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Università degli Studi Roma Tre Facoltà di Architettura Matematica e Restauro Prof. Corrado Falcolini STUDIO E RIPRODUZIONE DELLA PIANTA DI SAN CARLO ALLE.

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1 Università degli Studi Roma Tre Facoltà di Architettura Matematica e Restauro Prof. Corrado Falcolini STUDIO E RIPRODUZIONE DELLA PIANTA DI SAN CARLO ALLE QUATTRO FONTANE STUDENTI : ROBERTO ROCCO,VALENTINA SCOPONI

2 La chiesa di San Carlo alle Quattro Fontane è considerato uno dei capolavori dell'architettura barocca. La chiesa è dedicata a Carlo Borromeo, arcivescovo di Milano, ma è soprannominata San Carlino per le sue ridotte dimensioni tanto da coprire con la sua area quella di uno solo dei quattro pilastri che sorreggono la cupola della basilica di San Pietro in Vaticano. La chiesa,il chiostro ed il convento vennero realizzati tra il 1634 e il 1644 da Francesco Borromini. La facciata venne progettata e realizzata molto più tardi dal nipote Bernardo. La chiesa è a pianta mistilinea e le parti corrispondenti ai vertici sull'asse maggiore sono concluse da absidi semicircolari. La cupola poggia su un'imposta ed è un ovale incisa da un profondo cassettonato nel quale si alternano forme diverse (ottagoni, esagoni, croci). Il movimento ondulatorio dei muri e il ritmico alternarsi a forme sporgenti e rientranti danno luogo a un palpitante organismo plastico, la cui forma viene sottolineata dall'assenza di sontuose decorazioni. Cenni storici

3 Pianta come somma di più elementi Per riprodurre matematicamente la pianta e la proiezione della cupola e del lanternino si è pensato di ricondurre i vari elementi architettonici a forme semplici che passo passo si collegano tra loro dando vita al disegno completo della Chiesa. Sezione Ellisse Proiezione cupola EllisseTriangoloSemiellissiPoligoniIpocicloidi Poligoni Rette Cerchi Semiellissi

4 Proiezione della cupola e della lanterna 1) Ellisse/Proiezione cupola - Si determina la formula base dellellisse: ellisse[a_,b_][t_]:={a*Cos[t],b*Sin[t]} - Successivamente si determina lequazione modificando i raggi dei due assi dellellisse: ParametricPlot[ellisse[1.17,0.75] [t]+{0.010,0},{t,0,2Pi}] - E poi si confrontano per capire i loro rapporti fino ad ottenere lequazione chiave ParametricPlot[ellisse [1.17,0.75][t]+ {0.010,0},{t,0,2Pi}, PlotStyle -> {Hue[0.55], Thickness [0.005]}, PlotRange -> {{-2.5,2.5},{1.5, -1.5}}, Axes->True]

5 Proiezione della cupola e della lanterna 2) Ellisse centrale/Decorazione lanterna ParametricPlot[ellisse[0.165,0.15][t] +{0.0165,0},{t,0,2Pi}]

6 Proiezione della cupola e della lanterna 3) Triangolo /Decorazione lanterna - Si determina la formula base della retta: Line [{pt1,pt2,…}] -Successivamente si determino i punti/vertici del triangolo: Graphics[Line[{{-0.125,0},{0.08,0.125},{0.08,-0.125},{-0.125,0}}]] - E poi si confrontano per capire i loro rapporti fino ad ottenere lequazione chiave Graphics[Line [{{-0.125,0},{0.08,0.125}, {0.08,-0.125},{-0.125,0}}], GraphicsStyle -> {Hue[0.55],Thickness[0.002]}, PlotRange- > {{-2.5,2.5},{1.5,-1.5}}, Axes->True]

7 Proiezione della cupola e della lanterna 3) Ellissi /Composizione perimetro lanterna -Si determina lequazione dellellisse desiderata: ParametricPlot[ellisse[0.27,0.45][t]+{0,0.8}, {t,-7.2/10Pi,-2.8/10Pi}] -Utilizzo lo show per accertarmi che i tre elementi creati siano corretti Show[triangolo,ellisse2,ellisse1,cerchio1]

8 Proiezione della cupola e della lanterna 4)Definizione dei poligoni /basi delle colonne della lanterna - Da questo punto in poi tutte le operazioni appena illustrate si sono ripetute di volta in volta per ciascun elemento. base1=Graphics[Line[{{-0.18,0.45},{-0.189,0.449},{-0.195,0.53},{-0.35,0.5}, {-0.33,0.42}, {-0.339,0.419}}],GraphicsStyle-> {Hue[0.55],Thickness[0.002]},PlotRange->{{-2.5,2.5}, {1.5,-1.5}},Axes->True] - Partendo di nuovo dalla formula base della retta si determinano i vertici del poligono da determinare Line [{pt1,pt2,…}]

9 Proiezione della cupola e della lanterna 5) Riproduzione in serie degli altri elementi e giustapposizione in pianta Show[base1,triangolo,cerchio1,ellisse1, ellisse2,base2,base3,base4,base5,bas e6,base7,base8,ellisse3,ellisse4,ellisse 5,cerchio2,cerchio3,cerchio4,cerchio5] GraphicsRow[{fig1,Show[base1,triangolo, cerchio1,ellisse1,ellisse2,base2,base3,ba se4,base5,base6,base7,base8,ellisse3, ellisse4,ellisse5,cerchio2,cerchio3,cerchio 4,cerchio5]},ImageSize-> {1000,583},Spacing->-354]

10 Proiezione della cupola e della lanterna 6) Riproduzione decorazione centrale - Dallattenta osservazione del disegno si è pensato di riprodurlo attraverso la ricerca dellequazioni di unipocicloide, ovvero una curva generata da una circonferenza che rotola sulla parte interna non di unaltra circonferenza ma di unellisse. - Si è partiti dallequazione base dellipocicloide: ipocycloid[a_,b_][t_]:={(a-b)*Cos[t]+b*Cos[(a-b)/b*t],(a-b)*Sin[t]-b*Sin[(a-b)/b*t]} - Successivamente si è lavorato sullequazione al fine di trovare i valori necessari a soddisfare le nostre esigenze: ipocicloide1=ParametricPlot[ipocycloid[0.8,0.1][t]*{0.58,0.38}+{0.010,0.005}, {t,0,2Pi}, PlotStyle->{ Hue[0.55], Thickness[0.002]}, PlotRange->{{-2.5,2.5}, { 1.5,-1.5}},Axes->False]

11 Proiezione della cupola e della lanterna - La curva trovata non soddisfa le nostre aspettative visto che anche se il posizionamento delle 2 cuspidi in alto e in basso va bene,gli archi tra questi dovrebbero avere una curvatura meno accentuata. - Il passo successivo è stato quello di modificare il parametro b (raggio della circonferenza piccola che ruota sullellisse) in modo tale da avere delle curvature più tese tra le cuspidi. ipocycloid[a_,b_][t_]:={(a-b)*Cos[t ]+b/1.5*Cos[(a-b)/b*t + Pi],(a-b)*Sin[t] -b/1.5*Sin[(a-b)/b*t + Pi]}

12 Proiezione della cupola e della lanterna -Dopo le modifiche lipocicloide presenta la curvatura voluta,ma ancora le 2 cuspidi laterali non sono posizionate nei punti voluti. -Quale può essere la causa ? 1.Questo disegno non è riproducibile con unipocicloide 2.Quellipocicloide non è inscritta in unellisse -Per rispondere a questa domanda è stato applicato un manipulate allequazione dellellisse esterna per vedere se lipocicloide è racchiusa nellellisse. -Manipulate[GraphicsRow[{fig1,ParametricPlot[k*ellisse[1.17,0.75][t]+{0.010,0},{t,0,2Pi}, PlotStyle->{Hue[0.55],Thickness[0.002]},PlotRange->{{-2.5,2.5},{1.5,-1.5}},Axes->True]}, ImageSize->{1000,583},Spacings->-354],{k,0,1}]

13 Proiezione della cupola e della lanterna Il risultato che si ottiene è particolarmente interessante perché mette in evidenza il fatto che non tutte le cuspidi dellipocicloide toccano il perimetro dellellisse. Quindi si può dire che questa ipocicloide non è iscritta in unellisse.

14 Proiezione della cupola e della lanterna 10) Completamento proiezioni ellisse6=ParametricPlot[ellisse[0.7,0.35][t]+{0,0.72},{t,0.07Pi,0.93Pi},PlotStyle-> {Hue[0.55],Thickness[0.005]},PlotRange->{{-2.5,2.5},{1.5,-1.5}},Axes->False] - Definizione dellequazione delle ellissi laterali ellisse8=ParametricPlot[ellisse[0.49,0.48][t]+{-1.2,0},{t,Pi/2,3/2Pi},PlotStyle-> {Hue[0.55],Thickness[0.005]},PlotRange->{{-2.5,2.5},{1.5,-1.5}},Axes->False] retta1=Graphics[Line[ {{-1.18,0.485},{-0.69,0.79}}], GraphicsStyle-> {Hue[0.55],Thickness[0.005] },PlotRange-> {{-2.5,2.5},{1.5,-1.5}}, Axes->False] -Definizione dellequazione delle ellissi rette

15 Proiezione della cupola e della lanterna La resa finale ottenuta attraverso la messa insieme dei diversi elementi è soddisfacente.

16 Disegno della sezione della Chiesa 1) Ellisse/Sezione colonne - Partendo dallequazione base dellellisse si determinano le varie equazioni una per una determinando di volta in volta il periodo necessario al caso esaminato: ellisse2=ParametricPlot[ellisse[0.078,0.078][t]+{-0.81,0.865}, {t,1.05Pi,5/2Pi}, PlotStyle- >{Red,Thickness[0.0035]},PlotRange->{{-2.5,2.5},{1.5,-1.5}}, Axes->True] Il passaggio viene ripetuto diverse volte fino ad ottenere il disegno di tutte le colonne sezionate

17 Disegno della sezione della Chiesa GraphicsRow[{fig1,Show[ellisse1a,ellisse2a,ellisse3a,ellisse4a,ellisse5a,ellisse6a,ellisse7a, ellisse8a,ellisse9a,ellisse10a,ellisse11a,ellisse12a,ellisse13a,ellisse14a,ellisse15a,ellisse16 a]},ImageSize->{1000,583},Spacings->-354] Questo è il risultato ottenuto sovrapponendo i disegni con limmagine

18 Disegno della sezione della Chiesa Con gli stessi criteri visti in precedenza si producono rette e poligoni per le parti non curvilinee G12=Graphics[Line[{{0.8,0.955}, {0.73,0.995},{0.76,1.02},{0.68,1.07}, {0.565,1.11},{0.55,1.08},{0.51,1.095}}], GraphicsStyle->{Red,Thickness [0.004]}, PlotRange->{{-2.5,2.5},{1.5,-1.5}}, Axes->False] Successivamente si producono le absidi come archi di ellisse ellisse17a=ParametricPlot[ellisse[2.,1.4][t]+ {0,0.02},{t,-0.064Pi,0.066Pi}, PlotStyle-> {Red,Thickness[0.003]},PlotRange-> {{-2.5,2.5}, {1.5,-1.5}}, Axes->False]

19 Disegno della sezione della Chiesa GraphicsRow[{fig1,Show[G12,G13,G14,G15,G16,G17,G18,G19,ellisse1a,ellisse2a,ellisse3a, ellisse4a,ellisse5a,ellisse6a,ellisse7a,ellisse8a,ellisse9a,ellisse10a,ellisse11a,ellisse12a,elliss e13a,ellisse14a,ellisse15a,ellisse16a,ellisse17a,ellisse18a,ellisse19a],G1,G2,G3,G4,G5,G6, G7,G8,G9,G10,G11},ImageSize->{1000,583},Spacings->-354]

20 Risultato finale


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