use, yet is not known by many other mathematically trained professionals, for example, research mathematicians. Thus, contrary to popular belief, the purely mathematical part of MKT is not a diminutive subset of what mathematicians know. It is something distinct, and, without dedicated attention, it is not something likely to be part of the instruction in content courses for teachers situated in mathematics departments.

61 Questi studi fanno tristemente riflettere sulla adeguatezza sociale del nostro sistema di formazione viste: Le strutturazioni dei corsi di laurea in matematica dove i corsi di lezione specifici per linsegnamento se esistono sono al più di sei crediti ed opzionali La durata del TFA infinitesima rispetto al tempo medio necessario per acquisire le competenze sul versante dei contenuti di matematica specialistica per linsegnamento prima ancora di quelle sul versante metodologico-didattico


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