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I SOLIDI Copyright © 2011 Zanichelli editoreBergamini, Trifone, Barozzi – La matematica del triennio.

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1 I SOLIDI Copyright © 2011 Zanichelli editoreBergamini, Trifone, Barozzi – La matematica del triennio

2 Copyright © 2011 Zanichelli editoreBergamini, Trifone, Barozzi – La matematica del triennio I SOLIDI 1. I POLIEDRI DEFINIZIONE Poliedro Un poliedro è una figura solida limitata da un numero finito di poligoni appartenenti a piani diversi e tali che il piano di ogni poligono non attraversi il solido. Prisma Piramide La distanza fra il vertice (o la base superiore) e il piano della base (inferiore) si chiama altezza. Laltezza delle facce laterali di una piramide retta è detta apotema.

3 Copyright © 2011 Zanichelli editoreBergamini, Trifone, Barozzi – La matematica del triennio I SOLIDI 2.POLIEDRI REGOLARI E SOLIDI DI ROTAZIONE a > 1 0 < a < 1 DEFINIZIONE Poliedro regolare Un poliedro si dice regolare quando le sue facce sono poligoni regolari congruenti e anche i suoi angoloidi e i suoi diedri sono congruenti DEFINIZIONE Solido di rotazione Si chiama solido di rotazione un solido generato dalla rotazione di una figura piana intorno a una retta r

4 Copyright © 2011 Zanichelli editoreBergamini, Trifone, Barozzi – La matematica del triennio I SOLIDI 3.LA SFERA a > 1 0 < a < 1 La sfera è un solido generato dalla rotazione completa di un semicerchio attorno al suo diametro… … ma, aumentando il numero di lati delle facce di un poliedro regolare, si approssima sempre meglio una sfera… Quindi, la sfera è un solido di rotazione o un poliedro?

5 Copyright © 2011 Zanichelli editoreBergamini, Trifone, Barozzi – La matematica del triennio I SOLIDI 4.CALCOLO DELLE AREE DEFINIZIONE Superficie di un poliedro La superficie di un poliedro è la somma delle superfici di tutte le sue facce. A l = 2p. h A l = π. r. a Ricordiamo che alla superficie laterale va aggiunta la superficie delle basi. Scomponendo un solido (anche non poliedrico) è possibile calcolarne la superficie laterale:

6 Copyright © 2011 Zanichelli editoreBergamini, Trifone, Barozzi – La matematica del triennio I SOLIDI 4. CALCOLO DELLE AREE Area della sfera. La misura dellarea della superficie sferica è uguale a quattro volte quella del suo cerchio massimo: S sfera = 4 π r 2 Riscrivendo lespressione della superficie sferica come S sfera =2πr. 2r, troviamo che la superficie di una sfera è equivalente alla superficie laterale del suo cilindro circoscritto.

7 Copyright © 2011 Zanichelli editoreBergamini, Trifone, Barozzi – La matematica del triennio I SOLIDI 4. CALCOLO DELLE AREE

8 Copyright © 2011 Zanichelli editoreBergamini, Trifone, Barozzi – La matematica del triennio I SOLIDI 5. CALCOLO DEI VOLUMI TEOREMA Volume del cubo La misura del volume del cubo è uguale alla misura del suo spigolo elevato alla terza potenza: V = a 3 TEOREMA Volume del prisma La misura del volume del prisma è uguale al prodotto della misura dellarea di base per la misura dellaltezza: V = S. h TEOREMA Volume del cilindro La misura del volume del cilindro è uguale ap prodotto dellarea del cerchio di base per la misura dellaltezza: V =π. r 2. h Vediamo che, in generale, il volume delle tre figure può essere espresso come prodotto tra larea della superficie di base e laltezza.

9 Copyright © 2011 Zanichelli editoreBergamini, Trifone, Barozzi – La matematica del triennio I SOLIDI 5. CALCOLO DEI VOLUMI TEOREMA Volume della piramide La misura del volume di una piramide è uguale alla terza parte del prodotto della misura dellarea di base per la misura dellaltezza: V =. S. h TEOREMA Volume del cono La misura del volume di un cono è uguale alla terza parte del prodotto della misura dellarea del cerchio per la misura dellaltezza. V =. S. h Volume della piramide e volume del cono. La piramide e il cono sono equivalenti, rispettivamente, alla terza parte di un prisma o di un cilindro di base equivalente. Quindi:

10 Copyright © 2011 Zanichelli editoreBergamini, Trifone, Barozzi – La matematica del triennio I SOLIDI 5. CALCOLO DEI VOLUMI TEOREMA Volume della sfera La misura del volume di una sfera è uguale al prodotto di (4/3 π) per la misura del raggio della sfera elevaro al cubo: V =4/3. π. r 3

11 Copyright © 2011 Zanichelli editoreBergamini, Trifone, Barozzi – La matematica del triennio I SOLIDI 5. CALCOLO DEI VOLUMI


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