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Calcolo combinatorio E una branca della matematica che si occupa di contare gli oggetti di un insieme finito. Tipica domanda: Quanti sono…? Per rispondere.

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1 Calcolo combinatorio E una branca della matematica che si occupa di contare gli oggetti di un insieme finito. Tipica domanda: Quanti sono…? Per rispondere a domanda di questo tipo, utilizziamo vari modelli. Una volta scelto il modello giusto, i metodi di base sono basati su due principi: il principio additivo e il principio moltiplicativo.

2 Principi fondamentali Principio additivo: se A e B sono due insiemi finiti disgiunti, allora la cardinalità della loro unione è la somma delle loro cardinalità: in altri termini:

3 Principio additivo - Seconda versione Se però A e B non sono disgiunti, il principio non vale più nella stessa forma, in quanto nel computo di Card(A)+Card(B) gli elementi dellintersezione sono contati due volte. Il principio diviene allora il seguente: Se A e B sono insieme finiti, allora:

4 Principio additivo, seconda versione: un esempio In figura, A (rettangolo in basso a sinistra) ha 10 elementi, B (rettangolo in alto a destra) ne ha 9. A e B hanno 4 elementi in comune (rettangolo verde), per cui lunione di A e di B ha =15 elementi

5 Principio additivo: un esempio In una classe di 30 studenti vengono fatti due test per lammissione allanno successivo. E ammesso chi supera almeno un test. Il primo test è superato da 16 studenti Il secondo test è superato da 14 studenti. Solo 8 superano entrambi i test. Quanti studenti sono ammessi allanno successivo? Risposta: =22.

6 Il Principio moltiplicativo Principio moltiplicativo. Il numero delle sequenze a 1,…,a n dove: a 1 varia in un insieme di k 1 elementi; a 2 varia in un insieme di k 2 elementi,…, a n varia in un insieme di k n elementi è k 1. k 2 ….. k n.

7 Principio moltiplicativo: illustrazione grafica a1a1 a2a2 b1b1 b2b2 b3b3 b1b1 b3b3 b2b2 c1c1 c2c2 c1c1 c2c2 c1c1 c2c2 c1c1 c2c2 c1c1 c2c2 c1c1 c2c2 Il primo elemento varia in due modi (a 1 e a 2 ), il secondo in tre modi (b 1, b 2 e b 3 ). Il terzo in due modi (c 1 e c 2 ). Le sequenze che si leggono scendendo lungo i rami sono =12

8 Il principio moltiplicativo: esempi Quante targhe si possono fare con 2 lettere dellalfabeto inglese seguite da 3 cifre e poi ancora 2 lettere dellalfabeto inglese? R = E se si usassero invece 7 lettere dellalfabeto italiano il numero di targhe aumenterebbe? Risposta. Si, si otterrebbero 21 7 = targhe.

9 Problemi Quante sono le terne di lettere (anche prive di senso) che precedono la parola LIO nellordine lessicografico? Risposta: Le possibilità sono: la prima lettera precede L (9 casi) e le altre sono arbitrarie ( casi) oppure la prima è L (1 caso), la seconda precede I (8 casi) e la terza è arbitraria (21 casi) o infine le prime due sono LI e la terza precede O (12 casi). Totale: =4149 possibilità.

10 Problemi Viene lanciato per tre volte un dado. Quanti sono gli esiti dei tre lanci che hanno come somma 13? Risposta: ripartiamo gli esiti a seconda dellesito del primo dado. Se il primo uscito è 1, vi è una sola possibilità per gli altri 2, cioè 6 e 6. Se il primo è 2 vi sono 2 possibilità per gli atri 2, cioè 5 e 6 oppure 6 e 5. Se il primo è 3 le possibilità sono 3, ossia: 6 e 4, 4 e 6 o 5 e 5. Etc. etc. In totale le possibilità sono =21.

11 Problemi Da unurna contenente i numeri da 1 a 90 si estraggono 3 numeri senza reimbussolamento. Quante sono le estrazioni in cui i primi due estratti sono numeri pari? Risposta: il primo varia in 45 modi (tutti i pari). Il secondo varia in 44 modi (i pari meno il primo). Il terzo in 88 modi (tutti salvo i primi due). Totale: =

12 Le 4 figure fondamentali della combinatoria Disposizioni semplici: Ordine SI Ripetizioni NO (Lordine conta; non sono ammesse ripetizioni) Combinazioni semplici: Ordine NO Ripetizioni NO (Lordine non conta e non sono ammesse ripetizioni) Disposizioni con ripetizioni: Ordine SI Ripetizioni SI (Lordine conta e sono ammesse ripetizioni) Combinazioni con ripetizioni: Ordine NO Ripetizioni SI (Lordine non conta e sono ammesse ripetizioni)

13 Disposizioni semplici Sono raggruppamenti di k oggetti presi da un insieme di n oggetti senza ripetizioni ma tenendo conto dellordine. Il numero delle disposizioni di k oggetti di un insieme di n oggetti si indica con D(n,k). Per il Principio Moltiplicativo ha: D(n,k)=n(n-1)…(n-k+1). Posto n!= …. (n-1). n, si ha anche: D(n,k)=n! : (n-k)!

14 Esempi Ad una gara partecipano 10 atleti. Quante sono le possibili salite sul podio (primo, secondo e terzo?) Risposta: D(10,3)= =720 Quanti sono i possibili allineamenti alla partenza delle 10 contrade su 17 che parteciperanno al Palio del 2020? Risposta: D(17,10)=

15 Problema Quante sono le funzioni iniettive da un insieme A di m elementi ad un insieme B di n elementi, con m n? Risposta: D(n,m). Siano a 1,…,a m gli elementi di A. Per scegliere una funzione iniettiva f da A a B devo determinare f(a 1 ),…,f(a m ). f(a 1 ) lo posso scegliere in n modi diversi (tanti quanti gli elementi di B). f(a 2 ) deve essere diverso da f(a 1 ), quindi lo posso scegliere in n-1 modi. f(a 3 ) lo posso scegliere in n-2 modi,…,f(a m ) lo posso scegliere in n-m+1 modi. Per il principio moltiplicativo, ho D(n,m)=n. (n-1). …. (n-m+1) scelte possibili.

16 Permutazioni Sono disposizioni di n oggetti a n a n. Dato che la scelta degli elementi da ordinare è obbligata (devo sceglierli tutti), le permutazioni di n oggetti sono i loro possibili ordinamenti. Il numero delle permutazioni di n oggetti è quindi D(n,n)=n! : 1!=n!

17 Esempi Quanti sono gli anagrammi della parola ASTRO? Risposta: 5!=120. Il 30 maggio sono noti i nomi delle 10 contrade che parteciperanno al Palio del 2 Luglio. Quanti sono i possibili allineamenti alla partenza? E quanti gli ordini di arrivo? Risposta in entrambi i casi: 10!= Quante sono le biiezioni da un insieme A di n elementi ad un insieme B di n elementi? Risposta: n!

18 Altri problemi Ad una gara partecipano 10 atleti, di cui 5 italiani e 5 svizzeri. Quanti sono gli ordini di partenza in cui gli italiani precedono gli svizzeri? Risposta: basta fissare lordine degli italiani (5! possibilità) e quello degli svizzeri (5! possibilità). Mettendo gli italiani davanti agli svizzeri otteniamo lordine darrivo completo. Gli ordini degli italiani e degli svizzeri possono essere scelti indipendentemente. Totale: 5!. 5!=14400.

19 Altri problemi Ad una tavola rotonda (in senso letterale) si devono sedere 8 commensali fra cui il Signor Pedro Gonzales. Se consideriamo le loro posizioni a meno di rotazioni, in quanti modi si possono disporre? Risposta: poiché lordine è a meno di rotazioni, si può assumere che il primo sia Gonzales. Gli altri 7 commensali possono essere disposti in 7! modi. Quindi le possibilità sono 7!.

20 Altri problemi Ad unaltra gara partecipano 8 atleti, fra cui Gennaro Esposito (GE) e Ambrogio Brambilla (AB). Quanti sono gli ordini darrivo in cui GE precede AB? Risposta: il numero degli ordini darrivo con GE davanti a AB è uguale al numero di ordini darrivo con AB davanti a BE (si passa da uno allaltro scambiando i due). Il numero richiesto è la metà degli 8! possibili ordini di arrivo, ossia 8! : 2=20160.

21 Combinazioni semplici Le combinazioni semplici di k oggetti presi da un insieme di n oggetti sono i sottoinsiemi di k elementi dellinsieme dato. Quando parliamo di insiemi o di sottoinsiemi intendiamo che sono escluse ripetizioni e che si prescinde dallordine. Il numero delle combinazioni di k oggetti presi da un insieme di n oggetti si indica con C(n,k).

22 Calcolo di C(n,k) Una combinazione semplice genera una disposizione semplice per ogni ordinamento della combinazione stessa. Gli ordinamenti di un insieme di k elementi sono k! Quindi D(n,k)=C(n,k). k! Ne segue che C(n,k)=D(n,k)/k!=n!/((n-k)!. k!) Notazione: nei testi, invece di C(n,k) si usa di solito la notazione

23 Esempi C(5,3)=( ):(3. 2)=10 C(7,4)=( ) : ( )=35 C(20,2)=(20. 19) : 2=190 C(9,3)=( ):(3. 2)=84

24 Esempi Nel gioco del Poker vengono distribuite a ciascun giocatore 5 carte su 32. Quante sono le possibilità per ciascun giocatore? Risposta: lordine in cui il giocatore riceve le carte non importa, e non sono possibili ripetizioni. Quindi le possibilità sono date dalle combinazioni di 5 oggetti presi da un insieme di 32, ossia C(32,5)=

25 Esempi Quante sono le cinquine nel gioco del lotto? Risposta: Sono gli insiemi di cinque numeri presi dallinsieme dei primi 90 numeri. Quindi le cinquine sono C(90,5)= Quante partite si giocano in tutto in un torneo a 18 squadre? Risposta: le partite di andata sono tante quanti gli insiemi di 2 squadre prese dalle 18 partecipanti. Quindi nellandata si giocano C(18,2)=146 partite. In totale le partite sono 292.

26 Esempi In occasione di un Palio straordinario, a Siena vengono sorteggiate 10 contrade partecipanti su 17. Quante sono le possibili scelte? Risposta: C(17,10)= Quante sono le sequenze crescenti di 3 numeri presi da 1 a 20? Risposta: basta prendere i sottoinsiemi di 3 numeri da 1 a 20 e ordinarli in ordine crescente. Quindi il numero richiesto è C(20,3)=1140.

27 Un altro esempio Ad una corsa partecipano 8 concorrenti fra cui Ambrogio Brambilla, (AB), Gennaro Esposito (GE) e Duccio Peccianti (DP). Quanti sono gli ordini di arrivo in cui DP precede GE e GE precede AB? Soluzione. Una volta fissati i 3 posti in cui si piazzano DP, GE e AB, vi è un solo ordine possibile dei 3 concorrenti. Quindi lordine darrivo è determinato dallordine degli altri 5 concorrenti.

28 Altro esempio La scelta dei 3 posti in cui si piazzano GE, AB e DP varia in C(8,3) modi, mentre la scelta degli ordini dei rimanenti 5 concorrenti varia in 5! modi. Per il principio moltiplicativo (le due scelte sono indipendenti), abbiamo C(8,3). 5!=6720 possibili ordini darrivo.

29 Proprietà dei coefficienti binomiali I numeri C(n,k) si chiamano coefficienti binomiali. Si ha: C(n,k)=0 se k>n. Infatti non ci sono sottoinsiemi con più elementi dellinsieme. C(n,0)=C(n,n)=1. Infatti lunico sottoinsieme privo di elementi è linsieme vuoto, e lunico sottoinsieme con lo stesso numero di elementi è linsieme stesso. C(n,1)=n. I sottoinsiemi di un elemento sono tanti quanti gli elementi stessi.

30 Proprietà dei coefficienti binomiali C(n,k)=C(n,n-k). Infatti i sottoinsiemi con k elementi sono tanti quanti i loro complementi, cioè i sottoinsiemi di n-k elementi. C(n+1,k+1)=C(n,k+1)+C(n,k). Infatti sia A un insieme di n+1 elementi, e sia b un suo elemento. I sottoinsiemi di A di k+1 elementi (C(n+1,k+1) in totale) sono i C(n+1,k) insiemi che contengono b più i C(n,k) sottoinsiemi che non contengono b. Quindi C(n+1,k+1)=C(n,k+1)+C(n,k).

31 Esercizio Calcolare C(100,98). Invece di calcolare D(100,98)/98!, una frazione in cui sia il numeratore che il denominatore sono numeri grandissimi, osserviamo che C(100,98)=C(100,100-98)=C(100,2) Quindi C(100,98)=C(100,2)=100.99/2=4950.

32 Il binomio di Newton Le formule di elevamento al quadrato e al cubo di un binomio sono ben note: (a+b) 2 =a 2 +2ab+b 2. (a+b) 3 =a 3 +3a 2 b+3ab 2 +b n. Vogliamo generalizzare la formula trovando unespressione per (a+b) n.

33 Binomio di Newton Per calcolare (a+b) 2 =(a+b)(a+b) dobbiamo sommare tutti i prodotti di due lettere in cui ogni fattore è una a o una b. tali fattori sono 4: aa, ab, ba, bb. Più in generale, per calcolare (a+b) n =(a+b)(a+b). …. (a+b)(a+b) dobbiamo sommare tutti i 2 n prodotti di n lettere di cui alcune sono a e le altre sono b.

34 Binomio di Newton Per k=0,1,…,n, raccogliamo tutti gli addendi del tipo a k b n-k. Tali addendi sono tanti quanti i prodotti con k fattori uguali ad a e quindi con n-k fattori uguali a b. Di tali fattori ve ne è uno per ogni scelta dei k posti (fra gli n posti totali) in cui si trova la a. Tali scelte sono tante quanti i sottoinsiemi di k elementi di un insieme di n elementi, ossia C(n,k), o equivalentemente

35 Binomio di Newton Pertanto (a+b) n è la somma di: C(n,0) volte a 0 b n più C(n,1) volte a 1 b n-1 più C(n,2) volte a 2 b n-2 più … …più C(n,n) volte a n b 0. In formula:

36 Esempi (a+b) 4 =C(4,0)a 4 +C(4,1)a 3 b+C(4,2)a 2 b 2 +C(4,3)ab 3 +C(4,4)b 4 = a 4 +4a 3 b+6a 2 b 2 +6ab 3 +b 4. (a+b) 5 =C(5,0)a 5 +C(5,1)a 4 b+C(5,2)a 3 b 2 +C(5,3)a 2 b 3 +C(5,4)ab 4 +C(5,5)b 5 =a 5 +5a 4 b+10a 3 b 2 +10a 2 b 3 +5ab 4 +b 5.

37 Disposizioni con ripetizione Le disposizioni con ripetizione sono raggruppamenti di oggetti in cui sono possibili ripetizioni e in cui si tiene conto dellordine. Le disposizioni con ripetizione si chiamano anche sequenze o stringhe. Il numero delle disposizioni con ripetizione di k oggetti presi da un insieme di n oggetti si indica con D(n,k).

38 Calcolo di D(n,k) Ciascuno dei k oggetti può essere scelto indipendentemente in n modi. Quindi per il principio moltiplicativo: D(n,k)=n. n. …. n (k volte). Quindi: D(n,k)=n k.

39 Esempi Quante stringhe di lunghezza 100 si possono formare con le lettere A, C, G, T? Risposta: = Quante sono le possibili colonne nel totocalcio? Risposta: 3 13 =

40 Disposizioni con ripetizioni: applicazioni Quante sono le funzioni da un insieme A di n elementi ad un insieme B di m elementi? Siano a 1,…,a n gli elementi di A. Per ottenere una funzione f da A a B basta scegliere fra gli m elementi di B gli n valori f(a 1 ),…,f(a n ). Ciascun f(a i ) può essere scelto in m modi. Per il principio moltiplicativo, una funzione f da A a B può essere scelta in m. …. m = m n modi. Quindi le funzioni da A a B sono m n =D(m,n).

41 Combinazioni con ripetizioni Con il simbolo C(n,k) indichiamo il numero di modi di formare raggruppamenti di k elementi presi da un insieme di n elementi, prescindendo dallordine e con la possibilità di ripetere più volte lo stesso oggetto. Siano a 1,…,a n gli oggetti. Una combinazione è ottenuta dicendo quante volte ciascun oggetto è ripetuto. Se a 1,…,a n sono ripetuti rispettivamente k 1,…,k n volte, la combinazione è rappresentabile con la seguente tabella:

42 Rappresentazione di una combinazione con ripetizioni tramite una tabella a 1 a 2 … …a n-1 a n k 1 k 2 … …k n-1 k n

43 Combinazioni con ripetizioni Se a 1 è ripetuto k 1 volte, a 2 è ripetuto k 2 volte,…, a n è ripetuto k n volte, essendo il numero totale di oggetti uguale a k, sarà: k 1 +k 2 +…+k n =k. Quindi per calcolare C(n,k) basta contare il numero di sequenze k 1, k 2,…,k n di numeri naturali tali che k 1 +k 2 +…+k n =k

44 Esempi Un padre decide di ripartire 50 monete doro fra i suoi 3 figli. In quanti modi può farlo? Risposta: devo calcolare il numero di terne di numeri naturali la cui somma sia 50. Tale numero è C(3,50). Ad una votazione partecipano 200 persone, che possono scegliere fra 3 candidati o votare scheda bianca. Quanti sono gli esisti possibili? Risposta: C(4,200). Vedremo poi come calcolare C(n,k).

45 Il modello dei contenitori Le combinazioni con ripetizioni C(n,k) possono essere modellate come segue: Consideriamo n contenitori distinguibili, numerati da 1 a n e k biglie indistinguibili. La combinazione data dalla stringa di numeri naturali k 1, k 2,…,k n con k 1 +k 2 +…+k n =k può essere rappresentata come latto di inserire k 1, biglie nel contenitore 1, k 2 biglie nel contenitore 2,…, k n biglie nel contenitore n.

46 Il modello dei contenitori: un esempio Consideriamo lesempio della votazione a cui partecipano 200 persone che possono scegliere fra 3 candidati o votare scheda bianca. Dopo lo scrutinio delle schede, mettiamo nellurna 1 le schede a favore del candidato 1, nellurna 2 quelle a favore di 2, nellurna 3 quelle a favore di 3 e nellurna 4 le schede bianche. In totale le schede sono 200, e si tratta di distribuirle fra 4 contenitori distinguibili.

47 Calcolo di C(n,k) Si tratta di contare i modi di distribuire k biglie indistinguibili fra n contenitori distinguibili. Ad ogni distribuzione associamo una stringa di k uni e di n-1 zeri come segue: Iniziamo dal contenitore 1. Un 1 nella stringa significa: aggiungi una biglia. Uno 0 nella stringa significa: passa al contenitore successivo. Dopo n-1 zeri arrivo allultimo contenitore. Dopo k uni ho finito di distribuire le biglie.

48 Esempio Supponiamo che i contenitori siano 3 e che le biglie siano 5. La stringa si interpreta così: I primi due uni significano: metti due biglie nel contenitore 1. Lo zero successivo significa: passa al contenitore 2. Lo zero successivo significa: passa al contenitore 3 (il contenitore 2 resta vuoto). I 3 uni finali significano: metti 3 biglie nel contenitore 3. Alla fine nel primo contenitore vengono messe 2 biglie, nel secondo 0 e nel terzo 3.

49 Calcolo di C(n,k) Una sequenza di k uni e di n-1 zeri è determinata dalla scelta degli n-1 posti fra gli n+k-1 possibili in cui la sequenza vale 0 (ovviamente negli altri posti la sequenza vale automaticamente 1). Tali scelte sono tante quanti i sottoinsiemi di n-1 elementi di un insieme di n-k-1 elementi, ossia: C(n,k)=C(n+k-1,n-1).

50 Esempi Ad una votazione partecipano 200 persone, che possono scegliere fra 3 candidati o votare scheda bianca. Quanti sono gli esisti possibili? Risposta: C(4,200)=C(203,3)= Un padre decide di ripartire 50 monete doro fra i suoi 3 figli. In quanti modi può farlo? Risposta: C(3,50)=C(52,2)=1326.

51 Permutazioni con ripetizioni Abbiamo visto che ci sono 5! anagrammi (anche privi di significato) della parola ASTRO. Quanti sono gli anagrammi della parola CARTA? Attenzione: permutando fra loro le due A ottengo la stessa parola. Quindi 5! rappresenta gli anagrammi della parola CARTA contati due volte. Pertanto il numero di anagrammi della parola CARTA è 5!:2=60.

52 Permutazioni con ripetizioni Consideriamo ora gli anagrammi della parola MAMMA. Stavolta otteniamo lo stesso anagramma in corrispondenza di ognuna delle 3! permutazioni delle 3 M e per ognuna delle 2!=2 permutazioni delle 2 A. Tali scelte sono indipendenti, e per il Principio Moltiplicativo sono 3!. 2!=12. Quindi 5! è il numero degli anagrammi di MAMMA, ciascuno ripetuto 3!2!=12 volte. Il numero degli anagrammi della parola MAMMA è quindi 5!:(3!2!)=120:12=10.

53 Esempio Quante sono le permutazioni della parola MISSISSIPPI? Risposta: MISSISSIPPI ha 11 lettere, fra cui la M compare una sola volta, la I compare 4 volte, la S compare 4 volte, e la P compare 2 volte. Per calcolare il numero degli anagrammi, dobbiamo dividere 11! per 4!. 4!. 2!, ottenendo

54 Permutazioni con ripetizioni In generale: supponiamo di avere una sequenza lunga k di oggetti a 1,…,a r, in cui a 1 è ripetuto k 1 volte, a 2 ripetuto k 2 volte,…, a r ripetuto k r volte (quindi k 1 +k 2 +…+k r =k). Il numero delle permutazioni della sequenza è dato da k! : (k 1 !. k 2 !. …. k r !).

55 Esempi Una stringa è formata da 40 caratteri, di cui 10 sono A, 10 sono C, 10 sono G e 10 sono T. In quanti modi può essere composta la stringa? Risposta. 40! : (10! 4 )= Anche se il numero è grandissimo, esso è molto più piccolo di 4 40 = , il numero di possibilità che avremmo in assenza di informazioni sulla distribuzione delle lettere.

56 Esempi Quante stringhe di 8 lettere possiamo ottenere usando per 3 volte la A, due volte la T, due volte la O e una volta la S? Risposta: 8! : (3!. 2!. 2!) =1680 Quante sono le stringhe binarie di lunghezza 20 con lo stesso numero di zeri e di uni? Risposta: 20! : (10!. 10!) =

57 Generalizzazioni del binomio di Newton Vogliamo trovare una formula simile a quella del binomio di Newton per la potenza di un trinomio (a+b+c) n. Il ragionamento che seguiamo è simile a quello adottato per il binomio di Newton, vale a dire: Applicando la proprietà distributiva, (a+b+c) n risulta uguale alla somma di tutti i prodotti di n lettere di cui alcune sono a, altre sono b e le rimanenti sono c.

58 Potenza di un trinomio Fissiamo 3 numeri h,k,m la cui somma è n. Ci chiediamo quante sono le sequenze di lettere a,b,c con h volte la a, k volte la b e m volte la c, cioè quanti sono gli addendi del tipo a h b k c m. Le sequenze di questo tipo sono tante quante le permutazioni con ripetizioni di una qualunque sequenza di n lettere con h volte la a, k volte la b e m volte la c vale a dire n!/(h!. k!. m!). Pertanto:

59 Esempio Sviluppare (a+b+c) 3. Soluzione. Elenchiamo tutte le terne (h,k,m) con h+k+m=3. A fianco di ciascuna terna scriviamo il corrispondente termine, ossia (3!/(h!. k!. m!)). a h. b k. c m. Fatto questo, basterà sommare tutti i termini così ottenuti.

60 Esempio (0,0,3)(3!/(0!. 0!. 3!) c 3 = c 3. (0,1,2)(3!/(0!. 1!. 2!) b c 2 = 3bc 2. (0,2,1)(3!/(0!. 2!. 1!)) b 2 c= 3b 2 c (0,3,0)(3!/(0!. 3!. 0!) b 3 = b 3. (1,0,2)(3!/(1!. 0!. 2!). ac 2 = 3ac 2. (1,1,1)(3!/(1!. 1!. 1!) abc= 6abc. (1,2,0)(3!/(1!. 2!. 0!)ab 2 = 3ab 2. (2,0,1)(3!/(2!. 0!. 1!). a 2 c=3a 2 c.

61 Potenza di un trinomio (2,1,0)(3!/(2!. 1!. 0!)a 2 b= 3a 2 b. (3,0,0)(3!/(3!. 0!. 0!)a 3 =a 3. Pertanto si ha: (a+b+c) 3 = c 3 +3bc 2 + 3b 2 c+ b 3 + 3ac 2 + 6abc+ 3a 2 c+ 3a 2 b+ a 3.

62 Esercizi di riepilogo Una classe di 28 studenti, di cui 13 maschi e 15 femmine deve eleggere 3 rappresentanti. Quante sono le scelte possibili? Risposta: C(28,3)= Quante sono le scelte che prevedono almeno un maschio e almeno una femmina? Risposta: ci sono C(13,3)= 286 scelte che prevedono solo maschi e C(15,3)=455 che prevedono solo femmine. Il numero richiesto è quindi C(28,3)-C(13,3)- C(15,3)= =2535.

63 Esercizi di riepilogo Unauto con la targa italiana (2 lettere fra le 26 dellalfabeto inglese, 3 cifre e poi ancora 2 lettere) viene usata per una rapina. Un testimone ricorda che la prima lettera era una T, che la prima cifra era 3, che non vi erano zeri, e che le altre lettere erano una A, una F e una K. Quante sono le targhe possibili? Risposta: le tre lettere rimanenti (A, F e K) possono variare in 3!=6 modi Le due cifre variano in 9. 9 = 81 modi. In totale, = 486 modi.

64 Esercizi di riepilogo Unurna contiene 40 palline numerate, e quindi distinguibili. Fra queste, 18 sono colorate di rosso e 22 di nero. Quante sono le cinquine prese fra le 40 palline che contengono 2 palline rosse e 3 nere? Risposta: dobbiamo calcolare il numero di terne di palline prese fra le 22 nere (ossia C(22,3)), e il numero delle coppie di palline prese fra le 18 rosse, (ossia C(18,2)). Le scelte delle 3 palline nere e delle 2 rosse sono indipendenti. Il numero richiesto è C(22,3). C(18,2)=

65 Esercizi di riepilogo Quanti sono i sottoinsiemi di un insieme di n elementi? Risposta: vi sono C(n,0)=1 sottoinsiemi di 0 elementi, C(n,1) sottoinsiemi di 1 elemento, C(n,2) di 2 elementi,…,C(n,n)=1 di n elementi. In totale, il numero dei sottoinsiemi è

66 Esercizi di riepilogo Calcolare Poniamo Essendo Si deduce Pertanto ed infine

67 Esercizi di riepilogo Ho smarrito il numero segreto della mia tessera Bancomat. Mi ricordo che due cifre erano 0, che la prima cifra era 5 e le altre due erano un 3 e un 9. Qual è il massimo numero di tentativi che devo fare per ricostruire il numero segreto? Risposta: devo determinare le altre 4 cifre. Queste sono permutazioni della stringa Tali permutazioni sono 4! : 2! = 12.

68 Esercizi di riepilogo In pizzeria, quattro amici fanno le ordinazioni, scegliendo fra 12 tipi di pizza. Quante sono le possibili ordinazioni per il pizzaiolo se ciascuno ordina una pizza ed una sola? E se ciascuno ne ordina 2? Risposta: al pizzaiolo non importa lordine delle pizze ma solo quante pizze deve fare per ciascun tipo. Nel primo caso il numero richiesto è C(12,4), nel secondo C(12,8).


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