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Metodi di interpolazione di alto ordine per lo zooming di immagini: ENO e WENO Seminario di Metodi Matematici per lottimizzazione A.A. 2011/2012 Prof.ssa.

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1 Metodi di interpolazione di alto ordine per lo zooming di immagini: ENO e WENO Seminario di Metodi Matematici per lottimizzazione A.A. 2011/2012 Prof.ssa Rosa Maria Pidatella Valeria Borzì Andrea Francesco Fornaia Davide Stefano Sardina

2 Sommario Trattazione delloperazione di zooming come problema di tipo interpolatorio Metodi tradizionali non adattivi (basso ordine) Efficienti in termini di tempo di esecuzione Non preservano le alte frequenze nelle immagini Metodi adattivi (alto ordine): ENO e WENO Maggior ordine di accuratezza Minore efficienza 2

3 Interpolazione sulle immagini (1) Il problema dellinterpolazione in generale consiste nellapprossimazione di una funzione o di un insieme di dati con una funzione che sia più semplice e che abbia buone proprietà di regolarità. Nel caso particolare delle immagini, si tratta di un metodo software grazie al quale si riesce a raggiungere una dimensione maggiore dellimmagine originale. L'ingrandimento digitale utilizza l'immagine originale per generare una nuova immagine che contiene un numero maggiore di punti. 3

4 Interpolazione sulle immagini (2) Il processo di interpolazione consiste nel disporre i pixel dellimmagine originale su una matrice come in figura e stimare il valore dei pixel mancanti utilizzando quelli noti. 4

5 Alta e bassa frequenza Nel dominio delle frequenze unimmagine digitale è costituita da componenti ad alta e bassa frequenza. Di notevole importanza per la nostra trattazione sono le prime perché rappresentano i particolari dellimmagine. Dato che i metodi di interpolazione tradizionali non sono in grado di preservare le alte frequenze, si ricorre ad altri metodi di interpolazione (detti adattivi). Questi sono caratterizzati per la nitidezza dei risultati e per la riduzione degli artefatti che, in unimmagine, costituiscono due fattori critici nella percezione visiva della qualità di unimmagine. 5

6 Artefatti I metodi di interpolazione tipicamente introducono artefatti del tipo: Aliasing Blurring Blocking Fenomeni di Gibbs (ringing) 6

7 Artefatti (2) 1.Aliasing (scalettatura): le linee che definiscono gli edge appaiono frastagliate 7

8 Artefatti (3) 2.Blurring (sfocatura): a causa dellingrandimento dellimmagine, essa può risultare sfocata 8

9 Artefatti (4) 3.Blocking (quadrettatura): i contorni del soggetto non sono più percepiti come uniformi ma come una serie di quadrati accostati l'un l'altro 9

10 Artefatti (5) 4.Fenomeni di Gibbs (ringing): oscillazioni nei pressi di discontinuità che provocano effetti ad anelli vicino gli edge 10

11 Metodi di interpolazione Metodi non adattivi: utilizzano gli stessi filtri lineari spazialmente invarianti su ogni regione dellimmagine. Fanno parte di questa categoria i metodi nearest neighbour, bilineare, bicubico. Si basano su interpolazione polinomiale: Grado = 1 (lineare) Grado > 1 basso ordine di accuratezza alto ordine di accuratezza ma oscilla nelle discontinuità 11

12 Metodi non adattivi Nearest neighbor: metodo semplice e rapido perché si limita a porre il valore di ogni pixel sconosciuto uguale al valore del pixel noto più vicino. Svantaggi: scalettature e seghettature specie sui contorni. Bilineare: il valore del pixel da interpolare è ottenuto facendo la media dei valori dei quattro pixel noti diagonalmente adiacenti. Svantaggio: immagine sfocata. Bicubico: sulla base dello stesso principio del metodo bilineare ma considerando un numero maggiore di pixel vicini, viene utilizzato un polinomio interpolante bicubico vincolato ai valori dei pixel noti che circondano il pixel da interpolare. 12

13 Nearest Neighbor (NN) BilinearBicubic 13

14 Metodi di interpolazione Metodi adattivi: fanno uso di tecniche diverse a seconda del tipo di regione che si provvede ad interpolare (edge o aree uniformi). Caratteristiche: evitano le discontinuità risolvono il problema delle oscillazioni nei punti di discontinuità, raggiungendo ordini di accuratezza maggiori viene selezionato un intorno ad alta regolarità del pixel da interpolare 14

15 Metodi adattivi A differenza dei non adattivi, questi metodi determinano i pixel da utilizzare allinterno di uno stencil (insieme di punti da usare per linterpolazione) e tengono conto del tipo di regione che si sta interpolando escludendo i pixel che apportano una discontinuità I metodi adattivi che tratteremo sono i metodi ENO (Essentially Non-Oscillatory) e WENO (Weighted-ENO) 15

16 Ma cosa si intende per… discontinuità alta frequenza regolarità 16

17 Discontinuità Analiticamente, si dice punto di discontinuità di una funzione a valori reali f un punto appartenente al dominio di f nel quale la funzione non risulti continua. La tipologia di discontinuità che riscontriamo nella teoria delle immagini è quella di prima specie, anche detta salto. 17

18 Discontinuità Nella teoria delle immagini digitali Le discontinuità in unimmagine si riscontrano principalmente nei contorni 18

19 Alta frequenza Il concetto di alta frequenza si riallaccia al concetto di discontinuità. Le componenti ad alta frequenza di unimmagine digitale, infatti, rappresentano i particolari dell'immagine e i disturbi di quantizzazione. In generale, ciò avviene in presenza di bordi (edge). 19

20 Regolarità Una funzione regolare è una funzione che non presenta "criticità", quali cuspidi, punti angolosi, flessi, asintoti verticali Dal punto di vista quantitativo, bisogna studiare le derivate della funzione e la loro continuità Quindi unarea di unimmagine ha un livello di regolarità che è inversamente proporzionale al numero di discontinuità che presenta al suo interno. Se questo livello è alto allora i valori dei pixel sono tutti pressoché uniformi Zone ad alta regolarità sono anche dette a bassa frequenza 20

21 Concetto del burrone Mentre i metodi non adattivi andrebbero avanti, non curanti della discontinuità incontrata… … i metodi adattivi tornerebbero indietro! 21

22 Metodi di interpolazione 22

23 ENO e WENO

24 Passaggio dalla teoria alle immagini ENO e WENO furono creati come metodi numerici per la risoluzione delle PDE (Partial differential equations) nellambito della fluidodinamica Il passaggio dalla teoria delle PDE alle immagini è dovuto al Anil K. Jain, professore alla Michigan State University che ne parla nel suo articolo Partial differential equations and finite-difference methods in image processing, part 1: Image representation

25 Campi di applicazione Metodi vengono utilizzati in molti ambiti scientifici: fluido dinamica computazionale (CFD) astronomia e astrofisica computazionale (i modelli sono simili alla CFD) simulazioni di dispositivi semiconduttori modelli di flusso di traffico biologia Metodi WENO sono i più usati, poiché a parità di ordine di accuratezza, sono più efficienti dei metodi ENO

26 Distinzione tra ENO e WENO ENO – Per ogni punto da interpolare si definisce un intorno di valori noti, detto cella – Costruisce uno stencil (insieme di celle) partendo dalla cella base e aggiungendo ad ogni passo di estensione o la celle di destra o quella di sinistra. – Tra le due celle, verrà scelta quella che, aggiunta allo stencil, permette di ottenere un grado di regolarità maggiore, che verrà stabilita attraverso il metodo delle differenze divise di Newton. – Quindi si effettua linterpolazione – Costruzione adattiva dello stencil

27 ENO Quando ENO si accorge di aver incontrato una discontinuità, torna indietro stencil generato

28 Distinzione tra ENO e WENO WENO Utilizza tutti gli stencil possibili senza porre condizioni di estensione, ed assegna un peso diverso ad ognuno di essi in base alla loro regolarità; quindi effettua linterpolazione Questo approccio brute force si dimostra sperimentalmente migliore di ENO grazie alleliminazione dei costrutti condizionali che non sono molto efficienti su alcuni computer vettoriali

29 WENO WENO considererà tutti gli stencil, dando peso differente ad ognuno in base alla loro regolarità. alta regolarità bassa regolarità

30 Ricostruzione ad una dimensione Vediamo i metodi di interpolazione ENO/WENO applicato ad una generica Data uninsieme di punti nellintervallo [a,b] con si definisce cella I i : dove la dimensione di ogni cella è: per i=1,2,…,N ΔxiΔxi 30

31 ΔxiΔxi Medie di cella Data la cella I i, definiamo la media di cella : i=1,2,…,N 31 Nella tecnica ENO/WENO, queste medie di cella verranno usate come vincoli del polinomio interpolante. i=1,2,…,N

32 Polinomio interpolante Per ogni cella I i cerchiamo un polinomio interpolante p i (x) che abbia le seguenti caratteristiche: Sia di grado al più k-1 Lordine di accuratezza dellapprossimazione della funzione v(x) nella cella I i sia k 32 In particolare, questo polinomio fornirà lapprossimazione della funzione v(x) ai bordi della cella I i con un ordine di accuratezza k

33 Costruzione dello stencil Fissato un ordine di accuratezza k, per individuare il polinomio p i (x) interpolante la funzione v(x) nella cella I i, si sceglie uno stencil di k celle, composto dalla cella di base I i, da r celle a sinistra e s celle a destra, con il vincolo: r+s+1=k con r,s>=0 Denotiamo tale stencil nel seguente modo: S(i)={I i-r,…, I i+s } In ENO lo stencil verrà costruito in maniera adattiva Se la funzione è regolare a tratti, usando uno stencil fissato (non adattivo) si rischierebbe di includere delle discontinuità che darebbero luogo ad oscillazioni del polinomio interpolante, abbassandone laccuratezza In WENO, per ogni cella I i verranno considerati tutti i possibili stencil, combinando poi i risultati ottenuti 33

34 Costruzione del polinomio Dato S(i), esiste un unico polinomio di grado k-1=r+s interpolante che soddisfi la seguente condizione di interpolazione: Ovvero, che per ogni cella dello stencil creato, le medie di cella per il polinomio interpolante coincidano con le medie di cella della funzione da interpolare Questo polinomio è lapprossimazione di ordine k che stiamo cercando, nella parte della regione ricoperta dallo stencil in cui la funzione si mantiene sufficientemente regolare. 34

35 Approssimazione ai bordi di cella Il polinomio generato fornisce in particolare lapprossimazione dei valori di v(x) ai bordi della cella I i La dipendenza di tali valori dalle medie delle celle contenute nello stencil è espressa da delle costanti che sono ricavate dai polinomi di Lagrange 35 Poiché ovviamente per ogni cella possiamo considerare solo una delle approssimazioni ai bordi In maniera analoga, useremo questo metodo di interpolazione per ricavare il valore dei pixel non noti durante loperazione di zooming

36 ENO per le immagini I concetti appena esposti si possono applicare al problema di zooming delle immagini, le quali possono essere rappresentate tramite funzioni a due dimensioni. Il problema da sviluppare sarà unidimensionale: si agisce prima sulle righe e in seguito sulle colonne 36

37 Definizione di cella Dato un pixel da interpolare allinterno di unimmagine, è possibile costruire un intorno di 2 pixel lungo una sola direzione così formato sx ? ? dx questa cella è detta cella di base 37

38 Definizione di stencil Accanto alla cella di base saranno presenti altre celle. Uno stencil è un insieme di celle contigue, contenenti la cella base I pixel noti contenuti allinterno di uno stencil, verranno utilizzati per poter interpolare il valore del pixel non noto allinterno della cella base: maggiore è il numero di punti considerati, maggiore sarà lordine di accuratezza raggiunto ????? cella di base 38

39 In generale: Per un grado di accuratezza k, sono necessari k+1 punti per interpolare un pixel; partendo da una cella di base (2 punti), si estende lo stencil considerando tutte le possibilità. Verrà scelto quello in cui V(x) abbia la più alta regolarità in confronto agli altri potenziali stencil. Ciò viene realizzato suddividendo il compito in più step, in ognuno dei quali si aggiunge un punto allo stencil; effettuando quindi le differenze non divise, verrà scelto lo stencil con valore assoluto minore. 39

40 Scelta dello stencil Lidea di base è evitare di includere nello stencil le celle discontinue. Per fare ciò usiamo le differenze divise di Newton che forniscono una misura di regolarità della cella nello stencil. Per una griglia uniforme, e non occorre calcolare le differenze divise ma quelle non divise. Le differenze non divise di grado j, per j>=1, sono definite per induzione da: 40

41 41

42 Metodo ENO: esempio 1.Sia k=2, lo stencil avrà k+1=3 punti. La cella di base è: 2.Al successivo step, si hanno solamente due possibili scelte per espandere lo stencil: 42 oppure

43 Metodo ENO: esempio 3.Si effettua quindi il calcolo delle differenze non divise scegliendo lo stencil con il valore minore. 4.Definito lo stencil, è possibile determinare il valore del pixel da interpolare secondo la formula: 43

44 Metodo ENO: esempio Passo 1. Cella di base … … Pixel da interpolare Passo 2. 2a. Espansione stencil a sinistra e calcolo differenze non divise. 2b. Espansione a destra e calcolo differenze non divise. 44

45 Metodo ENO Scelto lo stencil, si calcola il valore del pixel da interpolare, secondo la formula: -l scorre gli elementi allinterno dello stencil -k è lordine di accuratezza fissato (i punti nello stencil sono k+1, ma verranno usati solo i primi k) -r è il numero di celle dello stencil a sinistra della cella base -C sono dei coefficienti ricavati tramite il processo di interpolazione di Lagrange 45

46 46

47 Miglioriamo ENO: WENO Svantaggi di ENO 1.Limita lordine di accuratezza scegliendo solo uno stencil tra k stencil candidati. In totale questi ricoprono 2k-1 celle 2.Lento nelle operazioni vettoriali perché deve scegliere ad ogni passo una differenza non divisa, introducendo istruzioni condizionali 47

48 WENO 48

49 Metodo WENO 49

50 Calcolo dei pesi Le formule per il calcolo dei pesi sono una conseguenza delle proprietà che vogliamo ottenere, riportate di seguito: i pesi dovrebbero dipendere dalle medie di cella coinvolte il calcolo dei pesi dovrebbe essere efficiente dal punto di vista computazionale quando la funzione v(x) ha una discontinuità in uno o più stencil i corrispondenti pesi dovrebbero tendere a zero 50

51 Formule per il calcolo dei pesi 51

52 52

53 53

54 Implementazione di WENO Il metodo WENO è stato sviluppato in diverse versioni che differiscono per dimensione dello stencil e calcolo degli smoothness indicators Noi non prenderemo in considerazione queste versioni, tuttavia può essere interessante sapere che Russo-Ferretti e Bryson-Levy risultano essere le migliori 54

55 Esempio di WENO

56 Risultati Sperimentali

57 Introduzione Per valutare la qualità di un algoritmo di zooming adotteremo tre approcci differenti, ognuno dei quali permette di osservare diversi aspetti sullefficacia dei metodi studiati Analisi qualitativa Analisi quantitativa Analisi spettrale dellimmagine 57

58 Il PSNR Il Peack Signal-to-Noise Ratio è una misura adottata per valutare la differenza tra due immagini, che useremo per determinare la qualità dello zooming Dove: MSE è lerrore quadratico medio tra le due immagini I è limmagine originale K è limmagine che vogliamo comparare MAX{I} = valore massimo raggiunto da I M è laltezza dellimmagine N è la larghezza dellimmagine 58

59 Utilizzo del PSNR 59

60 Analisi spettrale delle immagini (1) Unimmagine può essere vista come una funzione discreta a due dimensioni in cui i valori rappresentano i livelli di grigio di un determinato pixel La funzione immagine può essere vista come un segnale, cioè una funzione variabile in un dominio con una propria frequenza (costante o variabile) I metodi adattivi cercano di preservare quanto più possibile le alte frequenze di unimmagine Zone ad alta frequenza: parti ricche di dettagli o contenenti disturbi. In generale, ciò avviene in presenza di bordi (edge) Zone a bassa frequenza: zone di colore uniforme 60

61 Analisi spettrale delle immagini (2) È possibile adottare la Discrete Fourier Transform (DFT) per osservare limmagine nel dominio della frequenza e non più nel dominio spaziale Un noto algoritmo degli anni 60 per il calcolo della DFT è la Fast Fourier Transform, già presente anche nella sua versione 2D tra le funzionalità di Matlab 61

62 Interpretazione dello spettro di unimmagine 62

63 Analisi spettrale delle immagini (3) Visualizzeremo e confronteremo gli spettri delle immagini per osservare in che modo agiscono i metodi di zooming sulle loro frequenze Una delle maggiori cause della perdita di dettagli in unimmagine zoomata è leffetto blur (sfocatura) che tipicamente affligge i metodi non adattivi, soprattutto per immagini a bassa risoluzione Questo fenomeno causa una perdita sostanziale delle alte frequenze presenti in unimmagine Vediamo come unesplicita operazione di smoothing modifichi lo spettro di unimmagine 63

64 Effetto dello smoothing sullo spettro (2) Lo smoothing altera chiaramente le alte frequenze dellimmagine, rendendo nere le aree periferiche nellimmagine dello spettro 64

65 Test affrontati (1) comparazione dei metodi allaumentare della dimensione dellimmagine comparazione dei metodi variando la tipologia di immagine ricca di edge in presenza di strutture regolari immagini con testo immagini mediche 65

66 Test affrontati (2) Per evitare di alterare i risultati visivi con un eccessivo rimpicciolimento delle immagini, in questa presentazione verranno mostrati i risultati qualitativi solo per immagini di dimensione 256x256. Per immagini di dimensioni maggiori, verranno riportati dei dettagli delle immagini o solo i risultati quantitativi. Ricordiamo che ENO3 e WENO2 hanno lo stesso ordine di accuratezza, e quindi sono confrontabili Lo stesso vale con ENO5 e WENO3 Per lo zooming con metodi non adattivi, è stata utilizzata la imresize di Matlab imresize(I, 2, nearest) imresize(I, 2, blinear) imresize(I, 2, bicubic) 66

67 Test 1: Variazione della dimensione analisi qualitativa 256x256 - ENO ENO sembra introdurre dei disturbi proprio sui bordi, ma questo effetto scompare aumentando la risoluzione di partenza 67

68 Test 1: Variazione della dimensione analisi qualitativa 256x256 - WENO WENO non introduce i disturbi visti con ENO, già con immagini a bassa risoluzione. I risultati sono sicuramente paragonabili con il bicubico 68

69 Test 1: Variazione della dimensione analisi quantitativa I metodi adattivi danno quasi sempre risultati migliori, in particolare WENO2 I metodi adattivi sono però anche notevolmente onerosi rispetto ai non adattivi Discordanti i risultati con risoluzione 1024x1024, dove i non adattivi si comportano meglio, forse è il caso di provare su di un altro volto … 69

70 Test 1: Variazione della dimensione analisi quantitativa per 1024x1024 con altro volto.. Dimensione: 1024x1024 WENO2 da ancora risultati migliori 70

71 Test 2: Immagini con molti edge analisi qualitativa Dimensione: 512x512 71

72 Test 2: Immagini con molti edge analisi quantitativa Dimensione: 512x512 Il nearest da dei buoni risultati quantitativi, ma osservando i risultati qualitativi si notano chiaramente i problemi di seghettatura ai bordi, presenti in maniera maggiore che in qualsiasi altro caso 72

73 Test 2: Immagini con molti edge analisi dello spettro ORIGINALENEARESTBILINEAREBICUBICO ENO3ENO5WENO2WENO5 73

74 Test 3: Immagini ad alta regolarità analisi qualitativa e quantitativa Dimensione: 256x256 74

75 ORIGINALENEARESTBILINEAREBICUBICO ENO3ENO5WENO2WENO5 Test 3: Immagini ad alta regolarità: analisi dello spettro 75

76 Test 4: Immagini con testo analisi quantitativa e qualitativa Dimensione: 1024X1024 Anche se il PSNR più alto è stato ottenuto per ENO3, i risultati qualitativi migliori sono stati ottenuti da WENO2 76

77 Test 5: Immagini mediche analisi quantitativa e qualitativa Dimensione: 1024x1024 Le immagini mediche sono tipicamente a risoluzione molto alta, permettendo un esecuzione ottimale dei metodi adattivi. Preservare i dettagli in immagini di questo tipo è, per ovvie ragioni, fondamentale 77

78 Riepilogo risultati ottenuti Per i metodi adattivi, allaumentare della dimensione dellimmagine di partenza danno risultati migliori, potendo beneficiare di maggiori informazioni in prossimità dei bordi per costituire degli stencil con alta regolarità ENO applicato ad immagini di piccole dimensioni introduce delle informazioni fittizie che abbassano la qualità visiva dello zooming. Leffetto si attenua allaumentare della dimensione Sia ENO che WENO, in presenza di edge, preservano le alte frequenze, diminuendo il fenomeno di smoothing ENO e WENO si dimostrano particolarmente efficaci con immagini mediche e contenenti testo A parità di ordine di accuratezza, WENO risulta essere più efficiente di ENO In generale, i metodi adattivi danno risultati migliori, ma a discapito dellefficienza Il giusto compromesso tra qualità e efficienza è sempre WENO2 78

79 Implementazione di ENO e WENO MATLAB come ambiente di sviluppo Traduzione della teoria in codice Esecuzione dei test su diverse immagini Analisi dei risultati per evidenziare pro e contro dei metodi Verranno descritte in dettaglio le operazioni principali dei due metodi ENO e WENO. 79

80 Convertire limmagine I metodi che abbiamo visto sono onerosi dal punto di vista dellesecuzione e prendono in input una matrice bidimensionale. Eseguirli sui singoli canali R, G, B non sarebbe efficiente Come soluzione a questo problema scegliamo di convertire limmagine nello spazio di colori YCbCr. Il canale della luminanza è quello che detiene le informazioni più importanti visibili allocchio. Il metodo sarà applicato solo ad esso Per gli altri due canali utilizzeremo metodi di basso ordine 80

81 Zooming e interpolazione Il procedimento è riassunto nelle immagini successive: PASSO 1 IZ 81

82 Procedimento PASSO 2 Limmagine è scandita prima per righe e quindi per colonne Calcolo degli stencil e dei pesi per effettuare linterpolazione 82 (2)

83 Passaggi intermedi Calcolo dei pixel delle colonne Calcolo dei pixel delle righe 83

84 Pseudo codice

85 ENO(IMAGE, k) C = CONVERT-TO-YCBCR(IMAGE) P = PADDING(C) [Y, Cb, Cr] = CHANNEL-SEPARATION(P) [m,n] = IMAGE-SIZE(Y) Z = INITIALIZE-ZERO-IMAGE(m*2, n*2) L = LAGRANGE-CONSTANTS(k) // applichiamo ENO alle righe FOR i = 1 TO m*2-1 WITH STEP 2 FOR j = 2 TO n*2 WITH STEP 2 I = CELL(i,j) STENCIL = {I} FOR l = 1 TO k-1 STENCIL-Sx = EXTEND-STENCIL-LEFT(STENCIL) STENCIL-Dx = EXTEND-STENCIL-RIGHT(STENCIL) STENCIL = NEWTON-COMPARISON(STENCIL-Sx, STENCIL-Dx) //restituisce lo stencil che in valore assoluto risulta minore Z[i, j] = PIXEL-INTERPOLATION(STENCIL, L) // applichiamo ENO alle colonne FOR j = 1 TO n*2 FOR i = 2 TO 2*m WITH STEP 2 // analogo al calcolo per riga [...] M = CHANNEL-MERGE(Y, NEAREST(Cb), NEAREST(Cr)) ZOOMED-IMAGE = CONVERT-TO-RGB(IMCROP(M)) RETURN ZOOMED-IMAGE 85 rgb2ycbcr(image) padarray(C,padsize,padval) ycbcr2rgb(uint8(M)) imcrop(M,[1+padsize, 1+padsize, m-1, n-1])

86 WENO(IMAGE, k) C = CONVERT-TO-YCBCR(IMAGE) P = PADDING(C) [Y, Cb, Cr] = CHANNEL-SEPARATION(P) [m,n] = IMAGE-SIZE(Y) Z = INITIALIZE-ZERO-IMAGE(m*2, n*2) L = LAGRANGE-CONSTANTS(k) // applichiamo WENO alle righe FOR i = 1 TO m*2-1 WITH STEP 2 FOR j = 2*k TO 2*(n-k)+1 WITH STEP 2 I = CELL(i,j) FOR r = 0 TO k-1 DO STENCIL = GET-STENCIL(I, r) V[r] = PIXEL-INTERPOLATION(STENCIL, L) //per ogni stencil calcolo del pixel da interpolare W = GET-WEIGHTS(I,k) // calcoliamo i k pesi necessari FOR r = 0 TO k-1 DO Z[i,j] = Z[i,j] + V[r]*W[r] // valore del pixel da interpolare (combinazione tra i pesi e gli stencil) // applichiamo WENO alle colonne FOR j = 1 TO m*2-1 FOR i = 2*k TO 2*(n-k)+1 WITH STEP 2 // analogo al calcolo per riga [...] M = CHANNEL-MERGE(Y, NEAREST(Cb), NEAREST(Cr)) ZOOMED-IMAGE = CONVERT-TO-RGB(IMCROP(M)) RETURN ZOOMED-IMAGE 86

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